2019届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学(文)试题(解析版)

1、四川省凉山州2019+届高中毕业班第一次诊断性检测数学（文）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A=凶2乂一】0,集合B=,则具口 E=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合A中不等式的解集，然后求集合A,B的交集.1【详解】由"1 得' 5,故AriB=iq.故选c.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查集合交集的求法，属于基础题2 .下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）递减的函数是（）y = 白刘-jA.一：" B. '

2、C. La 二 D.【答案】D【解析】【分析】对四个选项中的函数的奇偶性以及在（QD上的单调性进行判断，由此求得正确选项.y =件【详解】由于¥=8却是偶函数，故A不是正确选项.由于一 是偶函数，故B不是正确选项.由于y = l咏 在QD上为增函数，故 C不是正确选项.D选项中¥ = 既是奇函数，又在（口）上递减，符合题意.故选D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性以及奇偶性，其中包括正切函数、余弦函数、哥函数以及含有绝对值的函数.3 .已知双曲线E的渐近线方程是y=太，则E的离心率为（）小 小A.或 2 B. / C. 2 D. Q 或?【答案】D【解析】【分析】双曲线离

3、心率的计算公式为感，对双曲线焦点在，或者、.轴两种情况,分别根据双曲线的渐近线b方程求得进而求得离心率的值口r-=2g = - = I + I【详解】当双曲线焦点在 x轴上时，依题意得a ,故双曲线离心率为a .当双曲线焦点在a blc |一屈 9-=2- = -e=-=十=一y轴上时，依题意得B ，即; 2,故双曲线离心率为 a .2 .故选D.c【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法.双曲线的离心率公式除了本身的宜7一1 2*.住/卜十（1。必日+/曰:钻/古 山-1+/曰* 小M/古_ _ _ ,外，还可以通过C 二且十卜转化为 且.I.也即求得它的比值，也可以求得

4、离心率的值 .在求解过程中 要注意双曲线的焦点在不同坐标轴上时，渐近线方程的表达式是不一样的，要进行分类讨论4.如图，四棱柱UD-ABCD中，e,F分别是正1、I。的中点，下列结论中，正确的是（）A. 1 B. s, 平面C. EE7平面*C d. EF/ 平面 ACCiAi【答案】D【解析】【分析】连接町，利用中位线证得EF/AC,由此证得EF/平面ACC.%.【详解】连接BW交口3于F,由于四边形BCC|B是平行四边形，对角线平分，故F是4C的中点.因为是"1 的中点，所以EF是三角形BA”的中位线，故EF"AC,所以ER6平面,上网.故选口.-9 -B【点睛】本小题主

5、要考查直线和平面的位置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明.两条直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知 EFV/AC,再根据线面平行的判定定理即可得 出正确的选项.属于基础题.5 .设AABC!是边长为2的正三角形，E是EC的中点，A. 3 B.卓 C. 4 D.3点【答案】A【解析】【分析】用表示FB、FC,在利用向量数量积的运算，求得AB (FB + FC) = 2FE = AB AE = AB 【详解】故选A.A£数量积的计算，还考查了等边二角形的几何性质，属于是6 .执行如图所示的程序框图，输出 *的值为()F

6、是AE的中点，则AB-(FB十FC1的值为(),同十七的值.1 41 -1, t q-41./ 7冗k-(AB + AC) =YaB，+ AB.AC) = 12"+2、2kcos=3二2二3本小题主要考查平回向量的线性运算，考查平回向量k础题小 出 1 1A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】lacS = sin一根据程序运行的顺序，求得 k的值，代入石，从而求得输出*的值.5兀1S = 51n=-【详解】运行程序，当k = 5时，判断“是”，退出循环结构，6 2,故选D.【点睛】本小题主要考查程序框图的知识，解决这类问题只需要按照程序运行的顺序，循环结束后可求得输出的值.

7、7.已知工¥ W R,则“ x”卜是“ x-y+ 6>0"成立的（）A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】画出两个不等式所表示的区域，根据其中的包含关系得出正确选项【详解】不等式 + -2）*三区表示圆内和圆上，不等式6，”表示直线的右下方.画出图像如下图所示, 由图可知，、点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系，故为不充分不必要条件【点睛】本小题主要考查对于圆内、圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域，还考查了充要条件的判断.属于基础题7T= |sinx cos（x -）|8 .

