2020-2021中考数学培优易错难题(含解析)之相似含详细答案

1、2020-2021中考数学培优易错难题(含解析)之相似含详细答案一、相似1.综合题(1)【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，/ B=90。，小明想从中剪出一个以 / B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多 少.(2)【拓展应用】如图，在 ABC中，BC=qBC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形 PQMN面积的最大值为多少.(用含 a, h的代数 式表示)(3)【灵活应用】如图，有一块 缺角矩形ABC

2、DE AB=32, BC=40, AE=20, CD=16,小明从中剪出了一个 面积最大的矩形(/B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.(4)【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量 AB=50cm, BC=108cm, CD=60cm,且M、N在边BC上且面积最大的矩形tanB=tanC= ,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 PQMN,求该矩形的面积.【答案】(1)解：.EF、ED为4ABC中位线，113I.ED/AB, EF/ BC, EF= BC, ED= AB,又 / B=90,四边形FEDB是矩形,(2)解:. PN/BC,aPN=a- / PQ, 设 PQ=x,

3、h(x-| 4all，当PQ=:时，S矩形pqmn最大值为 1 .(3)解：如图1,延长BA、DE交于点F,延长H,取BF中点I, FG的中点K,贝U S 矩形 pqmn=PQ?PN=x (a-17X 理一人=-/ x2+ax=-4/j)2+,，BC、ED交于点 G,延长 AE、CD交于点图1由题意知四边形 ABCH是矩形，. AB=32, BC=40, AE=20, CD=16, .EH=20、DH=16, .AE=EH CD=DH, 在 AEF和AHED中，ZFAE=ZDHE AE=AH .上协。血， .AEFAHED (ASA),.AF=DH=16, 同理 ACDGAHDE, .CG=H

4、E=20 AB + AFb BI= 二 =24, .BI=24 CD上,由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为B BC?EH=1944cm2 ,答：该矩形的面积为 1944cm2 .【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理可得ED/ AB, EF/ BC, EF= BC, ED=-FEDB是平行四边形，而AB,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形/B=90；根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以Simos 即 * PE-BC *-AB99srM那*BCPN Ab(2)因为 PNI/ BC,由相似三角形的判定可得APNMABC,则可得比例式 3r

5、也，即- -：.2 即 a -/I _ _ a - -xd 力 ，解得力，设 PQ=x ,贝U S 矩形 pqmn=PQ?PN=x ( h )a吊 牙 助 己Hr 八 哥片= 一jf +i八fi- 因为 0,所以函数有最大值，即当 PQ=H,ahS矩形pqmn有最大值为 了 ；(3)延长 BA、DE交于点F,延长BC ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点 I, FG的中点K,由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH,于是 用角边 角可得 AEH HED ,所以 AF=DH=16,同 理可得AB 乖 AN._. 一班 CD8 4HDE,

6、则CG=HE=20所以?=24,BI=24v 32,所以中位线 IK的两端点1 1在线段AB和DE上，过点K作KLA BC于点L,由(1)得矩形的最大面积为 不X BG? BF=-X (40+20) 乂 (32+16) =720;(4)延长 BA、CD交于点E,过点E作EHI BC于点H,因为tanB=tanC,所以/ B=/C,/i 4贝U EB=EC由等腰三角形的三线合一可得BH=CH= BC=54cm；由tanB可求得 EH=BH= 3X 54=72cm在 RtBHE中，由勾股定理可得 BE=90cm所以AE=BE-AB=40cm 所以 BE的中 点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段

7、CD上，由(2)得矩形PQMN的最大面积为 /B BC?EH=1944cm22.如图所示， ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90, EC的延长线交BD于点P.(1)把4ABC绕点A旋转到图1, BD, CE的关系是(选填 相等”或不相等”)；简要说明 理由；(2)若AB=3, AD=5,把4ABC绕点A旋转，当/EAC=90时，在图2中作出旋转后的图 形，求PD的值，简要说明计算过程；(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为【答案】(1)解：相等理由： ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,B

8、A=CA, / BAD=Z CAE DA=EA2 .ABDAACEL, BD=CE(2)解：作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示:3 / EAC=90,.CE=山/+必=g4 / PDA=Z AEC, / PCD=Z ACE .,.PCDAACE若点B在AE上，如图2所示:5 / BAD=90 ；. .RABD 中，BD=W, BE=AE- AB=2,6 / ABD=Z PBE, / BAD=Z BPE=90, .BAABPEPB BE 阳 2，港一位，即7 一砺解得PB=6 L 20 L，PD=BD+PB=+=1； 7【解析】【解答】解：(3)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆

