(word完整版)高中数学专题：抛物线

1、抛物线专题复习、抛物线的知识点:标准方程图形顶 点对 称 轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式Y2 2 PxP 040,0x轴f,0x E2e 1PF卫X0 9AB p (XiX2)xY22 PxP 00,0x轴泉。x E2e 1PFpxt|AB P (Xi X2)1O1 x1 lx2 2py¥d0,0Y。,卫Y fe 1PFYAB p (Y1 Y2)p 0轴2x2 2pyr I0,0Y轴0, E2Y葭e 1|PF| "p Y(P 0X11aB P (Yi Y2)通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.通径：d 2P.2P2AB为抛物线y2 2Px的焦点弦，则XaXb,YaYbP

2、, | AB | = Xa Xb P4考点1抛物线的定义2例1 已知点P在抛物线Y 4x上，则点P到点Q(2, 1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 一考点2抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：过点(3,2);(2)焦点在直线x 2y 4 0上考点3抛物线的几何性质2例3 设A, B为抛物线y2 Px上的点，且 AOB 一 (O为原点，则直线AB必过的定点坐标为2例4 设F是抛物线G : x2 4y的焦点.(I)过点P(0, 4)作抛物线G的切线，求切线方程；(II)设A, B为抛物线G上异于原点的两点，且满足 FA FB 0,延长AF

3、,BF分别交抛物线 G于点C, D ,求 四边形ABCD面积的最小值.二.基本题型21.过抛物线Y4x的焦点作直线交抛物线于 A(xi, Yi), B(x2, Y2)两点，如果Xi X2 6 ,那么| AB卜()(A) 10(B) 8(C) 6(D) 422 .已知抛物线 y2Px(p0)的焦点为 F,点 R(xi,yi),P2(x2,y) ,P3(x3,在抛物线上，且 |PF|、|P2F|、| EF |成等差数列，则有()A xi x2x3B. yiy2y Cxik 2x2D. yiy 2y23 .已知M为抛物线y2 4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点 P 3, i ,则| MP | |

4、MF |的最小值为()(A) 3(B) 4(C)5(D)62111、4 .过抛物线y ax2 a 0的焦点F作直线交抛物线于 P、Q两点，则 ()|PF| |QF|1 .4(A) 2a(B) (C) 4a(D)-2aa25 .已知抛物线 C: y 4x的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为 M,若 AMF与4AOF(其中。为坐标原点)的面积之比为3: 1,则点A的坐标为()A. (2,2*)B. (2, - 2由)C. (2, 班)D. (2,上加)6 .过抛物线焦点 F的直线与抛物线交于两点A、B若A、B在抛物线准线上的射影为Ai,Bi,则 AiFBi()A. 45

5、B. 60 C. 90 D. 1207 .两个正数a、b的等差中项是9 , 一个等比中项是2斯，且a b,则抛物线y2 (b a)x的焦点坐标为()2 一1、 一1、八 ，1，1A. (0,4)B . (0, 4)C. ( 2,0)D . ( -,0)28 .抛物线y 4x的焦点为F,准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于 一的直线与抛物线在 x轴上万的部 3分相交于点 A, AB l,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于()A. 3<3 B , 4J3C, 6<3D , 8<3219.已知抛物线C: x -y,过点A(0, 4)和点B(t,0)的直线与抛物线 C没有

6、公共点，则实数t的取值范围是()2A. (, 1)U(1, )B. ( , )U(,) C. (, 272) U (272,) D. (, 272) U (72,)22210 .如果Pi, F2 ,，F8是抛物线y若xi,x2, ,xn(n N )成等差数列且xiA. 5B. 6211 .设O是坐标原点，F是抛物线y为. 212 .右直线ax y 1 0经过抛物线y4x上的点，它们的横坐标依次为x2x9 45,则 | P5F |=(C. 7D. 94x的焦点，A是抛物线上的一点，4x的焦点，则实数a xi , x2 ,x8 , F是抛物线的焦点，).uuruurFA与x轴正向的夹角为60

