2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试题

1、2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试题一、单选题1 .以点2, 3为圆心，3为半径的圆的标准方程为()2 222A.(x 2)(y3)3B.(x2)(y3)9C.(x 2)2(y3)23D.(x2)2(y3)29B由圆的标准方程定义，即得解 .解：由圆的标准方程可得答案为 (x 2)2 (y 3)2 9故选：B点评：本题考查了圆的标准方程定义，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2.已知 x, y R , “ x 0且 y 0” 是 “ xy 0” 的()A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要A利用不等式的性质，由x 0且y 0,可证明

2、xy 0,反之若xy 0 ,也可以推出x 0且y 0 ,即得解.解：若x 0且y 0,显然xy 0 ,但是若xy 0,也可以推出x 0且y 0,故选：A点评：本题考查了充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理的能力，属于基础题.13.平行于直线y x且过2,1的直线方程为()2A. 2x y 3 0B. 2x y 5 0C. x 2y 0D. x 2y 4 0两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，根据点斜式方程可得解 解：1两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，故 k -,2，、r）1，根据点斜式方程可得 y 1-（x 2）,化简得x 2y 4 0故选：D点评：本题考查了过定点与已知直线平行的直

3、线方程,考查了学生概念理解，数学运算的能力,属于基础题.4.已知直线m , n ,平面,则下列说法：m m n m ; m/m/n;m/n m/ ；其中正确的个数（）A. 1B. 2C. 3D. 4本题考查了空间中的平行垂直关系，x5.若实数x , y满足约束条件 xyA. 8B. 4C画出可行域，转化 z x 3y为y时，z x 3 y取得最小值，联立求出根据线面垂直的性质可判定,根据线面垂直的判定定理可判断，根据线面平行的性 质可判断，根据线面平行的判定可判断解： 对于根据线面垂直的性质可知正确；对于根据线面垂直的判定必须是平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直才能判定线面垂直故错；对于根

4、据线面平行的性质，线与面平行不能推出与任意一条直线平行故错；对于根据线面平行的判定，可知正确故选：B 点评: 考查了学生概念理解，逻辑推理能力，属于中档题2y 2 0y 2 ，则z x 3y的最小值（）2C. 2D. 01 e -x z,可知当直线与可行域相交，且截距最小3C点坐标即得解.解: 如图，画出可行域，转化 z x 3y为y1 x z3z x 3 y取得最小值.由图像可知，经过 C点时，取得最小值联立x 2y 2x y 20C(2,0)可知当直线与可行域相交，且截距最小时，故 Zmin 2 3 0 2故选：C 点评：本题考查了线性规划问题，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力

5、，属于基 础题.6.双曲线y_ x2 1,则焦点到其中一条渐近线的距离为（）3A. 1B.、2C.、.3D. 2A由双曲线方程，得到焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式即得解.解：2双曲线方程：£ x2 1,3可得双曲线焦点坐标为0,2 ,渐近线方程为y J3x 0 ,由点到直线的距离公式可得 d -11 （故选：A点评：本题考查了双曲线的基本性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（)D. 3由三视图可知，该几何体为三棱柱 ABCABC1中割掉一个三棱锥 A ADE得到的几何体，用割补法V VABC A1B1C1 VA

6、 ADE 可得解.解:如下图所示,该几何体为三棱柱 ABCAB1ci中割掉一个三棱锥ADE得到的几何体11一,3VVABC ABG VA A1DE故选：A 点评：本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算能力，属于中档题.8 .如图两正方形 ABCD, CDFE所在的平面垂直，将 EFC沿着直线FC旋转一周,则直线EC与AC所成角的取值范围是（）B.712,12C.,12 2D.可证得AF AC故 ACF一周， CEAECFFCA,且3，CEFECF 4ACF,当 EFC沿着直线FC旋转ECF ,结合线线角的取值范围即得解.解:如下图所示,£连接

7、AF,因为正方形 ABCD和CDFE ,则ADFD CD , AD DC DF又因为面ABCD面 CDFE ,面 ABCDI 面 CDFE则AD面 CDFE因止匕ADDF .因此AF2 AD2DF2，AC2 AD2 DC2 , CF 2CD2DF 2,则 AF ACCF因此ACF因为ECF则当EFC沿着直线FC 旋转一周， CEA ECFFCA12CEF ACFECF ,12当 CEF为锐角或直角时，直线 EC和AC所成角的等于 CEF当 CEF为钝角时，直线EC和AC所成的角等于 CEF的补角因此直线EC和AC所成的角的取值范围是,故选：C12 2点评：本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查