9、，当 CE在。A下 方与。A相切时，PD的值最小；当 CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?sin PED因此锐角 / PED的大小直接决定了 PD的大小. 当小三角形旋转到图中 4ACB的位置时，在 RtACE中，CE= b一4=4,在 RtDAE 中，DE=、但 喉/ ,四边形ACPB是正方形，PC=AB=3, PE=3+4=7,在RtPDE中，PD= J的 7犷 、&1，即旋转过程中线段 PD的最小值为1; 当小三角形旋转到图中 ABC时，可得DP为最大值，此时，DP=4+3=7,即旋转过程中线段 PD的最大值为7.故答案为

10、：1, 7.【分析】(1 ) BD, CE的关系是相等，理由如下：根据同角的余角相等得出 /BAD=/ CAE,根据等腰直角三角形的性质得出BA=CA DA=EA,从而利用 SAS判断出 ABDACE,根据全等三角形应边相等得出 BD=CE(2)作出旋转后的图形，若点 C在AD上，如图2所示：首先根据勾股定理算出CE的PD CL长，然后判断出PCAACE,根据相似三角形对应边成比例得出 IF CE ,根据比例式 列出方程，求解得出 PD的长；若点 B在AE上，如图2所示：根据勾股定理算出 BD的PB BE长，然后判断出BA2 4BPE,根据相似三角形对应边成比例得出-汕，根据比例式列出方程，求

11、解得出 PB的长，根据线段的和差即可得出PD的长；(3)如图3所示，以 A为圆心，AC长为半径画圆，当 CE在。A下方与。A相切时，PD 的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?s冠PED,因此锐角/PED的大小直接决定了 PD的大小. 当小三角形旋转到图中 4ACB的位置时，根据勾股定理算出 CE,DE的长，根据正方形的性质得出PC=AB=3进而得出 PE的长，根据勾股定理算出PD的长，即旋转过程中线段 PD的最小值为1;当小三角形旋转到图中 ABC时，可得DP为最大值，此时，DP=4+3=7,即旋转过程中线段 PD的

12、最大值为7.3.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B（A,B两点到路灯正下方的距离相等），他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）作出函数的大致图象.第两/ :三- 1=ACA Oft【答案】（1）解：如图：作COAB于O,。 当小亮走到A处（A位于A与O之间）时，作出他的影子 AC.小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越小，直到影长为0;从点O到达点B的过程中，影长越来越大，到点B达到最大值.设小亮的身高 MA=l, CO=h, AO=m,影长 CA=y，小亮走过的距离 AA=x,由图易得 CA=x-V,. MAXAB, COAB

13、, xw岫f（m,|,h为常数）,.MCAsccQ当小亮走到A处（A位于O与B之间）时;同理可得y=-_L旦x 力 x+( 上(mxw 2m).（2）解：如图所示:【解析】【分析】（1）如图：作CO AB于O,当小亮走到A处（A位于A与O之间）时，作出他的影子 AC;根据中心投影的特点可知影长随x的变化情况.设小亮的身高 MA=l, CO=h, AO=m,影长 CA=y，小亮走过的距离 AA=x,由图易得 CA=x- y,根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式. 当小亮走到 A处(A位于。与B之间)时；同理可得 y=-，4x+( 入(mxW2m).(2)根据(1)的函数解析式可画出图

14、像.tflTl T4.在正方形四修中，.田 名，点/在边。上，点&是在射线加上的一个动点，过点 匕作痛的平行线交射线 如于点用，点才在射线32上，使脑始终与直线 囹垂直.(1)如图1,当点力与点工重合时，求同的长；R M D9C(2)如图2,试探索： 他的比值是否随点IC的运动而发生变化？若有变化，请说明你的 理由；若没有变化，请求出它的比值；a兴0 MBC(3)如图3,若点I*在线段 身上，设& a , RJf y ,求工关于X的函数关系式，并写 出它的定义域.BC【答案】(1)解：由题意，得M =比-M 鼠时在R匕Z?a中，/广=如门PC工融/FBC - -J 比tan侬. PC 二 6

15、RP . |掰-飞浮，屋-16. RQ 土琪.-.RQP = 90、.：二/他，/ Z3PC = /检%PRC(2)解：答：面的比值随点的运动没有变化.-.|z-7上如，|上副？ - ZA1_1 /W - 9。.|zW NC - 900 |. |W 1 BCZI , /RQM 900 |ZABC = NABP * ZPBC = 90O I-W = / PBCKMW编的比值随点|G的运动没有变化，比值为4(3)解：延长 瓦交围 的延长线于点|A冏/ 必, 口如：.凡 / MPD 曜它的定义域是260 x -5【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出A B = B C = C D = A D =

