2019-2020学年北京市一七一中学高二第一学期期中考试数学试题解析

1、2019-2020学年北京市一七一中学高二第一学期期中考试数学试题、单选题.Vv1.设直线li的方向向量a (1,2, 2),直线12的方向向量b ( 2,3, m),若li则实数m的值为()A. 1B. 2C. 1D. 32答案：B rr解析由1112可得出ab,然后计算即可解：r r因为1112,所以a brr因为 a (1,2, 2), b ( 2,3,m)所以 122 32 m 0解得m 2 ,故选：B.点评：本题考查的是空间向量的坐标运算，较简单 .222 .椭圆二L 1的短轴长为()364A. 2B. 6C, 4D. 12答案：C解析由椭圆的标准方程求出b,求出2b即得.解：22由

2、椭圆工1 ,得b24, b 2, 2b 4,364所以椭圆的短轴长为为 4.故选：C.点评：本题考查椭圆的标准方程，属于基础题3 .设抛物线y2 8x上一点P到直线宝=-2的距离是6 ,则点P到该抛物线焦点的距离是A. 12B. 8C. 6D. 4答案：C解析先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=-2的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案.解答：解：抛物线 y2=8x的准线为x=-2 ,点P到直线x=-2的距离为6,，点P到准线x=-2的距离是6,根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是6,故选C. 224

3、 .已知双曲线 三 三 1 a 0, b 0的左、右焦点分别为 Fi、F2,在左支上过Fi a b的弦AB的长为5,若2a 8 ,那么 ABF2的周长是（）A . 16B. 18C. 21D. 26答案：D解析由双曲线的定义可得，AF2 AF1 2a, BF2BF1 2a,又AB AF1 BF1 ,可求周长 AF2 BF2 AB .解：由双曲线的定义可得，|AFz| |AFj 2a 8, BF2I |BFj 2a 8,AF2 BF2 AF1 BF116,又 AB AF1 BF15,又 AF2 BF216 AB 21,VABF2周长 AF2 BF2 AB 21 5 26.故选：D.点评：本题考查

4、焦点三角形的周长，属于基础题225 .已知双曲线 C： x2 Y2 1 （a>0, b>0）的一条渐近线方程为 a2 b222圆二 L 1有公共焦点，则 C的方程为（）1232 x A .82匕1102 x B.42C.-52 x D.一42y_3答案：B解析根据渐近线的方程可求得a, b的关系，再根据与椭圆2x122y-1有公共焦点求得c3即可.解:双曲线C的渐近线方程为y Y5x,可知2 2 a22，椭圆122y-1的焦点坐标为（一33,0）和（3,0），所以a2+ b2= 9,根据可知a2 = 4,b2= 5.故选：B.点评:本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法，属于基础题

5、型.一一 x26.椭圆一42y-1上的点到直线33币的距离的最小值是（答案：A解析设直线方程，令B. 2币D.ll与直线l平行且与椭圆y31相切，设直线ii ： ym，代入椭圆0,求出m,两平行线间的距离即为椭圆上的点到直线l的距离的最小值.解:22设直线Ii与直线l平行且与椭圆 y- 1相切，且直线L:y x43128m，得 7x2 8mx 4m2 12 0.4 7 4m2 12 0,得 m V7或 m"（舍）.l1 : y = x +所以直线li与直线l的距离为d =22所以椭圆士 _y_ 1上的点到直线l： y x 3"的距离的最小值为 J荷.43故选：A.点评： 本

6、题考查与椭圆有关的最值问题，考查学生的计算能力，属于基础题22.一x y7.在椭圆 1 1上有一点P, Fi、F2是椭圆的左、右焦点， FiPF?为直角二角42形，这样的点P有（）A . 2个B. 4个C. 6个D. 8个答案：C解析由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点Bi（0, J2）对Fi、F2张开的角最大，可得90 .当PFi x轴或PF2 x轴时，也满足题意.即可得出.解：由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点Bi（0, J2）F 52张开的角 最大，Qb近，a 2, c J2,此时 90 这样的点P有两个；当PFi x轴或PF2 x轴时，也满足题意.这样的点 P有4个；因此 FiPF2为直角三

