2018-2019学年安徽省安庆一中高一第二学期期末考试数学试题(解析版)

1、2018-2019学年安徽省安庆一中高一第二学期期末考试数学试题一、单选题1.不等式3x2 7x 6至0的解集为（）A|-3,_ B （00, 3 ，-,1C ,3 1 3 J13J1 3 J2D . I -, R3,依）3【答案】D【解析】运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集.【详解】不等式3x2 _7x _6之0可以因式分解为（x3）（3x+2）之0 ,又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为2I -00, - L 13,收）,故选 D3【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，较为简单2 .空间中可以确定一个平面的条件是

2、（）A .三个点B.四个点C.三角形D.四边形【答案】C【解析】根据公理 2即可得出答案。【详解】在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故 B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故 C正确；在D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D错误.【点睛】本题对公理2进行了考查，确定一个平面关键是对过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面的理解。3 .若直线li ：ax+2y 4=0与l2：x+(a+1)y+2 = 0平行，则实数a的值为()2A . a =

3、-2 或 a =1B . a =1C. a = -2D . a =3【答案】B【解析】利用直线与直线平行的性质求解.【详解】直线 11 : ax+2y 4 = 0与 12 : x+(a +1)y+ 2 =0平行，解得a=1或a= - 2.当a= - 2时，两直线重合, a= 1 .故选：B.本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理 运用.4.设AABC的内角A, B,C所对的边分别为a,b,c ,若a =3,b = J3,A =则B =( )A.二或旦B.二C.旦D及66663【答案】B【解析】根据正弦定理求解即可得到所求结果.【详解】a b由正弦定理得 一

4、a=一b, sinA sinBsinB =bsinA又 b 0, b0,若3是3a与3b的等比中项，则1 4十一的最小值为（）a bA. 2720.3*291 4十的a bC- 2【解析】由3是3a与3b的等比中项，可得 a+b = 2,再利用不等式知识可得最小值.【详解】解：3是3a与3b的等比中项，,3a 3b = 32,二 a +b=2,14 11一.二 一a b 2 a41b4a19+ |(a+b)=.5+| 一(5+2V4)=-b2ab22故选C.【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力6.已知l,m,n为三条不同直线， u,为三个不同平面

5、，则下列判断正确的是（）A.若 anP=m, 口口=门，l_Lm, l_Ln,则 l_Lc（B.若 mLJa , nl_l ,则 m nC.若汽。0=1, mU , ml。，则 milD.若m_Lof, nl_B, g_lP,则 m_Ln【答案】C【解析】根据线线位置关系，线面位置关系，以及面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，当 口 1_ 时，由。n P = m ,。n?= n可彳# m l_ n ,此时由| _L m , l _L n可得l u支或l 或l与a相交；所以A错误；第3页共18页B选项，若mJ , n|J，则m|_n,或m，n相交，或m, n异面；所以b错误;C

6、选项，若=l , mU , mU P ,根据线面平行的性质，可得 mLJl ,所以C正 确；D 选项，若m_La, _lP,则 m二 P 或mUP,又 nUP,则 mLln,或 m, n 相交， 或m,n异面；所以D错误； 故选C【点睛】本题主要考查线面，面面有关命题的判定，熟记空间中点线面位置关系即可，属于常考题型.7 .已知点P与点Q（1,-2 ）关于直线x+y-1=0对称，则点P的坐标为（）A. （3,0）【答案】AB (一3,2)C. (-3,0)D. (-1,2 )【解析】根据题意，设P的坐标为（a, b）,分析可得U=1a-1u .一二122,解可得a、b【点睛】第5页共18页的值

7、，即可得答案.a 1 b - 2设P的坐标为（a, b）,则PQ的中点坐标为（，）,22若点P与Q （1, - 2）关于x+y-1 = 0对称，则有U=1 a-1;匕二1,22解可得：a =3, b = 0,则点P的坐标为（3,0）；故选：A.【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法,涉及直线与直线的位置关系，属于基础题.8 .己知等差数列an的公差为-1,前n项和为Sn,若a3,a5,a7为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为 1201则Sn的最大值为（）A. 25B. 40C. 50D. 45【答案】D【解析】利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解Sn的最

