2020年中考数学热点专题八二次函数综合题型解析版

1、2020年中考数学热点专题八 二次函数综合题型解析版中考要求课程标准对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此，二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型，2019年中考中对二次函数的考查角度有所调整，将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来学习，预计仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面积、相似、等腰三角形,特殊四边形以及新定义问题为载体进行命题.» 专题集训考向1二次函数之周长与最值问题1 . (2019常德中考改编) 如图11,已知二次函数图象的顶点坐标为 A

2、 (1, 4),与坐标轴交于 B、C、D三 点，且B点的坐标为(一1,0). (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于 x轴上方部分有两个动点 M、N,且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x 轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值.考向2二次函数之面积问题2. (2019衡阳)如图，二次函数 y=x2+bx + c的图象与x轴交于点A ( 1, 0)和点B (3, 0),与y轴 交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形 ABCD，点P是x轴上一动点，连接 CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E. (1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB

3、(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段 OE的长有最大值？并求出这个最 大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB,请问：4MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M的坐标；若不存在，请说明理由23. (2019兰州)二次函数 y ax考向3二次函数之等腰三角形问题bx 2的图象交x轴于点(-1, 0), B (4, 0)两点，交y轴于点C,动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 AB方向运动，过点 M作MN，x轴交直线BC于点N,交抛物线于点 D,连接AC,设运动的时间为t秒.，、，一、92 ，一一(1)求一次函数 y ax bx 2的表达式；(2)连接BD

4、 ,当t=时，求4DNB的面积； 2(3)在直线MN上存在一点P,当4PBC是以/ BPC为直角的等腰直角三角形时， 求此时点D的坐标;(4)当t=5时，在直线 MN上存在一点 Q,使得/ AQC+/OAC=90，求点Q的坐标. 4考向4二次函数之相似三角形问题24. (2019娄底)如图(14),抛物线y ax bx c与x轴交于点A (1, 0),点B (3, 0),与y轴交于点C,且过点D (2, 3) .点P、Q是抛物线y ax2 bx c上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求APOD面积的最大值.(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当AOBE与AABC相似

5、时，求点 Q的坐标.考向5 二次函数之特殊四边形问题25. (2019?广安)如图，抛物线 y x bx c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N ,过2A点的直线l:y kx n与y轴交于点C ,与抛物线 y x bx c的另一个交点为 D,已知A( 1,0),2D(5, 6), P点为抛物线y x bx c上一动点(不与 A、D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE/x轴交直线l于点E ,作PF /y轴交直线l于点F ,求PE PF的最大值；(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点 M ,使得以点N、C, M、P为顶点的四边

6、形为平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.考向6二次函数之角度存在性问题6.(2019泰安)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点 A(3,0)、B(0, 2),且过点C(2, 2).(1)求二次函数表达式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且Szpba=4,求点P的坐标； 在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使/ ABO= / ABM ?若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说 明理由.考向7二次函数之新定义问题2227.（2019江西省）特例感知：（1）如图1,对于抛物线 y x x 1 , y2x 2x 1, y3 x 3x 1下列结论正

7、确的序号是 ；1抛物线y1,y2,y3都经过点C（0, 1）；抛物线y2,y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移一2个单位得到；抛物线y1，y2, y与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.2形成概念：（2）把满足ynx nx 1 （n为正整数）的抛物线称为系列平移抛物线.知识应用 在（2）中，如图2.系列平移抛物线”的顶点依次为R, P2, P3,，Pn ,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该 顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式； 系列平移抛物线”存在 系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1 , C2, C3,，Cn,其横坐标分别为-k-1 , -k-2 , -k-3

8、 ,，-k-n（k为正整数）,判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相 邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；在中，直线y=1分别交 系列平移抛物线”于点A1,A2,A3 ,An ,连接Cn An ,Cn1An1 ,判断CnAn ,Cn lAn 1是否平行？并说明理由2020年中考数学热点专题八 二次函数综合题型解析版F 中考要求 .课程标准对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此，二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型，2019年中考中对二次函数的考查角度有所调整，将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作

