(完整word版)圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案),推荐文档

1、圆锥曲线综合训练题、求轨迹方程：2 x1、(1)已知双曲线 C1与椭圆C2： 3621有公共的焦点，并且双曲线的离心率e与椭圆的493AB AC BC5即 AB |AC 6(*).点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)离心率e2之比为7 ,求双曲线C1的方程.3(2)以抛物线y2 8x上的点M与定点A(6,O)为端点的线段 MA的中点为P,求P点的轨迹方 程.,-2a=6, 2c=1Oa=3,c=5,b=4解：Ci的焦点坐标为(0,13). e, 137,e 7 .13由又 一得e1 二设双曲线的方程为牝 33所求轨迹方程为21(x>3)162 y2 a1(a,ba2b2O)则 a2 b2

2、2a1313解得9,b2双曲线的方程为2 x 14点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)3、如图，两束光线从点 M (-4, 1)分别射向直线 y= -2上两点P (x1，y1)和Q (x2, y2)后,(2)解:代入2 yo2、(1)角形重心反射光线恰好通过椭圆C：2 y b2111 (a>b>O)的两焦点，已知椭圆的离心率为，且设点 M (xo,yo), P(x, y),则xo2yoxo 2x 6 yo 2yx2-x1=-,求椭圆C的方程.58xo得：y2 4x 12 .此即为点2P的轨迹方程.解：设a= 2k ,2 x k,其椭圆的万程

3、为一2 4kABC的底边BC 16, AC和AB两边上中线长之和为 3O,建立适当的坐标系求此三G 的轨迹和顶点 A的轨迹.(2) AABC 中，B(-5,O),C(5,O)，且 sinC-sinB= sinA,求点 A5由题设条件得:的轨迹方程.解：由GC(1)以BC所在的直线为x轴,BC中点为原点建立直角坐标系.设 G点坐标为x,2 X1OO|GB2y36其轨迹是椭圆(2)分析：2O,知G点的轨迹是以2故其方程为1OOxy O .由题意有B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.2L 1 y O36x设 A x, y10, cy ,8,O 2kx1O 2k x26x2-x1 =一5x11 ( 2

4、)4 x2由、解得：k=1,x1 =112 x x2=-1 ,所求椭圆C的万程为43代入，得A的轨迹方程为 y32x9OO2y324(除去 x轴上两点).由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以 2R(R为外接圆半径)转化为边长的关系.解：sinC-sinB= 3sinA 2RsinC-2RsinB= 3 2RsinA552 y 3k21.4、在面积为1的 PMN中，tanMM、N为1, 一 c » 一，一，tanN 2,建立适当的坐标系，求出以2(1)求线段PQ的中点的轨迹方程；(2)设/ POQ的平分线交PQ于点R (O为原点)，求点R 的轨迹方程.解：(1)

5、设线段PQ的中点坐标为 M (x, y),由Q (4, 0)可得点P (2x-4, 2y),代入圆的方 程x2+y2=4可得(2x-4) 2+ (2y) 2=4,整理可得所求轨迹为(x-2) 2+y2=1.(2)设点R (x, y), P (m, n),由已知|OP I|OP|=2, |OQ|=4,IOQI1一,由角平分线性质可2uuu uuiruunuiir由 OP OQ0,即OPx1,y1 , OQ x2,y2，于是 x1x2y1y20,即 k2 y1 1y2 1y1y20 , (k2 1)y1y2 k2(y1 y2) k20,4k(k2 1) k2g4k k2 0,解得 k 4 或 k

6、0 (舍去)，又k 41 ,直线l存在，其方程为x 4y 4 0227、设双曲线 4 1的两个焦点分别为 F1、F2,离心率为2. 求此双曲线的渐近线l1、l2 a 3的方程；(II)若A、B分别为l1、上的点，且21ABi 5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(III)过点N(1, 0)能否作出直线l ,使l与双曲线交于 P、Q得黑悬H'"R在线段PQ上'|PR|二1|RQ|, 点R分有向线段PQ的比 2，1，、.，.， 一为一，由定比分点坐标公式可得212一2一2一23x 43y，代入圆的方程22x2+y2=4 可得2m 432n3