16、 8 ,90 ；在Rt B C P中，根据正切函数的定义得出tan / P B C = P C : B C,又tan / P B C日=，从而得出PC的长，进而得出 RP的长，根据勾股定理得出 PB的长，然后判断出 P BC P R Q根据相似三角形对应边成比例得出PB： RP=PC： PQ,从而得出PQ的长；(2) RM : MQ的比值随点 Q的运动没有变化，根据二直线平行同位角相等得出/ 1 = / AB P , / Q M R = /A,根据等量代换得出 / Q M R = / C = 90 ,根据根据等角的余角相等得 出/R Q M = / P B C,从而判断出 R M Qp C B

17、,根据相似三角形对应边成比例，得出PM : MQ=PC： BC从而得出答案；(3)延长B P 交 A D 的延长线于点 N,根据平行线分线段成比例定理得出PD ： AB=ND ： NA,又N A = N D + A D = 8 + N D ,从而得出关于 ND的方程，求解即可得出ND,根据勾股定理得出PN,根据平行线的判定定理得出PD/ MQ,再根据平行线分线段成4比例定理得出 PD： MQ=NP ： NQ,又 RM : MQ=3 : 4,RM=y,从而得出 MQ= y又 P D = 2 , N 16Q = P Q + P N = x +；,根据比例式，即可得出 y与x之间的函数关系式。5.如

18、图1, 4ABC与4CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点 M、N分别是斜边 AB、DE的中点，点 P为AD的中点，连接 AE、BD.(1)请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系 ;(2)现将图1中的4CDE绕着点C顺时针旋转 e (0 a 90),得到图2, AE与MP、BD分别交于点G、H.请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系 ;(3)若图2中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC= kAC, CD= kCE,如图3,写出PM与PN的数量关系，并加以证明【答案】 (1) PMXPN, PM = PN(2) PM=PN, PMXPN(3)解：PM=kPN, ACB和

19、 ECD是直角三角形,/ ACB= / ECD= 90 : / ACB+Z BCE= / ECD+/ BCE./ ACE= / BCD. BC= kAC, CD= kCE,.,.BCDAACE.BD=kAE,点P、M、N分别为 AD、AB、DE的中点, .PM= BD, PN= t AE. .PM = kPN.【解析】 【解答】解：(1) PM=PN, PM PN,理由如下： ACB和 ECD是等腰直角三角形，AC= BC, EC= CD, / ACB= / ECD= 90 :AC = BC ZACB = NEO) = 90 在 ACE和 BCD 中CE CD , .ACEABCD (SAS

20、, .AE=BD, /EAC=/CBD, / BCD= 90 ； / CBD+/ BDC= 90 , / EAC-+Z BDC= 90 点M、N分别是斜边 AB、DE的中点，点 P为AD的中点, / 1.PM=j BD, PN=上 AE,.PM = PN, 点M、N分别是斜边 AB、DE的中点，点 P为AD的中点, .PM/BC, PN/ AE,/ NPD= / EAC, / MPN= / BDC, / EAC叱 BDC= 90 , / MPA+Z NPC= 90 ；/ MPN=90 ,即 PMXPN,故答案为：PMXPN, PM=PN;(2 ) PM= PN, PM PN,理由： ACB和

21、ECD是等腰直角三角形，AC= BC, EC= CD, / ACB= / ECD= 90 : / ACB+/ BCE= / ECD+/ BCE./ ACE= / BCD, .ACEABCD (SAS . .AE=BD, /CAE=/CBD.又 / AOC= / BOE, / CAE= / CBD,/ BHO= / ACO= 90 :点P、M、N分别为 AD、AB、DE的中点，PM=二;BD, PM/ BD;PN=)AE, PN / AE.，PM = PN. / MGE+Z BHA= 180 :/ MGE= 90 :/ MPN=90 : PMXPN.故答案为：PMXPN, PM=PN【分析】(1

22、)利用等腰直角三角形的性质得出结论判断出ACS BCD,得出AE=BD,再用三角形的中位线即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)利用两边对应成比例夹角相等，判断出BCgACE,得出BD=kAE,最后用三角形的中位线即可得出结论.6.如图1,图形ABCD是由两个二次函数 口 =/ 加& 与- b(& ： 0)的 部分图像围成的封闭图形，已知 A(1, 0)、B(0, 1)、D(0, -3).冲Mi3SDD图1国2(1)直接写出这两个二次函数的表达式；(2)判断图形 ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上)，并说明理由；(3)如图2,连接 BC CD AD,在

23、坐标平面内，求使得 4BDC与4ADE相似(其中点 C 与点E是对应顶点)的点 E的坐标.【答案】(1)解：打二一f41，火3r 3(2)解：存在，理由：当该内接正方形的中心是原点O,且一组邻边分别平行于x轴、y轴时，设 M (x,-x2+1)为第一象限内的图形ABCD上一点，M (x,3x2-3)为第四象限内的图形上一点， .MM= (1-x2) -3 ( 3x2-3) =4-4x2由抛物线的对称性知，若有内接正方形，则2x=4-4x2 ,即 2x2+x-2=0, x= / 或 j （舍），-1 + 17I - 7 +,0），存在内接正万形，此时其边长为二同理CD=,.（3）解：解：在 RA