8、函数4的最小正周期为（）7T耳A. B. C. D.【答案】B利用两角差的余弦公式和辅助角公式化简函数£状），从而求得函数的最小正周期二|Asjn（x十啊，由于sin（x十甲）的最小正周期为2兀，故心贝、十喇的最小正周期为兀故选B.【点睛】本小题主要考查两角差的余弦公式和辅助角公式，考查含有绝对值的三角函数的最小正周期.属于基础题.1279 .数列，）满足%十1 二 46=2，表示回的前n项和，且n二则n=（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】【分析】127根据= 2%可知数列为等比数列，且公比为 q,利用基本元的思想，将T . J<15 品-besinA

9、 = - x 4 x 2 x=形的面积为12窖之.故选C.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数中同角三角函数的基本关系式，考查三角形的面积公式.通过观察题目所给的已知条件，有一条边长是给了具体的数值，另两条边长给了一个倍数关系，还给出了一个角的余弦值，由此选择利用余弦定理列方程，通过解方程将未知白两条边长求出.属于基础题.11.十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数口>：2时，关于X"苴的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则 下面说法正确的是（）a.存在至少一组正整数组 以丛力

10、使方程T + / = ,有解B.关于尤）的方程x卜¥ 一】有正有理数解C.关于x ）的方程X十没有正有理数解D.当整数时，关于3"的方程/十,二,没有正实数解【答案】C'转化为电刈口的形式，解 方程求得n的值.S =127为。一有_127【详解】由于1 =方“故数列是公比为2的等比数列.由" 2行得1-25一丁,解得门=7.故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列的前口项和公式和通项公式的基本量计算.属于基础题.7_cosj =10 .在AABC中，&b,c分别是内角ABC的对边，若a =册,b = 2c, "8 ,则3

11、ABC的面积等于（）V15A. B. r C.D. 3【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理列方程求出 h注的值，由8的值求得81nA的值，再利用三角形的面积公式求得三角形的面积.,2 7 2/415）? s6 = 5c-csinA = 41一口吕& A = 【详解】由余弦定理得 十=旷十ZbccosA,即 2 ,解得。= 2,b = 4,8 ,故三角【解析】【分析】由于B,C两个命题是对立的， 故正确选项是这两个选项中的一个.利用反证法，先假设有正有理数解，然后推出跟题目所给费马大定理矛盾，由此得出方程没有正有理数解【详解】由于 B,C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个

12、.假设关于Xj的方程/卜/= 1有m b正有理数解，故工，¥可写成整数比值的形式，不妨设 " 口。白，其中口为互质的正整数，为互质的正整m*炉1- - =1数.代入方程得 尸 广 ，两边乘以小得团"'十（bn），= （an）由于am,bn,an都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于 r的方程/十寸 =】没有正有理数解.故选C.【点睛】本小题主要考查对新概念的理解和运用，考查了反证法证明命题成立，考查了有理数的概念与性质.有理数是有限小数或者无限循环小数.另一种说法是有理数是可比数，即可以写成两个整数比值的数根据有理数的性质，利用反证法，推出

13、和费马大定理矛盾的结果，由此得出正确选项.属于难题.12.若0式为“沟工a都有引屿-*展小力-与成立，则的最大值为（）1A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】【分析】1 InXn 111nx,：1 !- Inx将题目所给不等式转化为乂1 3，构造函数X ,利用导数研究函数f（x）的单调性，由此【详解】原不等式可转化为I + 1nxi I - lux, <X1X2得出正确的选项.1 Inx J, . T他f（x） = f（x）=-，构造函数k , x-，故函数在（a d上导数大于零，单调递增，在（L + W上导数小于零，单调递减.由于x之且1仅I尸心白,故"均在区间（0，1

14、）上，故的最大值为I ,所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.第n卷（共90分）二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.是虚数单位，复数3 + 4i【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算化简题目所给复数，从而得到正确结论_ 1(3 - 4上 _ 4J21 _ 43 ,4 3【详解】依题意，原式 一而疝-6一31一片'X.故填石1式.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轲复数的概念及运用，属于基础题2x2+ I y = -(x > 0) 14.函数- K的值域是.【答案】【解析】【分析

15、】将函数分离常数后，利用基本不等式求得函数的最小值，进而求得函数的值域y = + -> 2 |2x 1 - = 2/22x = -,x =匚【详解】依题意一kJ*，当且仅当x 2时等号成立，故函数的值域为 12ggi.【点睛】本小题主要考查基本不等式的运用.运用基本不等式要注意验证等号是否成立，属于基础题 .x2 y2 E;+ =15 .设F已是椭圆25 16 的左右焦点，P是椭圆E上的点，则"写1 PF?的最小值是 .【答案】16【解析】【分析】利用椭圆的几何性质求得 =51=4,匚=3,利用椭圆的定义将转化为lO-PFj的形式，再利用二次函数的 图像与性质求得最小值.【详解