7、角形，则这样的点 P有6个.故选：C.点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题.8 .如图，已知线段 AB上有一动点D （ D异于A B）,线段CD AB,且满足CD2 AD BD （ 是大于0且不等于i的常数），则点C的运动轨迹为（）CA D BA.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分答案：B解析解：以线段AB所在的直线为x轴，以线段 AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设C(x, y)是运动轨迹上任一点，且 AB| 2a,则A( a,0), B(a,0),所以 CD2 y2, AD BD (x a)(a x)x

8、2a2,22所以 y2x2a2,即 x2 y2a2, IP x- -yy 1 且 x a ,a a所以点C的运动轨迹为椭圆的一部分，故选 B.点睛：本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y) 0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程.(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.(4)代入(相关点)法：动点P(x, y)依赖于另一动点 Q(x0, y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x, y)的轨迹方程.二、填空题uur r uuu r umu r uur9

9、 .直三棱柱 ABC ABC 中，若 CA a，CB b，CCi c，则 AB-r r r答案:c b auuu解析根据题意，回出图形，利用空间向量的线性运算即可表不出aB.解：如图所示uur r uur r uuuu r 因为 CA a，CB b，CCi c,uuiruuuruuruuuuuuuuuurrr所以 ABA1AABCiCCBCAcba.r r r故答案为： c b a.点评：本题考查空间向量的线性运算，属于基础题2210.双曲线匕1的离心率为,渐近线方程为94答案：43y lx解析由双曲线的标准方程求出a,b,c ,即求离心率和渐近线方程解：22由双曲线x_ 匕 1 ,可得a2

10、9,b2 4, c2 a2 b2 13,94a 3,b 2,c 加，所以离心率e c3,渐近线方程y bx fx.a 3a 3故答案为：3； y 2x.33点评： 本题考查双曲线的标准方程和简单性质的应用，属于基础题111 .已知双曲线过点2,0 ,且渐近线方程为 y x ,则该双曲线的标准方程为22答案：y2 14b解析因为双曲线过点2,0，所以焦点在x轴上，且a 2,又渐近线方程为y -x,a求出b ,即可写出双曲线的标准方程 .解：因为双曲线过点2,0 ,所以焦点在x轴上，且a 2,又渐近线方程为所以双曲线的标准方程为2故答案为：二 y2 1.4点评：本题考查双曲线的标准方程，属于基础题

11、.一.一, X2212 .已知 ABC的顶点B、C在椭圆一 y 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭 3圆的另外一个焦点在 BC边上，则4ABC的周长是 答案：4.3解析试题分析：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得 ABC的周长为4a=4百，所以，答案为 4 J3 .【考点】椭圆的定义，椭圆的几何性质.点评：简单题，涉及椭圆的焦点弦时，往往要运用椭圆的定义.13 .如图所示，在棱长为 2的正方体ABCD ABiCiDi中，O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 uuuu uur解析建立空间直角坐标系，写出D1,

12、F,O,E的坐标，写出向量 FD1,OE的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值解： 建立空间直角坐标系，如图所示则 Di 0,0,2 , F 1,0,0,O 1,1,0 ,E 0,2,1 ,uur ,OE1,1,1 ,UUUUFD1L|UIUIV5, OEuuirOEuuuu gFD11 II IKI305ULUIOEUUUUFD1出V55，uuuuFD11,0,2uur uuurcos OE, FD1所以异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 .5V3,故答案为：15. 5点评：本题考查异面直线所成的角，属于基础题.fm的延长线交y轴于点214 .已知F是抛物线C： y 8x的焦点，M是C上一

13、点,N .若M为FN的中点，则FN .答案：6解析求出抛物线的焦点 F的坐标，准线方程，由题意可得点M的横坐标，由抛物线的定义可求MF ,又FN 2 MF ,即求.解：2抛物线C： y8x的焦点F 2,0 ,准线方程x 2,由题意可得，点 M的横坐标为1,由抛物线的定义可得 MF 123,|FN 2 MF 6.故答案为：6.点评：本题主要考查抛物线的定义，属于基础题 .- 215.已知点P在抛物线y 4x上，那么点P到点Q(2, 1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P的坐标为-1答案：一，1 4解析由抛物线定义可得|PF| |PQ |PPi |PQ | PQ,由此可知当P为Q