9、为最核心的内容之一来学习，预计仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面积、相似、等腰三角形,特殊四边形以及新定义问题为载体进行命题.> 专题集训考向1二次函数之周长与最值问题1. . (2019常德中考改编) 如图11,已知二次函数图象的顶点坐标为 A (1, 4),与坐标轴交于 B、C、D三 点，且B点的坐标为(一1,0). (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于 x轴上方部分有两个动点 M、N,且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x 轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值.yAyA解(1)设抛物线的解析式为y=a

10、 x 124,把B (1, 0)代入解析式得：4a + 4=0,解得a=- 1, y=.2.2-x 14 =- x 2x 3; (2) .四边形 MNHG 为矩形，MN /x 轴，设 MG=NH=n ,把 y=n 代入 y=222一x 2x 3,即 n=x 2x 3, . x 2x n 3=0,由根与系数关系得 xm xn =2, 4 ?xn =n - 3, 二2222xm xn = xm+xn -4xm ?xn , xm xn =4-4 (n-3) =16-4n, MN= xm xn =2J4 n ,设矩形 MNHG 周长为 C,则 C=2 ( MN +MG ) =2 (ZLn + n) =

11、4<4n +2n,令 *41="则 n=4 t2 , .C=2t2 +4t+8= 2 t 1 2 10 ,2V0,t=1 时，周长有最大值，最大值为10.考向2二次函数之面积问题2. (2019衡阳)如图，二次函数 y=x2+bx + c的图象与x轴交于点A ( 1, 0)和点B (3, 0),与y轴 交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形 ABCD，点P是x轴上一动点，连接 CP,过点P作CP的垂线 与y轴交于点E. (1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB (点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线

12、上任取一点M,连接MN、MB,请问：4MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把 A ( 1, 0) , B (3, 0)代入 y=x2+bx+c,得01 b C，解得09 3b c,cb 2,3.，该抛物线的函数表达式为y=x22 x3;OP BCOE - PB(2) CPXEB,OPE+/BCP=90 ,./ OPE+/OEP=90 ,OEP=/BPC, . tan/OEP=tan / BPC.设 OE=y , OP=x , 1. = 4 .整理，得 y= 1 x2 + x= (x - ) 2+ . y 3 x44216,3 .一，一 八 9

13、 一 3.当OP=3时，OE有最大值，最大值为 9,此时点P在(_3 , 0)处.(3)过点M作MFx轴交BN于点F,. N (0, -3) , B (3, 0) ,.直线的解析式为 y= 3 m.设 M (m, m2 2 m 3)，则 MF=m23m,MBN 的面积=1OB MF= 3( m2-3m) = -( m3) 2 27. 22228点M的坐标为(-,27)时，AMBN的面积存在最大值.28考向3二次函数之等腰三角形问题23. (2019兰州)二次函数 y ax bx 2的图象交x轴于点(-1, 0), B (4, 0)两点，交y轴于点C,动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿

14、 AB方向运动，过点 M作MN，x轴交直线BC于点N, 交抛物线于点 D,连接AC,设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y ax2 bx 2的表达式；(2)连接BD ,当t=W时，求4DNB的面积；2(3)在直线MN上存在一点P,当4PBC是以/ BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；(4)当t=5时，在直线 MN上存在一点 Q,使得/ AQC+/OAC=90，求点Q的坐标.4解：(1)将点 A (-1, 0), B (4, 0)代入 y=ax2+bx+2, /. a= -, b=-, - y -x2 -x 2 ；2222(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b,将点B (4, 0

15、), C (0, 2)代入解析式,/口 4k b 0- k得：，解得：2 ,BC的直线解析式为yMB=2 , M (2, 0) , N (2,1), D (2, 3), Ccc1-Sadnb =S/dmb -Szwinb = XMBX DM21，BX MN=21一 X2>2=2;2(3)BM=5-2t ,M (2t-1 , 0),2 ,当 t=0 时，AM=3 , AB=5 ,，2b 22+m2,设 P (2t-1 , m), PC2= (2t-1) 2+ (m-2) 2, PB2= (2t-5) PB=PC, (2t-1) 2+ (m-2) 2= (2t-5) 2+m2, m=4t-5