16、】由椭圆方程可知""=3 ,根据椭圆的定义，有怛叫=方-|曰|= 1。怛号，故 叫HPFTPI-U°伊”由于叫* "4十可=谪注意到二次函数y =x(10f)的对称轴为x = 5 ,故当 x = 2，x = *时，都是函数的最小值，即最小值为故填16.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查利用二次函数的几何性质求表达式的最小值的方法.属于中档题.16 .定义函数Rx) = max立，-, xER,其中工>0,符号max但表示数中的较大者，给出以下命题：若不等式ftx-l)十I对一切实数X恒成立，则 X =时，F(k) = f(x)十 f(x 1

17、)十十一十 f(x-100)最小彳t是 2450"xy >0”是“ fT(y) >氏x十y) ”成立的充要条件以上正确命题是.(写出所有正确命题的序号)【答案】【解析】【分析】函数等价于Kx) =a|x|.利用奇偶性排除，利用利用分离常数法，判断正确.利用倒序相加法判断错误.【详解】函数 Rx)等价于f(x)=k|x|,.这是一个偶函数，故命题错误 .对于命题，不等式等价于 Mix- 1 Tx - 2|)",即 i (|x-l| 十 卜'由于 |“一1|，|x0 >= 1 ,故(|x-l +|x-2|)nraK,所以九堂1,故命题是真命题.对于，当

18、入=】时，式乂)=闻+ *1| 十十IxTOOI,= 十|xT9|十十国两式相加得 2F(x)=(国十 |x-l,00|) + (|x-l| + 愧-99)十十(仅10Q 十,而国十 |x-100| > |x-(x-100)| = 100 ? |x-'l| + |xH?9| > |x- l-(x-99)| = 98,以 此 类 推，可 得2F(»2(100+98十96寸一十100十98十96十十2 = 2550 .故为 假命题.对于 (X)十f(y) = M|x|十|y|), f(x + y) = Ax-y ,即因十国兰|x + y ,这对任意的工丫者B成立，故号

19、 不是它的充要 条件.命题错误.故填.【点睛】本小题主要考查对于新定义概念的理解.将新定义的概念，转化为绝对值不等式来解决，属于化归与转化的数学思想方法.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分别直方图.(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；(2)从总分在5565)和13545的试卷中随机抽取 ?份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率.【答案】（1） 100;（2） 5.【解析】【分析】（1）通过左边起，频率和为 03的

20、位置即为中位数的位置.55,65）的试卷有2份和135,1451的试卷有4份，利 用列举法求得基本事件的总数，从中得到至少有一份总分少于砧的事件的个数，由此计算得概率.【详解】（1）记这100份数学试卷成绩的中位数为 x（95<x< 105）则-解得：工=100,所以，中位数为100.（2）总分在55,65）共有 0.002 * 10 x 100 = 2 （份），记为相总分在口3工1旬的试卷共有0.004 x 10 x 100 = 4 （份）,记为ahcd则从上述6份试卷中随机抽取 2份的抽取结果为：, fAa, , A，匚但屈，但，旧叽但同，但用,归© ,加,也叽出回,

21、也用,共计15种结果，且每个结果是等可能的，至少有一份总分少于65分的有：砂, fda,2，A，门山，便声 H同B同R共计 9种结果，9 3P = =一所以抽取的2份至少有一份总分少于 65分的概率】5 5.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图计算中位数、计算频数，考查利用列举法古典概型，属于中档题.18.如图，直三棱柱 -A3G中CC4 AB = 24”琢，£BAC = 45。，点M是棱必上不同于AA 的动点.（1）证明：BC'EN;（2）若.是4看的中点，求四面体的体积.8【答案】（1）见解析；（2） I【解析】【分析】（1）通过余弦定理计算RC的长，利用勾股定理证得EC

22、 _LAB,有直三棱柱的性质得到由此证得 BC1平面,"叫',从而证得EC18lKi. （2）由（1）得到可以以BC为几何体的高，利用'”产 计算的体积.【详解】（1）证明：（方法一）在AABC中，有余弦定理|13C|2 = |AB|2+ |BC|2 - 2|AB|AC|cosZ13AC =4+ 8 -2 2 22cos450 = 4，|BQ = 2,则|AB-|BC=8 = |AC/，-ABU=90。.- bc_lab, ?p EC 1 BB, BB, A AB = B又i,i ,，BC1平面'正当为又匚平面ABB1Ai,.证明：（方法二）在 AABC 中，