14、Qi与抛物线的交点时，| PF PQ取得最小值，进而求得点 P坐标.解：由题意得：抛物线焦点为 F 1,0 ,准线为x 1作PP1, QQ1垂直于准线，如下图所示：由抛物线定义知：PF PRPF PQ| |PP |PQ PQ (当且仅当Q,P, P三点共线时取等号)1即PF PQ的最小值为QQ ,此时P为QQ1与抛物线的交点P -, 141，故答案为 一，14点评：本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置22_16.已知椭圆G ：工 1(0 b J6)的两个焦点分别为F1和F2,短轴的两个端6 b2点分别为B1和B2

15、,点P在椭圆G上，且满足PB1 PB2PF1 PF2，当b变化时，给出下列三个命题：点P的轨迹关于y轴对称；OP的最小值为2；存在b使得椭圆G上满足条件的点 P仅有两个，其中，所有正确命题的序号是 .答案：.一 ，-y2x2解析分析：运用椭圆的定义可得 P也在椭圆2_ x 1上，分别回出两个椭圆的图OP的值6 6 b2形，即可判断 正确；由图象可得当 p的横坐标和纵坐标的绝对值相等时,取得最小，即可判断 正确；通过b的变化，可得 不正确.详解:22椭圆G: 上 1 16 b20 b J6的两个焦点分别为F1 66 b2,0 和 F26 b2,0 ,短轴的两个端点分别为Bi 0, b 和 B2

16、0,b ,设P x,y，点p在椭圆G上,且满足 PBi PB2 PFi PF2由椭圆定义可得，PBPB2 2a 276 2b,_y2X2即有P在椭圆上一1上， 6 6 b2对于，将x换为x方程不变，则点p的轨迹关于y轴对称，故 正确.；对于，由图象可得，当P满足x2 y2,即有6 b2 b2,即b J3时，OP取得最小值，22可得x y 2时，即有OP Jx2 y2 J2"2 2取得最小值为2,故正确;对于，由图象可得轨迹关于 x，y轴对称，且0 b J6,则椭圆G上满足条件的点 P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点 P有2个，故不正确.,故答案为.点睛：本题主要考查椭圆的标准

17、方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题17.已知椭圆的两焦点为Fi 行。，F2 J3,。，离心率e .2(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l： y x 1,若l与此椭圆相交于P、Q两点，求PQ的长.答案：(1) x- y2 1 ； (2)吧.45解析(1)由题意可得c,由离心率可得a ,再根据b2 a2 c2 ,求出b2 ,即得椭圆的方程;(2)由直线方程和椭圆方程联立，消y ,求出方程的两根

18、，再由弦长公式求PQ的长.解:(1)由题意可得cJ3,又离心率a 2, b222c2a c 261,2所以椭圆的方程为y21.4(2)直线l的斜率k 1 ,2x 2., y 1、一,rn由 4消y ,可得5x 8xy x 10 ,设方程的两根为 X,x2 ,则为 0,x2PQ V1 k2 |x1 x2。1 12 088255点评：本题考查椭圆的方程和弦长公式，属于基础题18.已知抛物线C : y2 2px经过点P 2,2 ,其焦点为F .直线y X 2与抛物线C 相交于点A、B.(1)求抛物线C的方程以及焦点 F的坐标；(2)求证：OA OB.21答案：(1)抛物线C的方程为y2 2x,焦点F

19、 2,0 ； (2)证明见解析.解析(1)把点P 2,2代入抛物线C ： y2 2px,求出P ,可得抛物线C的方程及焦 点F的坐标；(2)设A xi,yi ,B X2,y2 ,将直线方程与抛物线方程联立，消 y,利用韦达定理证uuu ULU明 OAOB 0,即证 OA OB .解:(1) Q抛物线C : y2 2 px经过点2,2222p2,p 1.21抛物线C的万程为y2 2x，焦点F ,0 .2(2)设 A x1， ,B x2,y2 ,y2 2x ,32由消 y,得 x 6x 4 0, x1 x2 6,4x2 4,y x 2y1y2x12x22xx22x1x24 4 2 6 44,LUU

