(完整word版)高中数学曲线与方程

1、9.9曲线与方程一、填空题1 .方程(xy)2+ (xy1)2=0表示的是.解析(x-y)2+ (xy 1)2 = 0?xy=0,xy 1 = 0,x=1,x= 1,或 .y=1y= 1.故此方程表示两个点.答案两个点2 .方程| y| 1 =1- x-12表示的曲线是.|y|-1>0解析 原方程等价于1 x120|y| - 1 2= 1 x1 2? |y|-1>0 - x-12+ y|12 = 1? y"1 22 或产二2x- 1 2+ y 12=1 x-1 2+ y+ 1 2=1答案两个半圆3 .动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹

2、方程 为.解析 考查抛物线定义及标准方程，知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=2, 所以其方程为y2 8x.答案y2 8x4 .设P为圆x2 + y2= 1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q若PM启入MQ其 中人为正常数)，则点M的轨迹为.解析 设 M(x, y), P(xo, yo),则 Q(xo,0),由PM= wiQ得x x0= Xxo x , yy0=一入 y(A 0),xx,y0=狂 1 y.由于 x20+y20=1, a x2x y 8.对于曲线C： ;一-+-一;=1,给出下面四个命题:4 k k 1+( 1)2y2=1,M 的轨迹为椭圆.答案椭圆2 o5 .设P为双

3、曲线24 y2 1上一动点，0为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M 的轨迹方程是.解析设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得.答案x2 4y2 16 .如图所示，一圆形纸片的圆心为 0, F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把 纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD设CD与OMfc于点P,则点 P的轨迹是.解析由条件知P阵PF. P» PF= P» P阵。阵 R>OF.P点的轨迹是以Q F为焦点的椭圆.答案椭圆7.若ABC勺顶点A( -5,0)、B(5,0) , ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则 顶点C的轨迹方程是.解析 如图AD= A98,

4、 BF= B92, C*CF,所以CA-C五8 2 = 6.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方 22程为弓一泊1(x>3). 9160 E li x i-322，-x y答案 q 16=1(x>3) 916曲线C不可能表示椭圆；当1<k<4时，曲线C表示椭圆；若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4； 5右曲线C表小焦点在x轴上的椭圆，则1<k<2.其中所有正确命题的序号为.解析根据椭圆和双曲线的定义，可得当4-k>0, k-1>0,4“k 1,k<4,5 k*2时，表示椭圆；当k<1或k

5、>4时，表示双曲线.答案a 一 一 a9.在4ABC中，A为动点，B、C为定点，B , 0 , C-, 0(a>0),且潴足条一 一 _ 1件sin C- sin B= ,sin A,则动点A的轨迹方程是.AB AC 1 BC解析 由正弦止理得 充一充=7X , 2R 2R 2 2R-1 AB- A最2BC由双曲线的定义知动点 A的轨迹为双曲线右支._ 2_ 2-16x16y厂答案 R=1(x>0且 yw0) a 3a22一一一 x y10.已知P是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，gpF+危，则动点q的轨迹方程

6、是:解析由五PFi+PF2,又 PF+Pfc=PMk 2磔2OP1 d 1x y设 Qx, y),则OP= 2。金2(x, y)= -2, -2 ,， x y 即P点坐标为一2, -2 ,又P在椭圆上，则有2 bT，22答案卷+看=i(a>b>0)11.已知两条直线li： 2x 3y+2=0和l 2： 3x 2y+3=0,有一动圆(圆心和半 径都动)与li、I2都相交，且li、I2被圆截得的弦长分别是定值26和24,则圆心 的轨迹方程是:解析 设动圆的圆心为Mx, y),半径为r,点M到直线l 1, 12的距离分别为di 和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，2业2 d21 =

7、 26,r2 d21 = 169,1 即 2,2Jr2-d22=24,r d22=144,消去r得动点M满足的几何关系为d22d21=25,2 2口 “ 3x-2y + 32x-3y + 2即女=25.1313化简得(x+1)2 y2 = 65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.答案(x+1)2 y2 = 6512 .直线a+七=1与*y轴交点的中点的轨迹方程是, x y ,、，解析(参数法)设直线二十 ；;=1与x、y轴父点为A(a, 0)、B(0,2 a), A、B a 2 aa a r中点为 Mx, y),则 x = 2, y=12,消去 a,得 x + y=1, aw0, aw2,.x

8、w。,xw1.答案 x + y=1(xw0, xw1)13 .到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 .解析 在边长为a的正方体ABCDAiGD中，DC与AD是两条相互垂直的异面直 线，平面ABCDS直线DC且平彳T于AiD,以D为原点，分别以DA DC为x轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点 P(x, y)在平面ABCM且到AD与DC之间的距离 相等，|x| =曾+ a2,.x2 y2=a2,故该轨迹为双曲线.答案双曲线二、解答题14.求过直线x-2y+4=0和圆x2 y2的圆的方程：过原点；有最小面积.解析设所求圆的方程是x2 y2 2x即