24、OD 中，OA=1, OD=3, . AD=7 , 在 RtBOC中，OB=OC=1,BC=Ja： + 胡=工.如图（1）当DBC DAE时，因/ CDB=Z ADO, 在 y 轴上存在一点 E,I 4皿 $1= -也7 加 施,得 DE=1因 D (0, -3) ,，E (二：)；由对称性知在直线 DA右侧还存在一点 E使得4DBC幺DAE,连接 EE交BB DC由DA DE得DA于F点，作EMXOD,垂足为 M,连接ED,.E、E关于DA对称，DF垂直平分 EE, 4DEF幺 DAO,DE DF 翦DA DO AGe3 - A, 二，7,15Sa/ - -DE * EM - EF OF 因

25、-f8DM= - E VDE = DE =-二，在 RtA DEM 中,3E H - 1） .OM=1,得一J,使得 DBC-A DAE的点E的坐标为（0,上，）或 - 如图(2)国DB DC当 ADBC幺 ADE 时，有 /BDC=/ DAE, AD AE ,4 V7i 5即砺 的,得AE=工.当E在直线DA左侧时，设 AE交y轴于P点，作EQ AC,垂足为Q.由 / BDC=Z DAE=Z ODA, . PD=PA 设 PD=x,贝U PO=3-x, PA=x,在RtAAOP中，由 4 =*/得=& - 土尸+,，解得1,则有PA= 1 ,甘po= L因 AE=），PE=6 ,在AEQ 中

26、，OP/ EQ,0Q -OP AP0E AE .QE=2, . E （ 可 ），当E在直线DA右侧时，因 / DAE=Z BDC,又 / BDC=Z BDA,. / BDA=Z DAE, . J则 AE/ OD,E （1 ,-）,则使得 DBC ADE的点E的坐标为综上，使得4BDC与4ADE相似（其中点 C与点E是对应顶点）的点 E的坐标有4个,【解析】【解答】(1) ;二次函数VI -*/ 3曲修 0,【解析】【分析】（1）连接OA,判断出AO是4ABC的高，AM是4AEF的高，再利用 相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可得出结论；利用三角形面积公式得出S与x的函数关系式，即可得出

27、结论；（ 2）先判断出 DE=DG再用三角函数表示出 BE, BD, BG,即可得出结论.匚乜1.11.如图，抛物线/ 丁.,与1轴交于点的，与卜轴交于点石在线段 口 上有一动点 后题砂（不与 必重合），过点作工轴的垂线交也于点】，交抛物线于点 旧， 过点/作FM上/于点曲.（1）求直线W力的函数解析式；6（2）求证：|4自即s4月印；并求出当此为何值时，| J尸必和曰的相似比为工.J , 91【答案】（1）解：令：J- 6 ,则/ /,解得：切 d ,上=7（舍）.A 自 0）令，4 ,得 F 3 , p（Or 刃设直线/岳：j 虹+力，把| /，电3）分别代入上式得：Jk -解之得：31

28、二一”（2）证明：/制=乙心=又.夕招一出西 .|安“，阖,3 二 95,刃。J*7 一一3（ujr -+3）? ? ?町-,吸，（舍）【解析】【分析】（1）设直线圈：F上1，心，求出A、B点坐标，代入求出 k,b即可.（2）利用两组对应角相等证明三角形相似，结合函数解析式，分别表示出AN、PN的长，再根据相似比列式计算即可.12.已知，如图，矩形 ABCD中，AD=2, AB= 3,点E, F分别在边 AB, BC上，且 BF=(3)当？DEFG为矩形时，连接 BG,交EF, CD于点P, Q,求BP: QG的值.1所示： 四边形ABCD是矩形，/ C= 90 , AD= BC, AB= D

29、C, . BF= FQ AD= 2; . FC= 1, .AB=3; .-.DC= 3,在RtDCF中，由勾股定理得,.-.DF= Jfc?/ DC? J?，/q无；故？DEFG对角线DF的长“,(2)解：如图2所示:圉2作点F关直线AB的对称点M,连接DM交AB于点N, 连接NF, ME,点E在AB上是一个动点， 当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，ME+DE MD, 当点E与点N重合时点M、E (N)、D在同一条直线上,.ME+DE= MD由和DE+EF的值最小时就是点 E与点N重合时， .MB=BF,MB= 1 ,.MC=3,又 DC= 3, MCD是等腰直角三角形，md= / + 必=JW - # = .NF+DF= MD=2 %日， 1?defg= 2 ( NF+DF) = 4 v；(3)解： 当AE=