2020-2021备战中考数学反比例函数-经典压轴题含答案

1、2020-2021备战中考数学反比例函数-经典压轴题含答案一、反比例函数1.如图，点 P ( k'j +1,- 1)在双曲线 y= 1 (x>0)上.(1)求k的值；A(2)若正方形 ABCD的顶点C, D在双曲线v=k (x>0)上，顶点 A, B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点 C的坐标.k【答案】(1)解：点P (、仃/)在双曲线A-上，将x=飞方:/, y= - /代入解析式可得：k=2;(2)解：过点D作DEL OA于点E,过点C作CFL OB于点F, 四边形ABCD是正方形， .AB=AD=BC /CBA=90, / FBC吆 OBA=90 ； / CFB土

2、BOA=90 ； / FCB吆 FBC=90 , ° / FBC土 OAB,在4CFB和4AOB中，/CFB = ZAOB IZFBC = ZOAB CB = AS.,.CFBAAOB (AAS),同理可得： BOA AEg CFR .CF=OB=AE=b BF=OA=DE=a设 A (a, 0) , B (0, b),贝U D a a+b, a) C (b, a+b),可得：b (a+b) =2, a (a+b) =2,解得：a=b=1.所以点C的坐标为：(1,2).【解析】【分析】(1)由待定系数法把 P坐标代入解析式即可；(2) C、D均在双曲线 上，它们的坐标就适合解析式，设

3、出C坐标，再由正方形的性质可得 CFB AOBA BOA AED CFE5,代入解析式得 b (a+b) =2, a (a+b) =2,即可求 出C坐标.2 .如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b ( kw。的图象与反比例函数V二一面0)T的图象交于二四象限内的A、B两点，与x轴交于 C点，点B的坐标为(6 , n ), 线段 OA=5 , E 为 x 轴负半轴上一点，且 sin/AOE=(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求4AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解：作ADx轴于D,如图,在 RtOAD 中，1.

4、sinZ AOD= =,.AD=OA=4,. OD= J。0 =3, ,A (-3, 4), 降7把 A ( - 3, 4)代入 y=式得 m= - 4X 3=- 12,12所以反比例函数解析式为 v=- x ；12把B ( 6, n)代入y=一工 得6n= 12,解得n= - 2,1-3i+i>=4 C =把 A ( - 3, 4)、B (6, - 2)分别代入 y=kx+b得2+ 0 = -2 ,解得 I i> = 2 ,7所以一次函数解析式为 y=- - x+21 1(2)解：当 y=0 时，3 x+2=0,解得 x=3,则 C (3, 0),所以 Saaoc= - X 4X

5、 3=6(3)解：当xv - 3或0vxv 6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD)±x轴于D,如图，先利用解直角三角形确定A (-3, 4),再把A点坐标代入 y=可求得m=- 12,则可得到反比例函数解析式；接着把 B (6, n) 代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入 y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；(2)先确定 C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；(3)观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABC

6、D的边出一 ,顶点.；坐标为 “，引， 点忸坐标为巴方十/人(1)点心的坐标是 ，点C的坐标是 (用力表示)；O(2)若双曲线J过平行四边形 腑的顶点6和2 ,求该双曲线的表达式；4v = (x 0)I .(3)若平行四边形一出仪与双曲线, x总有公共点，求 心的取值范围【答案】(1)宓历；C(lfb + ”A(2)解：双曲线；过点300和点心b 小/，. |况 D ,解得以 4 ,.'.万点的坐标为 ,区点的坐标为 念3, 把A0点的坐标I包办代入'；,解得k二d,双曲线表达式为工,v - - (x > 0)(3)解：二平行四边形.收工与双曲线工',总有公共点,