16、, P (2t-1, 4t-5), PCX PB, 也乙竺9 1, 2t 1 2t 5. .t=1 或 t=2, . M (1 , 0)或 M (3, 0), . D (1 , 3)或 D (3, 2);(4)当t= 9时，M , 0),点Q在抛物线对称f生x=上，422如图，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与 x=3的交点分别为Q1与Q2, 2 AB=5 ,AM= 5 , . / AQ1C+ / OAC=90° , / OAC+ / MAG=90 ,. / AQ 心=/ MAG ,2又. / AQ1C= / CGA= / MAG , . Q1 ( 3 ,-),2

17、23 5、 Q1与Q2关于x轴对称，Q2 ( 3 , 5 ),22Q点坐标分别为(3,5),(g，5).2222考向4二次函数之相似三角形问题24. (2019娄底)如图(14),抛物线y ax bx c与x轴交于点 A (1, 0),点B (3, 0),与y轴交于点C,且过点D (2, 3).点P、Q是抛物线y ax2 bx C上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求APOD面积的最大值.(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当OBE与祥BC相似时，求点 Q的坐标.2解：（1） ;抛物线y ax bx c与x轴交于点A（ 1, 0）,点B（ 3, 0）,设抛物线的解析

18、式为ya x 1x 3 .又抛物线过点D（2, 3）,a 2 1 2 33,a 1 , y 1 x 1 x 3x2 2x 3.(2)如图，设PD与y轴相交于点F, OD与抛物线相交于点 G,2设P坐标为(m, m2m 3),则直线PD的解析式为y mx 2m3,它与y轴的交点坐标为F(0, 2m3),则OF=2m+3 .C1 S ODP OF 2D点的横坐标P点的横坐标12m 32由于点P在直线OD下方，所以b2aAPOD2S ODP m49.?16(3)由yx2 2x 3得抛物线与y轴的交点C (0, 3),结合A (- 1, 0)得直线AC的解析式3x3 , 当 OE II AC时，4BE

19、与 UBC相似；此时直线OE的解析式为y 3x .y又y3x. Q的坐标为2x3-， 的解为xiyi11323 3.132X2y211323 3.1323.132加 1和3.132如图，作ENy轴于N,3由 A (1, 0),B (3,0), C (0,3)得 AB=3 (1)=4,B0=3, BC= J32 32 3V2当BE OB即BA BCBE 3 一产时，AOBE与祥BC相似；此时43，2BE= 272 又OBCsONE, NB=NE=2 ,此时E点坐标为(1, 2),直线OE的方程为y 2x2y x 2x 3又丁 ，的解为y 2xXiy1、.32,3y2,32.3.Q的坐标为73,2

20、忌 1 综上所述，Q的坐标为 一,1321.13 3 3 13，如，2疵，33, 243 .考向5 二次函数之特殊四边形问题5. （2019?广安）如图，抛物线 yx2bx c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N ,过A点的直线l: y kx n与y轴交于点bx c的另一个交点为 D,已知 A（ 1,0）,2D(5, 6) , P点为抛物线y x bxc上一动点（不与A、D重合）.（1）求抛物线和直线l的解析式;（2）当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE/X轴交直线l于点E ,作PF /y轴交直线l于点F ,求PE PF的最大值;（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点

21、 M ,使得以点N、C , M、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：k n 0 ,解得:5k n 6故直线l的表达式为：y1,将点A、D的坐标代入抛物线表达式,同理可得抛物线的表达式为:（2）直线l的表达式为：y x 1,则直线l与x轴的夹角为45 ,即：则PE PE,设点P坐标为(x, x2 3x 4)、则点F(x, x 1), _ 2_ 2PE PF 2PF 2( x 3x 4 x 1)2(x 2)18,Q 2 0,故PE PF有最大彳t,当 x 2时，其最大值为18;(3) NC 5,当NC是平行四边形

