2020年中考数学二轮专题复习——压轴题(含详细解析)

1、2020年中考数学二轮专题复习压轴题题型特点中考数学压轴题，均是函数型综合题.函数型综合题是先给定直角坐标系和几何图形，求已知函数的解析式，即在求解前已知函数的类型，然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质.初中已知函数有一次函数，它所对应的图象是直线；反比例函数，它所对应的图象是双曲线；二次函数，它所对应的图象是抛物线.求已知函数解析式的主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法有几何法、图形法、代数法 和解析法此类题基本在第 24题，？t分12分，一般分23小题来呈现.具有选拔功能的中考压轴题是为考查考生 综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是涵盖的知识点多、

2、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解 法灵活.斛髭策够解数学压轴题：一要树立必胜的信心；二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能；三要掌握常用的解题策 略.下面解题策略，仅供参考：(1)以坐标系为桥梁，运用数形结合思想；(2)以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想；(3)利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想；(4)综合多个知识点，运用等价转换思想，任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想中考压轴题一般在大题下都有 23个问题，难易程度是第(1)问较易，第(2)问中等，第(3)问偏难.在 解答时，第(1)问的分数必须拿到，第(2)问的分数力争拿到，第(3)问的分数要争取得到，这样

3、就大大提高 了获得中考数学高分的可能性 .中考重难点突破类型7二次函数与三角形的综合【典例1】(2019 成都中考)如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点A (2, 5),与x轴相交于B (1, 0), C (3, 0)两点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于 x轴的上方，将 BCD沿直线BD翻折得到 BC D,若点C恰好落 在抛物线的对称轴上，求点 C和点D的坐标；(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当 CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式.帔幡阿911)1. (2019达州中考)如图1,已知抛物线y=x2+bx+c过点A

4、 (1, 0) , B ( 3, 0).(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；(2)设点D是x轴上一点，当tan (/CAO+/CDO) =4时，求点 D的坐标；(3)如图2.抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA交BE于点M,交y轴 于点N, ABMP和 EMN的面积分别为 m、n,求mn的最大值.类型2二次函数与四边形的综合【典例2】(2019 巴中中考)如图，抛物线y=ax2+bx5 (aw 0)经过x轴上的点A (1, 0)和点B及y轴 上的点C,经过B、C两点的直线为y=x+n.(1)求抛物线的表达式；(2)点P从点A出发，在线段 AB上以每秒1个单位的

5、速度向点 B运动，同时点E从点B出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向点 C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动 .设运动时间为t s,求t为何值 时， PBE的面积最大并求出最大值；(3)过点A作AM BC于点M,过抛物线上一动点N (不与点B、C重合)作直线 AM的平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 N的横坐标.跟膝矶斑22 . (2019自贡中考)如图，已知直线AB与抛物线C:y=ax2+2x+c相交于点A (1,0)和点B(2,3)两点.(1)求抛物线C的函数表达式；(2)若点M是位于直线 AB上方抛物线上的一动点，以 MA、MB为

6、相邻的两边作平行四边形 MANB ,当平 行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；17(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点 F,使抛物线 C上任意一点P到点F的距离等于到直线 y=Y的距离？若存在，求出定点 F的坐标；若不存在，请说明理由类型3最值问题探究【典例3】在平面直角坐标系1 一， 一4x与抛物线交于 A、B两点，直线(1)求抛物线的表达式；(2)在l上是否存在一点 P,xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,l 为 y = 1.使PA+PB取得最小值？若存在，求出点0),且经过点(4, 1).如图，直线y=P的坐标；若不存在，请说明理由(3)已知F

7、 (xo, yo)为平面内一定点, F的距离总是相等，求定点 F的坐标.M (m, n)为抛物线上一动点，且点 M到直线l的距离与点M到点跟踪脚族33 .如图，抛物线y=a (x 1) (x 3) (a0)与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点 C在x轴下方，且 使 QCAs& OBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时，求直线 BM和抛物线的表达式；(3)在(2)的条件下，直线 BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形 ABPC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 中考专题过关1 .如图，已知二次函数 y=ax2+bx + c的