7、I 2F =1 T.当点4 a加在双曲线 工，得到以，当点c4”,b "在双曲线；，得到小 4,白的取值范围力W b W 4 .【解析】【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形，得到 A与B纵坐标相同，C与D纵 坐标相同，横坐标相差 2,得出B、C坐标即可；(2)根据B与D在反比例图象上，得到 C与D横纵坐标乘积相等，求出 b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解 析式；(3)抓住两个关键点，将 A坐标代入双曲线解析式求出 b的值；将C坐标代入双 曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围.4.如图，直线y=2x+6与反比例函数 y= # (k

8、>0)的图象交于点 A (1, m),与x轴交于 点B,平行于x轴的直线y=n (0vnv6)交反比例函数的图象于点 M,交AB于点N,连接BM.3小¥-2戈/6(1)求m的值和反比例函数的表达式;(2)观察图象，直接写出当x> 0时不等式2x+6-#<0的解集;(3)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，4BMN的面积最大？最大值是多少? 【答案】(1)解：二直线y=2x+6经过点A (1, m),. m=2X 1+6=8A (1,8),;反比例函数经过点 A (1, 8),k=8,6反比例函数的解析式为 y= 1.(2)解：不等式 2x+6工<0的解集为

9、0vxv1.4 P - 4(3)解：由题意，点 M , N的坐标为M (/1，n) , N (2, n),0<n<6,二 V0,n -2 >0 Sabmn=二 |MN| X 解=2 x( h ?) X n =不(n 3) 2+.n=3时，ABMN的面积最大，最大值为 .【解析】【分析】(1)求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题;(2)由图象直接求得；(3)构建二次函数，利用二次函数的最值即可解决问题5.在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数的图象经过点A (1 , 4) , B (m, n).(1)求反比例函数1的解析式；(2)若二次函数X二小 "的图象经过点

10、B,求代数式的值;(3)若反比例函数点在直线y=x的下方,A上的图象与二次函数结合函数图象，求 aF - 3(工/尸的图象只有一个交点，且该交 的取值范围.【答案】(1)解：将A (1, 4)代入函数y=得：k=444反比例函数y=.r的解析式是/k(2)解：. B (m, n)在反比例函数 y=|7上，mn=4,又二次函数y= (x1) 2的图象经过点 B (m, n),(m - m 即 n-1=m2-2m/一细 一 J n 1 mu 演-2m - 3) - 4 (n1)F盘二次:J(3)解：由反比例函数的解析式为“i ,令y=x,可得x2=4,解得x= ±24，反比例函数1的图象

11、与直线y=x交于点(2, 2) , ( 2, 2).如图，X 1 -当二次函数y = a (x 1) 2的图象经过点(2, 2)时，可得a=2;,2寸占什”目当二次函数y = a (x 1) 2的图象经过点(一2, 2)时，可得a= § .;二次函数y = a (x 1) 2图象的顶点为(1,0),|，由图象可知，符合题意的 a的取值范围是0<2<2或2<9 .【解析】【分析】(1)只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。(2)根据B (m, n)在反比例函数图像上得出 mn=4,将点B的坐标代入y= (x-1) 2得到n-1=m2-2m,再将代数式变形

12、为用含 mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解 决问题。(3)可先求出直线 y=x与反比例函数y=交点的坐标，然后分 a>0和a<0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质(|a|越大，抛物线的开口越小)就可解决问题。6.如图，一次函数 y=-x+3的图象与反比例 y二4,(k为常数，且kw。的图象交于 A (1,a) , B两点.(1)求反比例函数的表达式及点 B的坐标;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标.【答案】(1)解：二点A (1, a)在一次函数y=-x+3的图象上，.a= -

13、 1+3=2,，点 A (1, 2).;点A (1, 2)在反比例y=舅(k为常数，且kwQ的图象上, .k=1 X 2=2 反比例函数的表达式为 y= d .联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得:，点 B (2, 1)(2)解：作B点关于x轴的对称点B' (2, - 1),连接AP,交x轴于点巳连接PB,如 图所示.¥ 点B、B关于x轴对称， .PB=PB.' 点A、P、B三点共线， 此时PA+PBa最小值.设直线AB'的函数表达式为 y=mx+n (mO),将 A(1, 2)、B(2, - 1)代入 y=mx+n,直线AB的函数表达式为 y= - 3