8、大值.【详解】等差数列烝的公差为1, a3,a5,a7为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120,222可付：a? =a5 4a7 +a5a7)得 0 4）（a 一9） =0 ,所以 a1 =4 （舍）或 a1 = 9 ,2Sn =9n nn（_i）=zn_9n 22所以n=9或n=10时, 故Sn的最大值为4 = 0=45.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(C.13二D.3【解析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可【详解】由三视图

9、可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积O 1O 1 13二V =冗父12父2+一冗父12父1父一=.故选C326只需先由三视图确定几何体本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题, 的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型 .10 .如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB = AD = J3, AA =1,而对角线AB上存在一点P,使得AP|+|DiP取得最小值，则此最小值为（）If第9页共18页A.用B. 3C. 1+T3D. 2【答案】A 【解析】把面 AAiB绕AB旋转至面BAiM使其与对角面 ABCDi在同一平面上，连接MDi并求出，就是

10、最小值.【详解】 把面AAiB绕AB旋转至面BAiM使其与对角面AiBCDi在同一平面上，连接MDi. MDi就是|AP|十| DiP|的最小值,3 一0V |AB|=| AD | = 2),又 a1 =1 , an=an- anian-an_2. a2-a1. &n n 112 o 11=n 十(n 1 )十(n -2 )+.+2 +1 =.则=1-77、= 2 - -2ann n1 nn -1：111 1 ” 1 1 1111彳+.|21.1211:aa2a2018 _2 2 32018 2019力2019【点睛】 本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，考查新定义，意在考查学生对这些知

11、识 的理解掌握水平和分析推理能力12 .已知正方体ABCD A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD ABC1D1所得的截1A- i0,2j面为五边形，则线段 BM的取值范围是（B 11c.B . 1 ，1 121【解析】当点 M为线段BC的中点时，回出截面为四边形，当 BM 一时，画出截面 2为五边形，结合选项可得结论【详解】;正方体ABCD A1B1c1D1的体积为1,所以正方体的棱长为 1,点M在线段BC上（点M异于B,C两点），当点M为线段BC的中点时，MN /AD1A,M , N,Di共面，截面为四边形

12、AMND i ,如图,B1即BM =-，不合题意，排除选项 A,C,D；21当BM A 时，截面为五边形，如图，符合题意, 2即平面AMN截正方体ABCD - AB1C1D1所得的截面为五边形，1线段BM的取值范围为.一,1 .2故选B.【点睛】本题主要考查正方体的性质、截面的画法，考查作图能力与空间想象能力，意在考查对基础知识的熟练掌握与灵活应用，属于难题.二、填空题y-2013 .已知实数x,y满足不等式组x-y-1 0 ,则的取值范围为 Ixx y -3 - 0【答案】1,2 一2【解析】作出可行域，y表示（x,y ）与（0, 0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小 x值，最大值即可求解

13、.y-2 0如图，不等式组x-y -1, 0表示的平面区域 ABC （包括边界），所以且表示（x,y）x y - 3 0x与（0,0）连线的斜率，因为 A（1,2 ）, B（2,1）,所以 koA=2, koB =1,故/ w .1,2 L2 x _2【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.14 .如图， ABC是直角三角形，/ABC = 90, PAL平面ABC ,则此图形中有 个直角三角形.【答案】4【解析】推导出 AB 1 BC , PAI BC ,从而BC _L平面PAB ,由此能求出图中直角 三角形的个数.【详解】|_ABC是直角三角

14、形，/ABC =90、PA_L平面ABC,AB -L BC , PA -L BC ,ABC pa = A, ，BC_L 平面 PAB,，图中直角三角形有|_ABC （/ABC是直角），|_PAC （/PAC是直角），PAB （/PAB 是直角），|_PBC （/PBC是直角），图中直角三角形有 4个，故答案为4.【点睛】 本题考查几何体中直角三角形的个数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题.abc15 .在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c , BC边