7、x 4R的轨迹方程为3x3y242 ，点P的坐标为两点，且OP OQ 0 .若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：(I) e 2,c2 4a222c a 3, a 1, c 22_2 x. 3双曲线万程为y 1,渐近线方程为 y x4分33(II)设 A(x1, y1), B(x2, y2)，AB 的中点 Mx, y2| AB| 5|F1F2|3y4,22+y2="“).96、已知动圆过定点1,0 ,且与直线x 1相切.(1)求动圆的圆心轨迹 C的方程；(2)是否存在uiv uuu直线l ,使l过点(0, 1),并与轨迹C交于P, Q两点，且满足OP OQ 0?若存在，求

8、出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：(1)如图，设 M为动圆圆心,F 1,0 ,过点M作直线x1的垂线，垂足为N ,由题意知：MF MN ,即动点M到定点F与定直线x 1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中 F 1,0为焦点，x 1为准线，.动点R的轨迹方程为 y2 4x(2)由题可设直线l的方程为x k(y 1)(k 0),x k(y 1)2由 2得 y 4ky 4k 0y 4x 16k2 16 0, k 1或k 1设 P(x1，y1), Q(x2,y2),则 y1 y 4k, y/ 4k55|AB| -|F1F2| - 2c 10.(x1 x2)2 (y13乂 y1

9、三刀，y2V2S 10.3 cx2, 2x3x2), ¥1 V2-3y1 y2 W(x1x1 x2,3 ,(x132102yx2 )Y1y2/223(2y)2 - (2x)2100,即工-y-137525则M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上，长轴长为10<,可，短轴长为f10. 31°-的椭圆.(9分)3(III)假设存在满足条件的直线l设 l: y k(x 1), l与双曲线交于 P(x” y1)、Q(x2, y?)X1X2X1X2X1X2OQ 0yiy20k2(xi i)(x2 k2 xi x2 (xii) 0X2)(i)k -2 ), B/-26，竺一i2)。因

10、为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p,得：k2-k-i=0. k i' k i k i k i解得：kJ,p=2代.所以直线L的方程为：y= i /252c 4. 5x,抛物线C的方程为y2= x.k(x2Xi)得(3k ii)x26k2x3k20由(i) (ii)得 k2 3 0.一 x2 y2i0、已知椭圆一行 七 i(a b 0)的左、右焦点分别是 Fi (-c, a2 b2外的动点，满足|FiQ| 2a.点P是线段FiQ与该椭圆的交点，点 T0)、F2在线段(c, 0), Q是椭圆F2Q上，并且满足则XiX26k23k2 i 'XiX23k2 33k2 i(ii)PT

11、 TF2 OJTF2 | 0. (I)设x为点P的横坐标，证明|FiP| a(n)求点t的轨k不存在，即不存在满足条件的直线I.228、设M是椭圆C: y i上的一点,迹C的方程；(出)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点 求/ FiMF2的正切值；若不存在，请说明理由.(I)证法一：设点 P的坐标为(x, y).P、Q、i2 4N为椭圆C上异于 M的另一点，且 MN ±MQ , 求动点E的轨迹方程.T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,解：设点的坐标M (Xi, yi), N(x2, y2)(xiy0), E(x, y),由P(x, y)在

12、椭圆上，得|FiP| J(xc)2y222(x c) bb2 22X a则P(Xi, yi),Q( Xi, yi),T(xi,yi),i分(a cx)2.aM,使aFiMF2的面积S=b2.若存在,y2Xii22X2i22 yi42 y24i,L L L L1.L L L LMN ±MQ, kMNi,kMN(2)由(1) (2)可得 kMN ?kQi 一.6分又3,入 c由x a,知a x a|FiP|cX.a又直线PT的方程为y证法二：设点P的坐标为(X, y).记|F1P | r1,|F2P|土，所以kQN yi上X.从而得X yii-Xi,y22y i(xy 0),此即为所求的