7、76;,则OA22 x13 .若抛物线y2 2Px的焦点与双曲线 y2 1的右焦点重合，则p的值14 .(文)如图，过抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点 线的方程是.F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于 A、B两点，且|FA = 3,则抛物15.抛物线的顶点在原点(理)如图，过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线 依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC| =2|BF|,且|AF|= 3,则抛物线的方程是 .，开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点，人为抛物线上一点，且|AM| J17,|AF| 3,求此抛物线的方程.16 .在抛物线y 4x2上求一点

8、，使该点到直线y 4x 5的距离为最短，求该点的坐标.17 .设抛物线y2 2px( p 0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于 A,B两点点C在抛物线的准线上，且BC / x轴.证明直线AC经过原点O.18 .已知直线y x b与抛物线y22px0相交于A、B两点，若OA OB, ( O为坐标原点)且Saob 2 5,求抛物线的方程.2219 .椭圆二 匕a2 b21上有一点(4,9)在抛物线5y22 px (p>0)的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.(1)求椭圆方程;(2)若点N在抛物线上，过 N作准线l的垂线,垂足为 Q距离，求| MN | | NQ |的最小值.22，一 x

9、 y20 .椭圆Ci： 一 % 1(0< b < 2)的离心率e4 bY3,抛物线C2： x2 2py(p>0)的焦点在椭圆Ci的顶点上.2(1)求抛物线C2的方程;(2)若过M ( 1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线1i、l2,当1i，12时，求直线l的方程. 221.已知抛物线C: y 4x的焦点为F,过点K( 1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明:20.(文)解析，点F在直线BD上；(2)设FA FB 8 .求 BDK的内切圆M的方程.9(1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距c= 5-b2,

10、由离心率C e= a得,b2= 1.，椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1),，p=2,抛物线的方程为x2=4y.22(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y=k(x+ 1), E(xi, yi), F(x2, y2),1 ,，1-y=4X2, y =2X,，切线11, l2的斜率分别为2X1 , 2X2,、一 ,11,当 ll ± 12 时，2X1 gX2 = 1 ,即 Xi X2= 4,y= k x+ 1由得：x2-4kx- 4k= 0,x2= 4y由 A= (- 4k)2 4X( - 4k)>0,解得 k< 1 或 k>0.又

11、 X1 X2= - 4k= 4,彳导 k= 1.直线l的方程为x-y+1 = 0.21 .解析设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1, y1), l 的方程为x=my1(mw0)(1)W x = my 1(mw0)代入 y2=4x 并整理得 y24my+4=0,从而 y + y2=4m, y1y2=4 y2+y1一4y22直线 BD 的方程为 y y2=(x X2),即 y y2=x 4X2 X1y2 y14令y=0,得x= 臂=1,所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由(1)知，X1+X2= (my1 1)+(my21) = 4m2 2, X1X2= (my1 1)(my2 1)

12、=1因为 FA=(X11, y1)，FB=(X21, y2), FA FB = (X1 1, y1)(X21, y2)= X1X2 (X1 + X2)+ 1 + 4= 8 4m2,故8-4m2= 9，解得m= 93直线 l 的方程为 3x+4y+3=0,3x4y+3 = 0. 从而 y2-y1= " 4m 24X4 =1V7,故"鼎因而直线 BD的方程为 3x+47y3=0,3x5y3=0.因为KF为/BKD的角平分线,故可设圆心 M(t,0), ( 1<t<1), M(t,0)到直线l及BD的距离分别为3|t+ 1| 3|t1|5 ，4，3卜1| 口 1_ 人

13、 -3|t+1| 2下得t = 9或t=9(舍去)，故圆M的半径为=二一=3,所以圆M的方程为x-1 2+y2 = 9. 992例4 (I)设切点Q)0342沏/ 二(X %) .2.由y X,知抛物线在Q点处的切线斜率为 曳，故所求切线方程为y X0 2242X42因为点P(0,)在切线上.所以 4%, x2 16, x04 .所求切线方程为y 2x 4.4(II)设A(x, yi), C(x2, y2),由题意知，直线 AC的斜率k存在，由对称f不妨设 k 0.因直线AC过焦点F(01),所以直线 AC的方程为y kx 1 .y kx 1, r °x1 x2 4k：点A, C的坐标满足万程组2得x2 4kx 4 0 ,