20、 LULxx2 y/2 440,即 oaob 0，OA OB.点评：本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，属于基础题19.如图1,在VABC中，D, E分别为AB, AC的中点，。为DE的中点,AB AC 2芯，BC 4 .将VABC沿DE折起到ADE的位置，使得平面ADE 平面BCED ,如图2.(HHl图2(1)求证：AO BD ；(2)求直线 AC和平面ABD所成角的正弦值.答案：(1)证明见解析；(2) ”2.3解析(1)由题意可得AO DE ,又平面ADE 平面BCED ,且平面ADE I平面BCED DE , AO 平面 ADE ,所以 AO 平面 BCED ,可证 AO

21、BD ；(2)以O为原点，建立空间直角坐标系，求平面 A1BD的法向量，用向量的方法求直线AC和平面ABD所成角的正弦值.解：(1)连接AO.图1中，Q AB AC,D, E分别为AB, AC的中点， AD AE , 即AD AE,又O为DE的中点，AO DE.又平面ADE 平面BCED ,且平面ADE I平面BCED DE , AO 平面ADE ,AO 平面BCED，又BD 平面BCED , AO BD .(2)取BC中点G ,连接OG ,则OG DE .由(1)可知 AO 平面 BCED , OG 平面 BCED AO DE, AO OG .以O为原点，分别以OG,OE,OA所在直线为x轴

22、、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示Q AB AC 2>/5 , BC 4,AD 后DE 2, OD 1, AO2.A 0,0,2 ,B 2, 2,0 ,C 2,2,0 ,D 0, 1,0 ,uuurABuuuruuur2, 2, 2 ,AD 0, 1, 2 ,AC2,2,，器 2、3r设平面ABD的法向量为nx, y, z，v uuuv皿nA1B0目口2x2y则vuUUV,即n AD0y2z2z1,则2,x1,设直线sinr1, 2,1 ,n、.6.AC和平面ABD所成的角为uuur r cos AC , nuuur rACgn-uuur rAC n2.2所以直线 AC和平面AB

23、D所成角的正弦值为2.23点评:考查学生的运算能力，属于中本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角, 档题.20.如图，在多面体 ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形 ABCD所在平面互相垂1-直， AFDE, DE AD, AD BE, AF AD -DE 1 , AB 72.FA（i）求证：BF/平面CDE ；（n）求二面角B EF D的余弦值;（出）判断线段BE上是否存在点Q ,使得平面CDQ 平面BEF ?若存在，求出也BE的值，若不存在，说明理由.答案：（I ）见解析；（n ） Y6 ；（出）BQ - 3BE 7解析（I ）根据线线平行得线面平行 AB/平面CDE , A

24、F/平面CDE ,再根据线面 平行得面面平行平面 ABF /平面CDE ,最后由面面平行性质得结论，（n）先根据面面垂直得线面垂直 DE 平面ABCD ,再得线线垂直 DE DB ,类似可得AD BD, 进而建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面 BEF的一个法向量， 利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（出）先uuv uuv设BQ BE ,再利用方程组解得平面 CDQ的一个 法向量，最后根据两法向量数量积为零解得结果.解：（I ）由底面ABCD为平行四边形，知 AB/CD ,又因为AB 平面CDE,CD 平面CDE,所以AB/平面CDE.同理AF

25、/平面CDE ,又因为AB AF A,所以平面 ABF平面CDE.又因为BF 平面ABF ,所以BF 平面CDE（n ）连接BD ,因为平面ADEF 平面ABCD ,平面ADEF 平面ABCD AD ,DE AD ,所以DE 平面ABCD.则DE DB .又因为 DE AD , AD BE , DE BE E ,所以 AD 平面 BDE ,则 AD BD .故DA, DB, DE两两垂直，所以以DA, DB, DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系，则D 0,0,0 , A 1,0,0 ,B 0,1,0uuvE 0,0,2 , F 1,0,1 ,所以 BEuuv0, 1,2 ,EF1,0, 1 ,0,1,0为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的一个法向量为x,y,z ,uuv BEuuv EF2z 0, c 令zz 0,1，得m1,2,1所以cos如图可得二面角EFD为锐角,所以二面角BEFD的余弦值为3(m )结论：线段BE上存在点Q ,使得平面CDQ平面BEF .uuu/证明如下：设BQuuvBE0,2所以uuvDQuuv u