13、轨迹方程-y.直线QN的方程为y 3xiy(X Xi)小， 3xi则 ri； (x c)2y2, r2. (x c)2由ri22a, ri2r224cx,得 | FiP |riiy1.所以Xi 2x, yi2y.代入(i)可得2证法三：设点P的坐标为(x, y).椭圆的左准线方程为-x 0. a9、已知：直线 L过原点，抛物线 C的顶点在原点，焦点在点B (0, 8)关于L的对称点都在 C上，求直线L和抛物线X轴正半轴上。若点 A (-i, 0)和 C的方程.由椭圆第二定义得|FiP|2|X |c即 | FiP | - |x a|a-X|. a分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法.设出它们的

14、方程,L： y=kx(k w0),Cy2=2px(p>0).0 ,所以 | Fi P |cX. a设A、B关于L的对称点分别为A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:A/(n)解法一：设点 T的坐标为(x, y).当|PT| 0时，点(a, 0)和点(一a , 0)在轨迹上22x。 Vq a1-2cI Vq Ih4 由得I y。I.c于是，当a田时,c当|PT| 0且 ITF2 | 0时，由 |PT| ITF2 | 0,得 PT TF2.又| PQ | |PF2 I ,所以T为线段F2Q的中点.1222在QFF2 中，| ot | | F1Q | a,所以有 x y a .2综上

15、所述，点T的轨迹C的方程是x2 y2 a2.7分解法二：设点T的坐标为（x,y）.当|PT| 0时，点（a, 0）和点（一a , 0）在轨迹上当|PTI oa 1TF21 0时，由 pt TF2 0,得 pt Tf2.又I pQi ipf； I,所以t为线段F2Q的中点.C 12S I MF1 I I MF2 I sin F1MF2b，得 tan F1MF22.2解法二：C上存在点M （ x。，y。）使S=b2的充要条件是 ,b2.,4,2,2上式代入得 x2 a2 （a 一）（a ） 0. ccc存在点M ,使S=b2 ；x设点Q的坐标为（x , y ）,则yx c2y_.22当a 2时，不

16、存在满足条件的点M. 11分c当 a » 时，记 k1 kM,k2 kF2Mcx0 cy。x。c因此2x c, 2y.由 | FiQ| 2a 得(xc)24a2.222将代入，可得x y a ._.1 222综上所述，点T的轨迹C的方程是x y a .2 .（出）解法一：C上存在点M （x°,y0）使S=b的充要条件是222xqVq a ,22cIVq I b2.由 IF1F2I 2a,知 F1MF2 90，所以 tan F1MF212I 2 14分1 k1k22 .11、设抛物线C : y x的焦点为F,动点P在直线l : x y 2 。上运动，过P作抛物线C的 两条切线

17、PA、PB,且与抛物线 C分别相切于 A、B两点.（1）求4APB的重心G的轨迹方程；（2）证明/ PFA=Z PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为（x,x2）和（x，x；）（ x x。）,切线AP的方程为：2x0x y x20；2_切线BP的万程为：2x1x y x10;解得P点的坐标为：xP x4,yP x0x12由得| y |a ,由得I y。Ib2.所以，当acb-时，存在点M,使S=b2 ； c所以 APB的重心G的坐标为 xG %一x一xP xP ,3当a 丫时,c不存在满足条件的点M.11分yG22y。y ypx。xx33(x。x1)2x。%4xp2 yp3MF1x0,y0)

18、,MF2 (c x0, y0),所以yp2, 3yG 4xg ,由点P在直线l上运动，从而得到重心 G的轨迹方程为:2由 MF1 MF2 x02V。19x ( 3y 4x2) 2 。，即y - (4x2 x 2).3MF1 MF2 I MF1 I I MF2 Icos F1MF2,2(2)万法 1：因为 FA (X0,X04),FP/X0 X11 _(,X0X1 4),FB(Xi,Xi由于P点在抛物线外，则|FP|0.21 X0 X12I(X0 -)(72) X0X1d42d1-212，(X0) X04x0 x121I AH )(X0-)2421x04IX0 X1 I r ,-,同理可得到P2

19、 cos AFPFP FAIFPIIFAI同理有cos BFP ./ AFP=/ PFB.方法2:当X1X0X0X12T x°(xo、*°2 fXoXiFP FB|FP IIFB I0时,由于X1P点到直线AF的距离为：d1帝平2(x024)2X0 X11X1 (X0X1)(X124'221 oIFPI X1(x14)X0,不妨设X00,则y0x_I.;而直线BF的方程:yrr 2 11_即(X1)x X1 yX10.44所以P点到直线BF的距离为:d221 x1I(X1 ；)77I所以d1=d2,即得/ AFP=Z PFB.当X1X00时，直线AF的方程:直线BF