8、图象与x轴相交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，与y轴相交于点 C (0, -3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH，x轴于点H,与BC交于点M,连结PC.求线段PM的最大值；当 PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点 P的坐标.2 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线Ci： y=ax2+bx1经过点A (2, 1)和点B ( 1, 1),抛物线C2: y=2x2+x+1,动直线x = t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式；(2)直接用含t的代数式表示线段 MN的长；(3)当 AMN是以MN为直

9、角边的等腰直角三角形时，求 t的值.3. (2019泸州中考)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知二次函数 y= ax2+bx+c的图象经过点 A (2, 0)、C (0, 6),其对称轴为直线 x=2.(1)求该二次函数的表达式；(2)若直线y=1x+m将4AOC的面积分成相等的两部分，求 m的值；3(3)点B是该二次函数图象与 x轴的另一个交点，点 D是直线x=2上位于x轴下方的动点，点 E是第四象 限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x= 2右侧.若以点E为直角顶点的 BED与 AOC相似，求点E的坐标.参考答案及解析中考重难点突破类型1二次函数与三角形的综合【典例1】(2019 成

10、都中考)如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点A (2, 5),与x轴相交于B (1, 0),C (3, 0)两点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于 x轴的上方，将 BCD沿直线BD翻折得到 BC D,若点C恰好落 在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当 CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式.14a2b+c= 5,a= 1,【解答】(1)由题意，得$a b+c=0,解得彳b=2,19a+ 3b + c= 0.、c= - 3.抛物线的函数表达式为 y= x2-2x 3;(2)二.抛物线

11、与x轴交于B ( 1, 0), C (3, 0), .BC=4,抛物线的对称轴为直线 x=1.如图1,设抛物线的对称轴与 x轴交于点H,则点H的坐标为(1, 0), BH = 2.由翻折得C B= CB = 4.在 RtA BHC 中，由勾股定理，得 C H= C 12-BH2 =，4222 = 23.点 C的坐标为(1, 2J3) /. tan / C BH= C-i 乎=通，./C BH= 60.由翻折得 /DBH/C BH=在 RtA BHD 中，DH = BH- tan / DBH = 2tan 30 = 233./.点 D 的坐标为1,BH 22图I(3)取(2)中的点C、D,连结C

12、C .BC=BC, / C BC= 60, .C C时等边三角形.分类讨论如下：如图2,当点P在x轴的上方时，点 Q在x轴上方，连结 BQ、C P. .PCQ、AC C斯等边三角形，.-.CQ = CP, BC = C C, /PCQ=/C CB= 60. / BCQ = / C CP. .BCQQC CP(S.A.S.) .BQy P. 点Q在抛物线的对称轴上，BQ = CQ.C P= CQ = CP.又 BC = BC,BP垂直平分 CC由翻折可知 BD垂直平分 CC ,点D在直线BP上.设直线BP的函数表达式为y = kx + b；则1= k+b限k+b,3k =解得lb =虫3，:J

13、3I.直线BP的函数表达式为y = g+W. 33如图3,当点P在x轴的下方时，点 Q在x轴下方. PCQ、AC C斯等边三角形， .CP=CQ, BC = CC, /CC B=/QCP=/C CB= 60. ./ BCP= /C CQBCPA C CQ (SAS.) ；./CBP=/CC Q.1 . BC=CC, C 肚BC, ，/CC Q=1/CC B=30 . ./ CBP=30.设BP与y轴相交于点 巳 在RtA BOE中，c c“八。33OE=OB tan / CBP=OB tan 30 = 1 X %=黑,33.点E的坐标为(0,一0= m+ n,设直线BP的函数表达式为y=mx

14、+ n,则1 岳 -3 =n.1 m= 解得出3，33 .，直线bp的函数表达式为y= xl综上所述，直线BP的函数表达式为工,飞心、，_3 _3y= 3 x+ 3 或 y= 3 x 3 .跟踪训练11. (2019达州中考)如图1,已知抛物线y=x2+bx+c过点A (1, 0) , B ( 3, 0).(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；(2)设点D是x轴上一点，当tan (/CAO+/CDO) =4时，求点 D的坐标；(3)如图2.抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA交BE于点M,交y轴 于点N, ABMP和 EMN的面积分别为 m、n,求mn的最大值.