15、上的图为一，则一 十22c 2b的最大值是.【答案】,2【解析】利用三角形面积公式可得a2 =2bcsin A,利用余弦定理化简原式为sinA+cosA ,再利用两角和的正弦公式与三角函数的有界性可得结果【详解】a因为BC边上的高为一，21a1 ,所以一父一Ma = bcsin A ,即 a2 =2bcsin A,2 22222bc b ca 2bccosA可得=2c 2b 2bc 2bc2bcsin A 2b ccos A . A A _2bc二 sin A cos A = 2,b c-故+的最大值是J2 2c 2b故答案为2 对余弦定本题主要考查三角形面积公式、余弦定理、两角和的正弦公式，

16、属于中档题222 一. b2 c22bc理一te要熟记两种形式：(1) a =b +c 2bccosA； (2)cosA = 时还要熟练掌握运用两种形式的条件16.在四面体 ABCD 中，AB=AD =2,/BAD =60：/BCD =90,二面角ABD-C的大小为150,则四面体 ABCD外接球的半径为 .【解析】画出图象如下图所示，其中E为等边三角形BD边的中点，Oi为等边三角形的中心（等边三角形四心合一力球心O在E点的正上方，也在Oi点的正上方.依题意知NOEOi = 60，,OiE = QA =拽，在 RSOOiE 中 OOi = OiEtan 60 = 1，所以外 33接圆半径 r

17、= OA = 00厂。A2 =,14= -21三、解答题17.在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为 点，点D是母线PA的中点.4,点C是底面直径AB所对弧的中第19页共18页（1）求该圆锥的侧面积与体积;（2）求异面直线 AB与CD所成角的正切值(1)8 -33冗,【解析】（1）先求出PO= 2 J3,再利用公式求该圆锥的侧面积与体积；（2）取PO的中点E ,连接DE , CE ,则/CDE或其补角即为所求，再求其正切值得解【详解】(1)由题意，得 OB=2，PB=4, po = Jpb2 _OB2 =2限,所以圆锥的侧面积为 S=m=n 2 4=8几，V=32h=322 273 = ;3

18、取PO的中点E,连接DE , CE,则/CDE或其补角即为所求，因为 DEEO,DE OC, EO,OC U 平面EOC, EOpOC =O ,1 -所以 DE，平面 EOC, DE .L EC , DE = OA =1 一2CE=JOC2 +OE2 = ,22+(T3 )=，于是 tan CDE =-7 = ,7 ,1即异面直线AB与CD所成角的正切值为 .【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积和体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力318.已知直线li的方程为x+2y -4=0若I?在x轴上的截距为一，且li,l2.2(1)求直线11和12的交

19、点坐标；(2)已知直线13经过11与12的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求13的方程.一 一1 一 一一【答案】(1) (2,1)；(2) y = x或2x+y5 = 02【解析】(1)利用1i112,可得斜率k12 .利用点斜式可得直线12的方程，与直线11和12的交点坐标为（2, 1）；（2）当直线13经过原点时，可得方程.当直线13不经过过原点时，设在 x轴上截距为awq则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：x+-y=1,把交点坐标（2, 1）代入可a 2a得a.【详解】-1 k =二解：（1） 1i112,121 2.23直线的方程为：y-0=2 （x_）,化为：y=2x-

20、3.x = 2,解得/y =1x 2y-4 =0联立2x _y _3 =0，直线1i和12的交点坐标为（2, 1）.（2）当直线13经过原点时，可得方程:1y=-x.2当直线13不经过过原点时，设在 x轴上截距为awq则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：x+-y-=1,把交点坐标（2, 1）代入可得：2+2=1,解得a = 5.a 2aa 2a2可得方程：2x+y= 5.综上可得直线13的方程为：x-2y=0, 2x+y-5=0.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.19.已知在 MBC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c , A为

21、锐角，且满足3b =5asinB.（1）求 sin2A + cos2 CKt；2（2）若a=J2, AABC的面积为-,求b,c.253【答案】（I ） （n） b = c = /5503【解析】（I ）根据正弦定理将条件进行化简，得到 sinA=-,然后利用倍角公式即可5得到三角函数的值.（n）根据三角形的面积公式，以及余弦定理，建立方程组解方程组即可得到结论.【详解】（I ） 3b =5asinB, 3sinB =5sinAsinB3由 B 匚(0,n 尸 sinB #0, sinA ,、，一.4- A 为锐角， ，cosA= .5sin2 A cosB C1 cos B C1 - cos