20、的方程：yX114(x所以P点到直线AF的距离为:(X124)2(X1)22X0X04 IFPIXoXi点到直线BF的距离d2| XiXo |di=d2,可得到/ AFP=/PFB.4 IFPIX10,所以P点坐标为（一 ,0）,则2(X1214(X 0),即(X221X1 4X,X11、I X1 I X21x141、二)x x°y4|X1 I-X00,4口口 2110),即(x-)xx1 y- x1440,二、中点弦问题：.X2 21 112、已知椭圆y 1,（1）求过点P 22 2且被P平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过A 2,1引椭圆的割

21、线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q,。为原点,点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关,解：设弦两端点分别为2X1X11且有直线 OP、OQ斜率满足“P kOQ,求线段PQ中2因此可考虑设弦端坐标的方法.2y2 22y2 2X2V22x,2y,X1(D将x11y代入，得将代入椭圆方程X2x 4y 3 0为所求.将当一y2X1X2（3）将士一y2X1 X2(4)由+得,N X2, y2 ,线段MN的中点Rx,一得X1 X2 X1X22 y1y2y ,则yy20X22yy2 -X1X2则上式两端0,将代入得X 2y®/20 .X1 X2yy2X1X22 2y2

22、 2 得 6y22代入得所求轨迹方程为:1，故所求直线方程为:26y364y2x4y 3 0.0符合题意，0 .（椭圆内部分）口代入得所求轨迹方程为:22,2x1 x2 4x222X X222X1X2 ，22oyy22，2y22x2y 0.（椭圆内部分）将平方并整理得2,2-y 4y 2y1y2,将代入得:4x2 2x1x24y2 2yly22 ,-得(xi x2)(xi x2)(yi y2)(yi V2)再将y1y21矿由2代入式得：2x221x1x2 4y 2 x1x22 ,2因为A、B关于点M 对称，所以 xi+ x2= 4, yi+ y2=2,22 y dx i.12此即为所求轨迹方程

23、.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.代入得所以直线13、椭圆22x yC：52. 2a b1（a b 0）的两个焦点为Fi,F2,点 P在椭圆 C上，且PFi414F1F2,| PF1 | -,| PF2 | 一.( I )求椭圆 C 的万程；(n )若直线 I 过圆 x2+y2+4x-2y=0 33的圆心M,交椭圆C于A,B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.解法一：（I）因为点P在椭圆C上，所以2aPFi6 , a=3.在 RtPFiF2 中,F1 F2从而b2=a2c2=4,所以椭圆VIPF2PFi2 x C的方程为一92y- = 1.4（n）设 A, B 的坐

24、标分别为（xi,yi）、（x2,y2）.由圆的方程为（x+2） 2+（y1）2=5,所以圆心M的坐标为（2, 1）.从而可设直线I的方程为y=k（x+2）+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k 27=0.因为A, B关于点M对称.所以x一经218k2 9k8-2. 解得k2,所以直线I的方4 9k9程为y8 ，一(x 2) 1, 即 8x-9y+25=0.9（经检验，符合题意）解法二:（I ）同解法（n）已知圆的方程为（x+2） 2+（y1）2=5,所以圆心M的坐标为（一2, 1）.设A, B的坐标分别为（xi,yi） ,（x2,y2）.由题

25、意xix2且2xi92 x2yiy2x1 x2I的方程为y- 1 = - （x+2）,即8x- 9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意229_14、已知椭圆-yy -x21（a b 0）的一个焦点Fi（0,2拈,对应的准线方程为a b求椭圆的方程；（2）直线I与椭圆交于不同的两点求直线l的方程.c2解：（1）由曳即椭圆的方程为（2）易知直线 xi、 MNM、N,且线段MN恰被点P(xi, y1),32平分,述得a 3,b 142c .22y .x 1.9l的斜率一定存在，设N (x2, y2),由x2为上述方程的两根，则23k kx229 k2的中点为P1 32, 2k2代入中,，直线