9、x2 y2 (2 )x 2(2 )y 1 4(1)因为圆过原点，所以1 40即故所求圆的方程为x2 y2 4 x -2 y(2)将圆系方程化为标准式，有：(x 勺)2 (y 2)2 5(1)22452x 4y 1=0的交点，且满足下列条件之一4y 1 (x 2 y+4)=0,0.140 .当其半径最小时，圆的面积最小，此时 尹所求.故满足条件的圆的方程是(x 4)2 (y 8)2 ?.555点评：(1)直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也 可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小；也可用几何意义，即直线与相 交弦为直径时圆面积最小.22，一 一 x y 一 ,

10、一一一 ， 一15.如图，椭圆C: 16+； = 1的右顶点是A,上、下两个顶点分别为 B、D,四边形OAM是夕!形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA AM的中点.Af(1)求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上;过点B的直线li, I2与椭圆C分别交于点R S(不同于点B),且它们的斜率1ki, k2满足kik2= 4,求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标.解析(1)由题意，得 A(4,0) , B(0,2) , D(0 , 2), E(2,0) , P(4,1).1所以直线DE的方程为y = x 2,直线BP的方程为y=4X + 2.y=x2,解方程组1 一y= 4x + 2,

11、16 x="5 '6 y = 5.所以直线DE与直线BP的交点坐标为 黑6 .5 516 26 2因为一十七二1，“16 6x2 y2r所以点工，占在椭圆吞+了=1上.5 516 4即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上.(2)设直线BR的方程为y=kd+2.y=k1x + 2,解方程组x2 y2+ -= 116 4'x = 0, y=2或y=16k121 + 4k；2 8k11+4k2'162-8k2所以八、R的坐标为-1 + 4k2，1 + 4k2 .一，1 1因为匕仁一矛所以直线BS的斜率心一而 1直线BS的方程为y= x + 2.4ki1 一 y k +

12、 2,解方程组x2216+7 二 1，x = 0,y=216k1x=1+4k>8k1 一 2y1+4k2.16k1所以点S的坐标为普记,8k1 一 21 + 4k2 .所以点R, S关于坐标原点O对称.故R, O, S三点共线，即直线RS过定点O 16.已知圆O: x2 + y2= 2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为乎的椭圆，其左焦点为F.若点P是圆。上的一点，连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q（1）求椭圆C的标准方程；若点P的坐标为（1,1）,求证：直线PQ与圆。相切; 试探究：当点P在圆。上运动时（不与点A B重合），直线PQ与圆O是否保持相切

13、的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由.2解析（1）因为a=也,e= 2 ，所以c=1.x22则b=1,即椭圆C的标准方程为2+y2= 1.一，一，1 因为P（1,1）,所以kPF= 2,所以ko声一2,所以直线OQ勺方程为y= 2x.又椭圆的左准线方程为x= 2,所以点Q2,4）.所以kP衿1.又ko右1,所以koP- kP户1,即OPL PQ故直线PQ与圆O相切.当点P在圆。上运动时，直线PQ与圆。保持相切.x0+ 1ko* 一y。证明如下： 设 P（x。，yo）（xow。，±1）,则 y2 = 2 x。，所以 kPF=y-,x。十|所以直线OQ的方程为y=x.yo-2x0

14、 + 2所以点Q-2,ky所以kP衿-2x0+ 20 -2-,八V。 v。 2x0+ 2x° 2x°x0Xo+2x0+ 2y。 x0+2y。y。'又kT，所以koP.kP= -1,即OPLPQ故直线PQ始终与圆0相切.17.如图，在直角坐标系中，A、B、C三点在x轴上，原点0和点B分别是线段AB和AC的中点，已知A0= m（m为常数），平面的点P满足P- PB= 6m（1）试求点P的轨迹C的方程;x y若点（x, y）在曲线Ci上，求证：点3, 家一定在某圆G上； 过点C作直线l与圆G相交于M N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程.解析（1）由题意可

15、得点P的轨迹C是以A、B为焦点的椭圆，且半焦距长c=m,长半轴长a=3m,则G的方程为三+ *2=1.9m 8m若点（x, y）在曲线G上，则2+29m 8mx y=1.设3= x。，）丁丫。，贝 ij x = 3x°, y = 2v2y。. 22x y222代入9m2+8m2=1,得 xo+yo=m,-x所以点3,3定在某一圆G上.由题意，得C（3m,Q）.设 M(xi, yi),则 x2+ y2=m.,xi+3m yi因为点N恰好是线段CM的中点，所以Nx-,1.代入g的方程得x123m2+ y12= m.联立，解得xi = m, y=0.故直线l有且只有一条，方程为y = 0.

16、18.在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(4,0) , B(4,0),动点P与点A、B一、一 ，1连线的斜率之积为-.4求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C,半径为r的圆M的圆心M在线段AC的 垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为43r.求圆M的方程；当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.解析(1)设P(x, y),则直线PA PB的斜率分别为k=-,k2 一x+4'x-4yy1x2y2由题息，知 即忑+了= 1(xw ± 4).x + 4x 44164'' 2一 xy所以动点P的轨迹万程是16+； = 1(xw±4).由题意，得C(0 , 2) , A( 4,0),所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x + 3.设 M(a, 2a+3)( a>0),则。M的方程为(x a)2+ (y2a 3)2= r2.圆心M到y轴的距离d = a,由r2= d2+ "|r 2,彳导a=2.所以OM的方