8、了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.9 .正方体ABCD ABiGDi中，在 AB）内部（不含边界）存在点 P ,满足点P到平面ACCA的距离等于点P到棱BBi的距离.分别记二面角P AD B为，P AC B为 ，P BC A为，则下列说法正确的是（）A.B.确C如图连接PE , PF , PG ,记C.D.以上说法均不正PFQ ,因此tan PQ, QEtanPQ, tan QGPQ，比较长度关系即得解QF解:如图所示,因此 PB1 PG1,作PQ 面ABCD于Q ,作QEAD 于 E , QF BC 于 f , QG AC 于 G ,连PE, PF , PG ,则 PEQ

9、 , PGQ , PFQ .因此tanPQQE 'tanPQQG 'tanPQQF作 PE1 入口1于£1, PF1 B1cl 于 F1, PG1 1于61,PB1即点P到棱BB1的距离,PGi即点P到平面ACC1A1的距离，因为 QF PF1 PB1 PG1 QG ,因此 tan tan ,因为 QG PG1 PE1 QE ,因此tan tan综上有：tan tan tan ,即，故选：C点评：本题考查了几何法研究二面角的大小，考查了学生空间想象，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题 .2210 .已知双曲线与_y2 1 (a 0,b 0),过双曲线的左焦

10、点F c,0的直线 a bx J2y c交双曲线的渐近线与 A, B两点，若点M 2c,0满足MA | MB ,则双曲线的离心率eA. 3.4B 3.2D. 38. 2联立直线与两条渐近线，得到 A, B点坐标,再利用点 M在线段AB的中垂线上，可得b21 口丘彳 1,即得解.a28解:联立直线xc与两渐近线方程 yx联立方程5、2y 2by - xa、. 2ac5b .2a、/2bc5b、2a联立方程、,2ac5b 2aJ2bc5b2ax 5J2y c2by-xa.2ac 2bc5b . 2a , 5b 2a2ac 、. 2bc5b 2a,5b J2a从而AB的中点为N2a2c5、2b2c2

11、5b2 2a2,25b2 2a2由于点M在线段AB的中垂线上，从而直线 MN的斜率为，即5、. 2b2c25b2 2a252a2c2c 2-2_2/c故bya33/22.2425b 2a1-，从而a :b :c 8:1:9 ,故双曲线的离心率为 8故选：A 点评: 本题考查了直线与双曲线的位置关系，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能 力，属于中档题.二、填空题11 .已知圆柱的轴截面是边长为 2的正方形，则圆柱的侧面积为 .4试题分析：由已知圆柱的高为2,底面半径为1,所以圆柱的侧面积为 2 2 4.【考点】1.圆柱的侧面积；12 .已知抛物线C:x2 4y ,点P 3,m在抛物线上，

12、则该抛物线的焦点F的坐标为;点P到准线的距离为.(0,1)-429由抛物线C:x2 4 y可得F点坐标，代入 P坐标可解得m -,运算即可得解点 P到4准线的距离.解:焦点F的坐标为0,1 ,9点P 3,m在抛物线上，则 m E4 913从而点P到准线的距离为9 1 44,小，、13故答案为：（0,1）, 134点评： 本题考查了抛物线的方程和基本性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.13.中国古代数学名著 九章算术商攻 中，阐述：“斜解立方，得两堵.其一为阳马，一为鳖月需.阳马居二，鳖月需居一”.若称为“阳马”的某四棱锥如图所示，ABCD为矩形，PD 面ABCD,PD AD

13、3, AB 4,则PA与BC所成的角 PB与平面PDC所成角的正弦值 .3.344534PA与BC所成的角等于PA与AD所成的角，根据题设条件即得解，因为 BC ±平面PDC ,则PB与平面PDC所成角为 BPC ,根据长度关系即得解.解：PA与BC所成的角等于PA与AD所成的角，即PAD 45;因为BC ±平面PDC ,则PB与平面PDC所成角为 BPC ,所以BC 33.34sin BPC .PB . 3434故答案为:45,3x3434点评:本题考查了空间中的线线角，线面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能 力，属于中档题.14 .过原点O有一条直线l ,它

14、夹在两条直线li：2x y 2 0与l2：x y 3 0之间的线段恰好被点 O平分，则直线l的方程为.4y 5xa, b,得到A点坐标,设两交点分别为 A(a,2a 2) , B(b, 3 b),利用中点为原点求解即得解.解：设两交点分别为A(a,2a 2), B(b, 3 b),a b 02a 5 b5 a3故点A 5,4,53 34x.5b 3所以直线l的方程为y一一一 4故答案为：y x5点评: 本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.15 .已知直线l：(3k 1)x (1 k)y 4k 4 0 ,圆C的方程为：x2 y2 6x 8y 0 ,则直