14、x+5.当 y= 3x+5=0 时，x= 3 ,，满足条件的点P的坐标为(,，0).【解析】【分析】(1)将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点 A的坐标，由点 A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；(2)作B点关于x轴的对称点 B'(2, - 1),连接 AB,交x轴于点P,连接PB,由两点之间线段最短可得出此时PA+PB取最小值，根据点 A、B'的坐标利用待定系数法可求出直线AB的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标.7.已知二次函数 山=白/# eg

15、K 0)的图象经过三点(1 , 0) , ( -3, 0),(1)求该二次函数的解析式;图像与二次函数 11=".加小 cS K 0)的图像在第一象限内交于点M出,第落在两个相邻的正整数之间，请写出这两个相邻的正整(3)若反比例函数的图像与二次函数y/ = aj/ -f- bx c (a # 0)的图像在第一象限内的交点为A,点A的横坐标为满足M ,试求实数义的取值 范围。【答案】(1)解：抛物线解析式为 y=a(x-1)(x+3)将(0, 1 )代入，解得a=兄2.抛物线解析式为y=产，胃(2)解:丁点A在第一象P故点 A的坐标为(交点的横坐标x0落在1和2之间.(3)解：由函数图

16、像或函数性质可知：当2vxv 3时，? ? 2A对y1= 11,y1随着x增大而增大，对 y2= 1 (k>0),y2随着X的增大而减小。因为 A (X0 , Y 为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所以当Xo=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2>yi ,得 3同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得vi",得 KV 12。10所以K的取值范围为3" ' °.【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)解联立反比例函数的解析式与抛物线的解析式组成的方程组求出其在第一象限内的交 点的坐标，即可得出答案；k

17、(3)根据抛物线的性质得出当2vxv3时，yi随着x增大而增大，对 y2=P (k>0) , y2随着X的增大而减小。因为 A (Xo , 丫。)为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所以 当Xo=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2>yi,当Xo=3时，由二次函数数图象在反比例上方得yi>y2 ,从而列出不等式组，求解即可 .8.如图1,在平面直角坐标系，。为坐标原点，点 A (- 2, 0),点B (0, 2X'U )7(1)直接写求/BAO的度数；(2)如图1,将4AOB绕点。顺时针得*A OB当A'恰好落在 AB边上时，设dfAB 0的 面积为S

18、1 , ABA' 0的面积为S2 , S与&有何关系？为什么？(3)若将4AOB绕点。顺时针旋转到如图2所示的位置，Si与S2的关系发生变化了吗？ 证明你白判断.【答案】(1)解：. A (-2, 0) , B (0,入方)，.OA=2, OB,在 RtA AOB 中，tan / BAO=以/ BAO= 60 °(2)解：&=*；理由：. /BAO= 60°, /AOB= 90°,/ ABO= 30 ； .-.OA=OA= - AB, MOA'是等边三角形，.-.OA'= AA'= AO= A'B, / B&

19、#39;A'O= 60 °, / A'OA= 60 °,B'A' / AO,根据等边三角形的性质可得，AAOA'的边AO、AA'上的高相等，即 AB' 0中AO边上高和 BA' 0中BA边上的高相等，.BA'O的面积和ABO的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 Si = S?（3）证明：Si = S>不发生变化；理由：如图，过点 A作A'M LOB.过点A作ANXOB'X B'O的延长线于 N,.A'B'O是由ABO绕点O旋转得到，.BO=OB