22、A=2sin AcosA = 2sinAcosA 22225350 34(n )由(i )知，sinA =一 ,cosA = 一553 一 13 AABC 的面积为一， SBC = bcsinA= :2：22bc = 5(1)由余弦定理得：a2 =b2 c2 -2bccosA22 4218,_,22 =b +c -2bc = (b + c)bc = 2n (b + c ) = 20 ，b + c = 2J5(2)55由(1)、(2)解得 b =c= J5【点睛】本题主要考查三角函数的化简与求值,利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式,建立方程组是解决本题的关键.20.如图，四边形 ABCD

23、为菱形,/DAB =601 ED，面 ABCD, EF/AB ,ED =AD =2EF =2 , M 为 BC 的中点.(1)求证：FM /平面BDE ;(2)若G为线段BE上一点，当三棱锥 B -GCD的体积为 名3时，求BG的值.9BE【答案】(1)见解析；(2)1.3【解析】(1)设AC0|BD=O ,连结EO, MO ,推导出四边形EOMF为平行四边形，从而FM /EO .由此能证明FM /平面BDE .(2)过G作ED的平行线交BD于H ,则GH _L平面ABCD , GH为三棱锥G BCD的高，根据三棱锥 G-BCD的体积求得GH长度.从而求得 GH的值，由三角形相似ED/口 BG

24、 BE得的值.【详解】(1)证明：设 ACcBD = 0,连结 EO, MO .因为M,0分别是BC,BD的中点，1因为 EF/AB ，且 EF= -AB ，21因为 0M /AB ，且 0M=-AB ，2所以 EF/0M ,且 EF=0M .所以四边形E0MF为平行四边形.所以 FM / E0 .又因为E0 u平面BDE , FM值平面BDE ,所以FM /平面BDE .(2)解：过G作ED的平行线交BD于H .由已知ED 1平面ABCD ,所以GH _L平面ABCD .所以GH为三棱锥G-BCD的高.因为三棱锥G -BCD的体积为R3 ,9所以三棱锥G-BCD的体积：1 1-V BD BC

25、 sin603 21 1、.3GH2 2 - GH3 22gh=3；ABGH s abed ,BGBEGHED【点睛】 本题考查线面平行、 线线垂直的证明，考查两线段比值的求法， 考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.21.已知正项数列an前n项和为Sn, an =2尺 -1（1）求ai的值，并求数列an 的通项公式an;（2）设bn = an +2an ,数列bn前n项和为Tn ,求使不等式 n2 +比2n -6成立的正整数n组成的集合.【答案】（1） a =14=2n 1 ；1,2【解析】（1）由数列

26、递推式求出首项，进一步得到JSn是以1为首项，1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式可得Sn，代入an =2温-1求得数列an的通项公2n 1式；（2）先求出Tn =n2 +2,再代入不等式解不等式即得解 .3【详解】（1）解：由已知 an =2 Ja 1 ,得当 n = 1 时，a = 1 ；当n2时，an =Sn Sn，代入已知有2卮=&J1,即 Sl=（屈-1）2,又 an A0,故JS二二5 -1或JS二=1 -卮（舍）， 即 JST - JSI=1(n - 2),由定义得商 是以1为首项，1为公差的等差数列，二 qS = n,则 an =2n1；(2)由题得 bn =an+2an

27、=2n-1+22n，2n 1 _ QQ2 n 1 _ Q所以数列bn前 n 项和 Tn=1(1+2n1)+ =n2 +2 233因为 Tn n2 +62n 一6 ,所以（2n）2 9 2n+80,1 2n8,所以 0 :二 n ： 3.所以正整数n组成的集合为1,2【点睛】 本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力22.如图，已知直角梯形 ABCD 中，AB / CD, AB BC , AB = 1, BC=2, CD= 1+ J3 ,过A作AE，CD ,垂足为E,现将 ADE沿AE折叠，使得 DE EC.A. B A. B求证