15、线l恒过定点 ;若直线与圆相较于 A,B两 点，则弦 ab|长度的最小值 ；2,24.5转化直线为(3x y 4)k x y 4 0,恒过定点，因此3x y 4 0且x y 4 0联立即得定点坐标，当直线与 CM垂直时，弦 AB最短，利用勾股定理 即得解.解：Q (3k 1)x (1 k)y 4k 4 0,(3x y 4)k x y 4 0,3x y 4 0 x 2x y 4 0 y 2所以直线l恒过定点M 2,2 ._22_22_Qx y 6x 8y 0 (x 3) (y 4)25 C(3,4), r 5当直线与CM垂直时，弦AB最短，AB最小值2jr2 CM2 2后飞4痣故答案为：2,2

16、, 4J5.点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16 .如图，正三棱柱 ABC AB1C1中，各棱长均等于2, M为线段BBi上的动点，则平面ABC与平面AMCi所成的锐二面角余弦值的最大值为 空2如图建立空间坐标系，求解平面 ABC与平面AMC1的法向量，利用二面角的向量公式 即得解.解： 如图建立空间坐标系,则 A(点,0,0) , M(0,1,t), Ci(0, 1,2),uuur uurAC1J3, 1,2 , C1M(0,2,t 2),r 设平面AMCi的法向量为ni (x,y,z),uuuv rACi ni 0, 3x y

17、2z 0muuV rCiM ni 0 2y (t 2)z 0J t 2 c - 取 ni=,2 t,2 ,3r 平面ABC的法向量为n2 (0,0,i),cos2(2。2 3二(ti)2 62故答案为:点评: 本题考查了向量法求解二面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属 于中档题.217 .已知曲线C：L y2 i (m 0) , A 0,i , B 0, i , P是曲线C上的动点.当 mP与A, B重合时，PA, PB的斜率之积为 ； | PB| 2恒成立，则 m的取值范围是i0 m 2m设P(x,y),用点坐标表示kPA kPB ,利用椭圆方程化简即得解；转化 | PB|

18、 2为Jx2 (y 1)2 2，用椭圆方程替换x,可得m，结合y ( 1,1)即得解.解：设 P(x,y)则y 1 y 1kPA kPBx x|PB| ,x2-(y-1)2' ,m1 y2 .22.所以m 1y(1y)4在y所以 m 1y2(1y)24在 y(4 (1 y)2 y 32m 2- 1 在1 y y 1 y 12所以m 1 2,y 1 . min故0 m 21故答案为：一，0 m 2m点评：本题考查了椭圆中的定值和取值范围问题, 能力，属于中档题.y 12xy2 1m1；22x x m(y 1)2 2在y 1,1上恒成立，1,1上恒成立，显然当 y1时成立,1,1)上恒成立

19、,y ( 1,1)上恒成立，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算三、解答题18 .已知原命题是“若x2 x 6 0则x2 2x 8 0” .(1)试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假；(2)若“(x a)(x 2) 0”是“x2 x 6 0 ”的必要不充分条件，求实数 a的取 值范围.(1)逆命题：“若x2 2x 8 0则x2 x 6 0"，假命题；否命题：“若x2 x 6 0 则x2 2x 8 0"，假命题；逆否命题：“若x2 2x 8 0则x2 x 6 0 "，真命 题；(2) a 3(1)根据逆命题，否命题，逆否命题的定义，可得逆命

20、题，否命题，逆否命题，求解对应不等式的范围，以及原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得解；(2)若"(x a)(x 2) 0”是 2 x 6 0 ”的必要不充分条件，则不等x2 x 6 0的解2 x 3构成的集合为(x a)(x 2) 0的解集的真子集.分a 2, a 2, a 2三种情况讨论即得解.解：(1)根据逆命题，否命题，逆否命题的定义，逆命题：“若x2 2x 8 0则x2 x 6 0”；否命题：“若x2 x 6 0则x2 2x 8 0”；逆否命题：“若x2 2x 8 0则x2 x 6 0” .x2 x 6 0即：2x3;x2 2x 8 0 即：2x4可得：原命题“

21、若x2 x 6 0则x2 2x 8 0”是真命题，逆命题“若x2 2x 8 0则x2 x 6 0”是假命题，根据原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得：逆否命题为真，否命题为假.(2)若“(x a)(x 2) 0”是“x2 x 6 0 ”的必要不充分条件，则不等式x2 x 6 0的解2 x 3构成的集合为(x a)(x 2) 0的解集的真子集.(x a)(x 2) 0对应方程的根为xi a,x22若a 2 ,不等式的解为x2,不成立；若a 2,不等式的解为a x 2,不成立；若a 2 ,不等式的解为 2 x a,若2 x 3构成的集合是 2 x a构成的集合的真子集，则 a 3.综上