15、解：(1)由题意把点A (1, 0), B ( 3, 0)代入y fr-1 + b+c= 0, 193b+c=0 解得户一，c= 3. .y=- x2-2x+3=- (x+1) 2+4.，此抛物线解析式为 y=x22x+3,顶点C的坐标为(一1, 4);(2)二,抛物线顶点C (1, 4), 抛物线对称轴为直线 x=- 1.设抛物线对称轴与 x轴交于点 H,则H (1, 0).在RtCHO中，CH = 4, OH = 1, .tan / COH =黑=4. / COH= /CAO + /ACO,当/ACO =/CDO 时，tan ( / CAO + / CDO ) = tan Z COH =

16、4.图1中，当点D在对称轴左侧时，/ ACO = / CDO , / CAO = / CAO , . AOCs acd.AC AO =- AD AC.,. AC=、CH2+AH2 =2啊 AO = 1,.2,51_一卡=F.-.AD = 20. .1.OD= 19.AD 2,5D ( 19, 0).(3)设 P (a, a2 上式，得ak+ b = a2 2a+ 3,D的坐标为(17, 0),a? 2a+ 3), A (1, 0)代入当点D在对称轴右侧时，点 D关于直线x= 1的对称点 .点D的坐标为(一k + b = 0.k = a 3,解得b = a+ 3. y= ( a 3) x+ a+

17、 3.当 x = 0 时，y = a+ 3, N (0, a+ 3).图 2 中, Sabpm = SaBPA S 四边形 BMNO SaAON , SA EMN = SAEBO S 四边形 BMNO ,_1 21 1 _、_ 2 9Sbpm 一 Saemn = Sabpa 一 Saebo 一 Saaon = 2X4X (a 2a+ 3) - Q x 3X 3 x 1 x ( a+ 3) = 2a a=,9 2 31-2 0+ 3 + 32.由二次函数的性质知，当a= 时，SABPM SEMN有最大值 焦.332m、 n,BMP和AEMN的面积分别为 ，mn的最大值为32.类型2二次函数与四边

18、形的综合【典例2】(2019 巴中中考)如图，抛物线y=ax2+bx5 (aw 0)经过x轴上的点A (1, 0)和点B及y轴 上的点C,经过B、C两点的直线为y=x+n.(1)求抛物线的表达式；(2)点P从点A出发，在线段 AB上以每秒1个单位的速度向点 B运动，同时点E从点B出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向点 C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动 .设运动时间为t s,求t为何值 时， PBE的面积最大并求出最大值；(3)过点A作AM BC于点M,过抛物线上一动点N (不与点B、C重合)作直线 AM的平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形

19、，求点 N的横坐标.【解答】解：(1)二点B、C在直线为y = x+n上, B ( n, 0)、C (0, n).,点A (1 , 0)在抛物线上，a+ b 5= 0,a= 1, an2bn5=0,解得 tb= 6, !n = - 5.!n = - 5.，施物线解析式为 y = -x2 + 6x-5;(2)由题意，得 PB = 4-t, BE = 2t.由(1)知，ZOBC =45, 点 P 至UBC 的高 h=BP sin 45 =乎(4 t)./ SaPbe= 2be h = 2x 2tX *(4t)=乎(t2) 2+ 2f2. 当t=2时，4PBE的面积最大，最大值为 2m (3)由(1

20、)知，BC所在直线为y = x5,点A到直线BC的距离d=272.过点N作x轴的垂线交直线BC于点P,交x轴于点H.设N (m, m2+6m5),则H (m,0)、P(m,m-5).易证4PQN为等腰直角三角形，即 NQ=PQ=2j2.，PN=4.根据点N在抛物线上的不同位置分情况讨论，如 图所示：i) NH + HP=4,m2+6m5 (m5) = 4.解彳导 m = 1 , im2= 4.m = 4;点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，ii) NH+HP = 4, .1.m-5- ( m2+6m-5) = 4.加/曰 5415 41斛信 m1 =2，m2 =2.(m 5) = 4.