20、9;, AO=OA', / AON+/ BON= 90 °, /A'OM+/BON= 90 °,/ AON= / A'OM ,在AON 和A'OM 中，AO-ArO ,.AONAA'OM （AAS）,.AN = A'M ,.BOA'的面积和AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即 Si = S>.【解析】 【分析】（1）先求出 OA, OB,再用锐角三角函数即可得出结论；（2）根据旋转的性质和直角三角形的性质可证得OA'=AA'=AO= A'B,然后根据等边 AAOA

21、的边AO、AA'上的高相等，即可得到S = 8; （3）根据旋转的性质可得 BO=OB', AA'=OA',再求出/AON=/A'OM,然后利用 箱角边”证明4AON和A'OM全等，根据全等三角形对应边 相等可得AN=A'M,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明9.如图所示，在平面直角坐标系 xoy中，直线y=4x+交x轴于点B,交y轴于点A, 过点C (1, 0)作x轴的垂线1,将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为 “ (0°< a< 180 °)管用图备用图(1)当直线1与直线y=11 x+VI平

22、行时，求出直线1的解析式；(2)若直线1经过点A, 求线段AC的长； 直接写出旋转角 a的度数；(3)若直线1在旋转过程中与 y轴交于D点，当ABD、ACD 4BCD均为等腰三角形 时，直接写出符合条件的旋转角a的度数.【答案】(1)解：当直线1与直线y=Gx+k|平行时，设直线1的解析式为y=k/j x+ b)直线1经过点C (1, 0),-0= 月 + b,.b=-a，直线1的解析式为y= '='x-*6(2)解： 对于直线y= 出'x+ J ,令x= 0得y=(,令y= 0得x= -1,.A (0, 0) , B (-1, 0),- C (1,0),.AC=、&#

23、39;产十 %妙"一，如图1中，作CE/ OA,/ ACE= / OAC, 0C «. tanZ OAC=战/ OAC= 30 :/ AC± 30 ；- a= 30 °(3)解：如图2中,当a= 15°时，1. CE/ OD,/ ODC= 15 °, / OAC= 30 °,/ ACD= Z ADC= 15 °,-.AD= AC= AB, .ADB, ADC是等腰三角形， OD垂直平分BC,.DB=DC, .DBC是等腰三角形；当 “=60 °时，易知 /DAC=/DCA= 30 °,DA= d

24、c= db, .ABD、AACD. BCD均为等腰三角形； 当 a= 105 °时，易知 Z ABD= Z ADB= Z ADC= Z ACD= 75 °, .ABD、AACD. BCD均为等腰三角形；/ DBC= / DCB= 15 °,.AB= BD= DC= AC, .ABD、AACD. BCD均为等腰三角形，综上所述：当 片15°或60°或105°或150°时，ABD、 ACD BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y=£ x+ b,把点C （1, 0）代入求出b即可；（2）求出点A

25、的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；如图1中，由丝CE/ OA,推出 /AC曰/OAC,由 tan/OAC= "3 ,推出 / OAC= 30°,即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可10 .已知抛物线二/ * dt +/与上轴的两个交点间的距离为2.（1）若此抛物线的对称轴为直线卜 ，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？（2）若此抛物线的顶点为（S, t）,请证明k二 7 ;（3）当，。二'4时，求心的取值范围【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线J 力，且抛物线与 或轴的两个交点间的距离为2,可得抛物线与 K轴的两个

26、交点为（0, 0）和（2, 0）, 所以抛物线-r=/ +必+ b的解析式为与x（x 2）当 /时，y 3（3 2）所以点（3,3）在此抛物线上.（2）解：抛物线的顶点为I® t）,则对称轴为直线 工,且抛物线与 黑轴的两个交点间的距离为2,可得抛物线与 内轴的两个交点为（m，0）和（I%一 九0）所以抛物线?二/ +白t +山的解析式为与 卜,=仆 写十"53 1才由产=a$十”行 岳 1）得产-（A -与尸-1所以F I ；（3）解：由（2）知F整理得由对称轴为直线 连=6 ,且二次项系数 /可知 当0 r 4、： 26时，b的随a的增大而增大当a=10时，得b = -