22、：实数a的取值范围是a 3.点评：本题考查了命题的四种形式以及充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理，转化划归，分类讨论的能力，属于中档题.19 .如图，空间几何体 ABCDEF中，四边形 ABCD, CDEF是全等的矩形，平面CDEF 平面ABCD ,且BC 2, AB 1 , M , N分别为线段AE , AD的中点.(1)求证：MN/平面BCF;(2)求证：FM BN(1)证明见解析；(2)证明见解析(1)(2)由平面CDEF平面ABCD ,可证得FC 面ABCD , MN /FC ,所以MN面ABCD,可得MN BN,勾股定理可证明 BN CN ,故BN 平面MNCF ,即得证.解

23、:(1)由M , N分别为线段AE , AD的中点,可证得MN / /ED ,又ED/FC ,由传递性得到 MN /FC即得证;MN /ED,又 ED/FC ,所以 MN /FC ，FC 平面BCF ,且MNMN /平面 BCF(2)证明：Q平面CDEF平面ABCD,平面CDEF I平面ABCDFC CD , FC 面 CDEF ,FC 面 ABCD ,MN / /FC ,所以 MN 面 ABCD , BN 面 ABCDMN BN在 BCN 中，bn CN 72，BC 2,所以 BN CN , MN CN N从而BN 平面MNCF ， FM平面MNCFFM BN .点评:本题考查了空间中的平行

24、垂直关系，考查了学生空间想象， 逻辑推理，转化划归的能力，属于中档题.20 .已知抛物线y2 4x,与圆F：(x 1)2 y2 1 ,直线MN : x my 4与抛物线相 交于M , N两点.(1)求证：OM ON .(2)若直线MN与圆F相切，求 OMN的面积S.(1)证明见解析；(2) 16J322(1)直线与抛物线联立，可得 yy216 , x1x2 里 至 16,可证得4 4uum uurOM ON xx2 y1y2 0，故得证；(2)由直线MN与圆F相切，可求得 m利用弦长公式，点到直线距离公式，可求得MN ,d° mn ,即得解.解：2y 4my 16 0,x my 4(

25、1)设 M x1,y1 , N x2，y2 联立 丫2 4x22y1y 216 Q x1 x2 "16 ,4 4uuuu uurOM ONx1x2 y1y2 0,即 OM ON .(2) Q直线MN与圆相切，d2-m 8,原点到直线MN的距离MN v1 m21 y1 y2|mTcy!y2)24yly2 24®,1 14-S -MN dO MN 24.3 16.3.2 2 3点评： 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能 力，属于中档题.21 .如图，斜三棱柱ABC ABC1中，ABC为边长为2的正三角形，点Ai在底面ABC上的射影为BC

26、的中点O, G在线段AO上，AG 2GO, H为OCi与BiC的交点,若BBi与平面ABC所成角为一.4(1)求二面角Bi OCi A的余弦值；(2)求直线GH与平面ABC所成角的正弦值.(i)立；(2)变 44(i)以OC, OA, OA为x, y, z轴建立空间坐标系，分别求解平面 BQCi ,平面AOCi的法向量，利用二面角的向量公式即得解.(2)求解平面 ABC的法向量，利用线面角的向量公式即得解解：(i)由于点A在底面ABC上的射影为BC的中点O, ABC为边长为2的正三角形,故OC, OA, OAi两两垂直。以OC , OA, OA为x, y , z轴建立空间坐标系,可得 A(0,

27、百,0), A(0,0,m), Ci(1 也#), B( i,虫圾,uuur_ _ujir_ _uuir=OCi (i, J3,J3), OB ( i, J3,J3), OA(0,0, v3)r设平面BQCi的法向量f (x,y,z),则r uuuvf OCi 0 r uuuvf OBi0x . 3y 3z 0x . 3y 3z 0rf (0,1,1)；设平面AOCri的法向量n(x, y,z),贝Ur uuvn OCi 0 r ULivn OA 0x 、3y、3zcos n, T3zr tn ft J|n| |f |(后,0);面角Bi(2)易知Gi2.2OCiAi的余弦值为设平面ABC的法向量为易知,由图象知二面角为锐角, 4,3 .33 , 3ULUT GH(0,0,1)，r uuur sin | cos v, GH |UUL