26、I:kxI:x -，即y2kx1.xi(3 kx23, 21得(92 2k )4(9k2)x2(3kk2)x2740.k2)k242741.3k k2k21.9 k2 ,解得 k=3.182 4(9 9)y=3x+3符合要求.2 x15、设Fi ,F2分别是椭圆C: a2 y b22741 (a1820b 0）的左右焦点,设椭圆c上的点（J3,y3）2到Fi ,F2两点距离之和等于 4,写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设K是（1）中所得椭圆上的 动点，求线段 KFi的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线 L与 椭圆相交于M, N两点，当直线PM , PN的斜率都存

27、在，并记为kPM,KPN 试探究kPM KPN的值是否与点 P及直线L有关，并证明你的结论解:（1）由于点（73，次）在椭圆上,(3)22- a受b22 a =4,椭圆的方程为若直线l存在，则点M必在椭圆内，故（2x12 y_ 31 焦点坐标分别为（-1 ,。）0)将A（xi, yj B（x2,y2）代入椭圆方程，有2x22y。92y192 y2(2)设K的中点为B (x, y)则点 K(2x 1,2y) 把的坐标代入椭圆2 y_ 7中得（1）得，（X2X1)(X2 X1)(y29 y1)(y2 y1)(2x2 一 21)(2y)143线段KF1的中点B的轨迹方程为（x故kABy2 y1x2x

28、19(x2 x1)y2解得。y0(2)3. 3 3 3一或y。(3) 设过原点的直线 L与椭圆相交的两点M(x0,y。)N( x。, y。), p(x,y)N关于坐标原点对称M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程则有093 3人或y13、, 399 ( 1)2 y00,所以y。2 k AB2 x。 -2 a2y。b22x2a2L 1 b2kPMy。KPNy y。2kAB2解得 kAB3或 kAB故:K PN =yy。 y y。x x0 xxO2y2xxx。2y。2 =X0xx。故存在直线l满足条件,其倾斜角2-).kPM KPN的值与点16、已知椭圆的一个焦点为b2 a三、定义与最值：17、已知F

29、是椭圆5x2P的位置无关，同时与直线 L无关巳（。，2J2）,对应的准线为y9. 2 _ »2 2,离心率e满足一，e,43等比数列.（i）求椭圆的方程；（n）是否存在直线l ,使l与椭圆交于不同的两点 A, B ,且线1段AB恰好被直线x平分？若存在，求出直线 l的倾斜角的取值范围；若不存在，说明2理由.2 482 % 2斛：（I ）由题忌知，e2,所以e 3设椭圆上任意一点 P的坐标为x2 （y 2 2）22 2（x, y）,则由椭圆的第二定义得,9y23,(1)求PA -I PF的最小值,解：（1）由椭圆的第二定义转化知（2）依题意，由椭圆的第二定义知 I PA |pfJ |A

30、F262 PAPF18、设F1、F2分别是椭圆62 x445的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（1,1）是定点.并求点p的坐标；（2）求PA PF的最大值和最小值.PA IPFPA PF.2 PA的最小值是11 ,此时P(红勺,1); 25PA (6 |PF2) 6 (PA |PF2)PF2242（当且仅当P、A、F2三点共线时取）y2 1的左、右焦点，若 P是该椭圆上的一个动点,92 y 4化简得x221,故所求椭圆方程为92匕1.9解：易知(n )设 A(x1, y1), B(x2, 72)AB中点M （x。，y。），依题意有X0y。x1x22yy22因为x1y1x21V2 2y。uur u

31、urPF1 PF 2的最大值和最小值a 2, b 1, c 33 ,所以；(口)求 PF1 PF2F1(耳 0), Fz(- 3, 0).uuu uur _(x, y),贝U PF1 PF2 (3x 2, 2,故当x=。，即点当x 2 ,即点P为椭圆长轴端点时,的最大值和最小值.x, y) ( 3 x, y)P为椭圆短轴端点时,uuurPF1uuuPF 22yuuurPF13 uuu12-(3x2 8).PF 2有最小值-2.19、若双曲线过点（2, J6）,其渐近线方程为有最大值1.V2x.（II）已知A （3,2） , B（J3,。），在双曲线上求一点 P,使PA求双曲线的方程；33 PB