23、ACBAC = 4g" = 2 = |AB|,上ABC = 9心. BC-L.AB , p BC 1 BB BB, n AB = B又 I 1,-22 -又<=平面 ABBQ1,.BC IBjM%BBC】I-BCB,B = -x24 = 4 212h=2I818则 i a 3（或i】mi 3.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查三棱锥体积的求法， 还考查了余弦定理解三角形 .属于基础£LcA+-=l(a>b>0)6£ i-OB=OP19.设有三点A-BP,其中点“卫在椭圆 才b2上，A(OZ,BQO),且2（1）求椭圆C的方程;（2）若过椭

24、圆的右焦点的直线倾斜角为45。，直线与椭圆。相交于艮F,求三角形。EF的面积.S 3.【解析】【分析】（1）先求得卜的值.设出P点坐标，代入OA + OB = -OP,化简后可求得P点坐标，将厂点坐标代入椭圆方程,由此求得的值，并求出椭圆方程 .（2）由（1）求得椭圆焦点的坐标，利用点斜式得到直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用两点间距离公式求得EF的长度，利用点到直线的距离公式求得。到直线的距离，由此求得三角形0EF的面积.【详解】（1）解：由题意知，b.,设式格y), A9Z, BQ, 一OA + OB = LOP (2,2)=沁 y)由2,2,16 16设椭圆方程孱4，将代入，J

25、= 2.上的方程¥=乂-2代入84，整理得软舐=0,（一 r，交点坐标为（°，- 2.）和-3 3,。到的距离为g所以三角形OEF的面积为3.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，考查了向量加法和减法的坐标运算，以及两点间的距离公式和点到直线距离公式.有关直线和椭圆相交所得的弦长，往往通过联立直线 的方程和椭圆的方程，求出交点坐标或者利用韦达定理和弦长公式来求解20.设数列超京中，力=1 , %",且数列，1%一网-1，是以2为公比的等比数列（1）求数列%的通项公式;（2）求数列 例仆的前“项和二【答案】（1） ;211T.【解析】【

26、分析】（1）依题意得到数列%+%是以飞=1为首项，二为公比的等比数列，由此得到=，然后利用累加法求得数列 %的通项公式.（2）由于%的等比数列，故直接利用等比数列前n项和公式求得升的值.【详解】（1）由题意，数列是以为为首项,2为公比的等比数列,.则-2时,% f 1十包一%）+眄- 3 -+（%-%. I）Q 1口 多=1 + -上=1 + 2 +2 + + 21 -2_71】-1即又力工1上式也满足., 一， 口 = * I（2）由（1）可知，小家，4.1 2"一.一/是以i为首项，q = ?为公比的等比数列，期(1-心”50n Z - 1.【点睛】本小题主要考查利用累加法求数列

27、的通项公式，考查等比数列的定义、 通项公式以及前n项和公式,属于中档题.21.设函数的二蜡十爪(1)当a = -|时，求函数Rx)的单调减区间；(2)若式工)=宙立3-股)有三个不同的零点，求的取值范围 .(0,)( H 1【答案】(1)函数 哈)在 6上单调递减，在 6上单调递增；(2) a= -6或那=0.【解析】【分析】(1)当a=】时，利用函数导数小于零，解不等式求得函数的递减区间.(2)令1岂1二。可得的三个根分别为°厂1.对函数Rx)求导，对分成aAO旧=0上<0三类，谈论函数的单调性，结合的三个根，求得实数的取值 范围.【详解】(1)当a= -1时，Rx) = 3

28、xLlnx, 1 6x2- 1 f() = 6x - - = -(x > 0)当式x)>0时，工6；当式X)父0时，' 6(°,)(一、1 )所以函数在 6上单调递减，在 6上单调递增.(2)设 Rx) = ,贝(J F(x) = t3-t = O 贝口=0或l =或l = _ ,a 6x2 - aF(x) =6x -= (x> 0) X X/当a>0时，F(x)>0恒成立，在。+此上为增函数，且XT。时，f(x)T.9； XT +5时，Rx)-十b,则£仪)=1的零点有3个，符合题意.2。当a = 0时，f(x) = Sx2(x > 0),此时Rx) = t只有一个零点，不合题意.QX> l0<X< I-3当时，若也x)>0,则 若F(x)v。时， Q 6 函数则在上单调递减，在打上单调递增 又且 XT晨时，+ B； X+8 时，f(X)T+B 所以f(x) = 1或f(x) = - 1或I(x) = U要有三个零点，则aa3($ + aln(0=0即 6 i 6 ，所以a= -6e综上所述，2=-6£或2 = 0.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数