22、的一条边时，设点P坐标为(x, x23x 4)、则点M (x, x 1),由题意得：| yM YpI 5,即：| x2 3x 4 x 1| 5 ,解得：x 2 炉或。或4 (舍去0),则点P坐标为(2 a4 ,3 «4)或(2 44 ,3 /4)或(4, 5);当NC是平行四边形的对角线时，则 NC的中点坐标为(1, 2),2 7设点P坐标为(m, m2 3m 4)、则点M (n, n 1),N、C, M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，21 m n - m 3m 4 n 1即： - ,2 ,解得：m 。或 4 (舍去0),2 22故点 P( 4,3);故点

23、P 的坐标为：(2 «4,3 /4)或(2 &4,3 #4)或(4, 5)或(4,3).考向6二次函数之角度存在性问题6.(2019泰安)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点 A(3,0)、B(0, 2),且过点C(2, 2).(1) 求二次函数表达式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且Szpba=4,求点P的坐标；在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使/ ABO= / ABM ?若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由.抛物线 y=ax2+bx+c0.2,解得9a 3b 2过点(0, - 2),c= 2,又二抛物线过点(3,0)(2,

24、2)4a 2b 233 ，抛物线的表达式为4一一一 2 2 4(2)连接 PO,设点 P(m,-m-m332)；贝U Sapab=Szpoa+Saaob Sapob=31一 2gm=m 3m,由题意得：m23m=4, . m=4,或 m= 1(舍去), 21-:22 m3_ , 2 2 413 ( mm 2)3 2332 410 10 m 2 =一，点P的坐标为(4,一). 2,.直333(3)设直线 AB 的表达式为 y=kx+n, .直线 AB 过点 A(3,0),B(0, 2), . 3k+n=0,n= 2，解之，得:k=- ,n= 322 o 4线AB的表达式为：y=x 2，设存在点M

25、满足题意，点M的坐标为(t,-t2 -t 2).过点M作MEy轴，垂足33322 o2 o 4为 E,作 MD，x 轴父于 AB 于点 D,则 D 的坐标为(t, - t-2),MD= -t2 2t ,BE=| t2+t |.又 MD / y 轴，/33332,2ABO= /MDB,又. / ABO= / ABM, . / MDB= Z ABM, . MD=MB, . . MB= - t2 2t .32,2 2 4 一在 RtABEM 中，12+ t +t2=332-t2 2t ，解之，得:t= 11, 点M到y轴的距离为11.388卜列结论正确的序号是 2.7.（2019江西省）特例感知：（

26、1）如图1,对于抛物线 y x x 1 , y22x 2x 1, y3x2 3x 11抛物线yi,y2,y3都经过点C（0, 1）;抛物线y2,y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移一2个单位得到；抛物线yi, y2, y与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念：（2）把满足ynx2 nx 1 （n为正整数）的抛物线称为系列平移抛物线”.知识应用 在（2）中，如图2.系列平移抛物线”的顶点依次为R, P2, P3,，Pn ,用含n的代数式表示顶点 Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式； 系列平移抛物线”存在 系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1 ,

27、 C2, C3,，Cn,其横坐标分别为-k-1 , -k-2 , -k-3 ,，-k-n（k为正整数）,判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；在中，直线y=1分别交 系列平移抛物线”于点A1,A2,A3 ,An ,连接Cn An ,Cn1An1 ,判断CnAn ,Cn 1An 1是否平行？并说明理由解：（1）对于抛物线y12.2 八 /x x 1 , y2x 2x 1 , Y32x 3x 1来说,抛物线y1，、2, y3都经过点C（0, 1）, .正确;11;抛物线y1 , y2, y3的对称轴分别为：x1 一，x22 （ 1）22/31 ， x32 ( 1)2 ( 1)