27、X 1(/ 0b = - X 2( - 1 = 99当a=20时，得所以当/0 ：4;26时，21 < b < 99【解析】【分析】（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然 后验证点（3,3）是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线 工 s ,再得出与x轴的两交点坐标为（卜 日 , 0）和（u J , 0）,再利用待定系数法求出解析式的顶点b - /式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式，根据函数的增减性分别计算 a=10和20时b的值从而得解.A(-2,4), B(-2, -2), C(4, -11 .在平面直角坐标系中，正

28、方形ABCD的四个顶点坐标分别为2), D(4,4).ABCD有四个交点时，k的取值范围是(2)已知抛物线 L: v - 曲”：刀(a>0)顶点P在边BC上，与边 AB, DC分别相交于A F - 点E, F,过点B的双曲线A(kw加边DC交于点N.点Q(m, -m2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点 Q随m运动，分别求运动过程中点 Q在最高位置和最低位置时的坐标BE E当点F在点N下方，AE=NF,点P不与B, C两点重合时，求如疗 的值.求证：抛物线L与直线1 = 1的交点M始终位于工轴下方.【答案】(1) 36; 0<k<4 或-8<k<

29、0(2)解：由题意可知，上哀阻W ，3 = -血# /卜，当m=-1, |九最大=4,在运动过程中点 Q在最高位置时的坐标为(-1,4)当m<-1时，卜1随m的增大而增大，当 m=-2时，也，最小二3,当m>-1时，卜1随m的增大而减小，当 m=4时，>(最小二-21,3>-21, 也最小=-21,点Q在最低位置时的坐标(4,-21) ，在运动过程中点 Q在最高位置时的坐标为(-1,4),最低位置时的坐标为(4,-21)k一-2 - ：二将点B (-2, -2)代入双曲线得二，k=4, 反比例函数解析式为44r - - y - 1N点横坐标x=4,代入 ：得 ,，N (

30、4, 1)由顶点P (m, n)在边BC上，/二一匚，BP二国i J , CP=/ 一必E点横坐标x=-2, F点横坐标x=4,分别代入抛物线 F -d& 露 子力可得E ( - 2f( -2 - f (I 凶尸-刀，5fa pJ . p.BE二h 二'一命，CF=也(于 叱，又 AE=NF,点F在点N下方,4 - a( - 2 -周产 - 2= I - a(4 - / - 2(m - I) 化简得由题意得，M匕*,展-M ,廿=4切 沙-1f - 2冬创W二次函数-财=的 上户 对称轴为m=1 ,4：4 ,当 m=1时，取得最小值为J当帆一 二或4时，一修最大为 J当m=4时

31、，抛物线L为V 工"n/-；,E点横坐标为-2,代入抛物线得 L 7 一 ?二由 - , /. E,一工次启一 一UF点横坐标为x=4,代入抛物线得上.二日白2二一二，F门一h.E点在AB边上，且此时不与 B重合,2 < 9a 7 W-二 yu W-二当山-i；时，抛物线L为F - df工+力？ _同理可得E f - 巴 -切，F 第讨-2). F在CD边上，且此时不与 C重合八 3&*$ A 0 < a W -.J 0,解得6 ,/；2 < 9a - 2- yu W-,士, a) J综上，抛物线L与直线x=1的交点始终位于x轴的下方.【解析】【解答】(1)解：由点A (-2, 4) , B (-2,-2)可知正方形的边长为 6,，正方形面积为36;当反比例函数在一、三象限时，若经过 B (-2, -2)则匕=/2)X (2)，若经过D(4,4),则* / X 1 = 16 ,根据图像特征，要有 4个交点，则0<k<4;当反比例函数在二、四象限时，若经过A(-2,4)则k = ( 2) X J 3 ,若经过C(4, -2)则k1X(2)8,根据图像特征，要有 4个交点，则-8