21、点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形, iii)NH HP = 4, m2+6m5)5+ 415 41牛付 m1 一25 m2 -2 .点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m0)与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使 OCAs OBC.(1)求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时，求直线 BM和抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，直线 BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形 ABPC的面积最大？若存在,请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 夕解：(1)由题意可知当 y=0时，a (x 1) (x 3) =0, 解得 x1=

22、1, x2=3,即 A (1, 0), B (3, 0).OA = 1, OB = 3. OCAA OBC,，OC ： OB = OA ： OC.,-.OC2=OA- OB =3,则 OC = 73;3(2)二点C是BM的中点，即 OC为斜边BM的中线，OC=BC,点C的横坐标为2.3又. oc=q3,点c在x轴下方， c （2, 一设直线BM的表达式为y=kx+b, 把点B （3, 0）, C （|,一坐）代入上式，得3k+b= 0,6k + b= 一2乖解得k 3直线BM的表达式为y=*x- V3.3又,点C （|,中）在抛物线上，3a一步，解得a=乎. 423抛物线的表达式为胃呼x+2V

23、3；(3)存在点P,使得四边形ABPC的面积最大.设点过点P的坐标为（m, 233m2P作PTx轴交直线BM-833m + 2a.于点Q,垂足为T.一 ,3则 Q (m, m- V3). PQ= -m- V3- ( 23m2 33=一 2m2+ 33m 3-y3.3呼m + 2V3) 3当4BCP的面积最大时，四边形9 .39 .311333ABPC 的面积取大，而 Sabcp= 2PQ (3m) + 2PQ (m2) = PQ= - 24 -4时，5有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点p的坐标为（* -）中考专题过关1.如图，已知二次函数 y=ax2+bx + c的图象与x轴相交于A

24、(1, 0)、B (3, 0)两点，与y轴相交于点 C (0, 3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH，x轴于点H,与BC交于点M,连结PC.求线段PM的最大值；当 PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点 P的坐标. 解：(1)把点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx + c,得a b + c= 0,a= 1,9a+3b+c= 0,解得b= 2,C= - 3.C= 一 3.这个二次函数的表达式为y= x2- 2x- 3;(2)设直线BC的表达式为y=kx+b.把点B、C的坐标代入上式，得3k+b= 0, b = - 3.k= 1, b

25、= - 3.直线BC的表达式为y = x 3.设 M (n, n 3), P (n, n2-2n-3),PM= (n3) ( n22n 3)=n2+ 3n0n3 ,则3 9 n 2； + 4,当n = 3M, PM取得最大值，最大值为 *当 PM = PC 时，(一n2 + 3n) 2= n2+ (n22n3+3) 2,解得n=0 (舍去)或n=2.当 n = 2 时，y = - 3,此时 P (2, 3);当 PM=MC 时，(一n2+3n) 2=n2+ (n3+3) 2, 解得n=0 (舍去)或n=3+W (舍去)或n=3一小.当 n = 3应时，y= (n+1) (n-3) =24近，此

26、时P (3啦，2 4近).综上所述，点P的坐标为(2, 3)或(3 2-42)2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C1： y=ax2+bx1经过点A (2, 1)和点B ( 1, 1),抛物线 C2: y=2x2+x+1,动直线x = t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式；(2)直接用含t的代数式表示线段 MN的长；(3)当 AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求 t的值.解：(1) ; 抛物线 C1: y=ax2+bx1 经过点 A ( 2, 1)和点 B (1, 1),1 = 4a-2b-1,1 = a一 b一 1,a= 1, 解得b=1.抛物线

27、C1的表达式为y=x2+x1;(2)二动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线 C2交于点M,，点N的纵坐标为t2+t1,点M的纵 坐标为2t2 + t+ 1 ,MN = (2t2+t+1) (t2 + t1) =t2 + 2;(3)共分两种情况，当/ANM =90。，AN= MN 时，由已知 N (t, t2+t-1), A ( 2, 1),得 AN = t- ( 2) = t+2.MN =t2 + 2,t2+2 = t+ 2. t1 = 0 (舍去)，t2=1.，t=1.当/AMN =90, AM = MN 时，由已知 M (t, 2t2+t+1), A ( 2, 1),得 AM =t ( 2) = t+2., MN =t2 + 2,t2+2 = t+ 2.t1 = 0, t2= 1 (舍去).1 t= 0.故t的值为1或0.3. (2019泸州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 y= ax2+bx+c的图象经过点 A (2,0)、C (0, 6),其对称轴为直线 x=2.(1)(2)(3)求该二次函数的表达式；若