32、 的值最小.解：（I） x2 2，一 x 20、以椭圆一2匕1 (II) P(J3,2)，最小值为3.33223、已知定点 A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0),动点 P 满足：AP BP k | PC | 2. (1)求动点1的焦点为焦点，过直线 l: x y 9 0上一点M作椭圆，要使所作椭123圆的长轴最短，点 M应在何处？并求出此时的椭圆方程.分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点 到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.P的轨迹方程，并说明方程表示的图形;值.解：（1）设动点P的坐标为（x,y）,（2）

33、当k 2时，求| APBP |的最大值和最小解：如图所示，椭圆则 AP (x,y 1), BP (x,y 1), PC (1 x, y).点F1关于直线 x 2y 3 0.12l: x1 的焦点为 F13,0 , F2 3,0 .y 9 0的对称点 F的坐标为（一 9, 6）,直线 FF2的方程为解方程组x 2 y x y所求椭圆的长轴：0得交点0M的坐标为（一5, 4).此时MFi |MF2最小.2a MFi|MF2FF26m'5 , a因此，所求椭圆的方程为即(1k)x2 (1、2k) y 2kx k 1 0.若k1,则方程为x 1 ,表示过点（1,0）且平行于若k1,则方程为k

34、2212(x) y (),1 k1 k表小以k 1（上，0）为圆心，以为半径一二的圆.1 k|1 k | 2222. AP BP k| PC| , x y 1 k (x 1)22（2）当k 2时，方程化为（x 2）2 y21.2y ，y轴的直线.21、已知动点2 x P与双曲线一45 36（I ）求动点2P的轨迹C的方程;=1的两个焦点Fi、F2的距离之和为6.3（n）若 后？吨 =3,求力PF1F2的面积;（ID）若已知D（0,3） , M、N在轨迹C上且DMDN ,求实数 的取值范围.解:二1 ; 2; I1 ,5522、E、F是椭圆x2 2y2 4的左、右焦点， 椭圆于A、B两点.（1）

35、当AE AF时，求 的大小；（3）求 EPF的最大值.l是椭圆的右准线，点P l ,过点E的直线交AEF的面积；（2）当AB 3时，求AFBF解:(1)S AEF1mn 22AP BP (x,y 1) (x,y 1) (2x,2y) | AP BP | 2, x2 y2 .又(x 2)2 y21,，令 x 2 cos , y sin ,贝U| AP BP | 2. x2 y22. 5 4cos，当cos 1时，|AP BP |的最大值为6,当cos1时，最小值为2.2224、点A、B分别是以双曲线 1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆 C长轴的左、右端1620则AFAEAFBEBFBF5.(3)设

36、 P(2 . 2,t)(t3 -22)(10)ABAFBFtan EPF tan( EPMFPM )当t 石时，tan EPFt2-332 . 2tt2 6EPF2 2t 6t 1点，点F是椭圆的右焦点，点 P在椭圆C上，且位于x轴上方，PA PF 0 （1）求椭圆C 的的方程；（2）求点P的坐标；（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点 M到直线AP的距离 等于|MB| ,求椭圆上的点到 M的距离d的最小值.解（1）已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴b1=2 J5 ,半焦距c1二116 20 6 ,，椭圆的长半轴 a2=c=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 b2 A62 42 亚，

37、 22.所求的椭圆方程为L 13620（2）由已知A（ 6,0）,F（4,0）,设点P的坐标为（x,y）,则AP (x 6,y),FP (x 4,y),由已知得o3036 20(x 6)(x 4)则 2x2 9x 180,解之得由于y>0,所以只能取于是y(3)直线AP:x .3yM是(m,0),则点M到直线AP的距离是是2又,点M在椭圆的长轴上，即.当m2时,椭圆上的点到d2(x2)24x6 m 6M (2,0)的距离5x24 20 91525、uuu OF已uurFP知在平。时,2角坐d取最小值标系xoy. 15中，向量j(0,1), OFP的面积为2<3 ,且uuir t,O

38、M3uuu rOP j 3.设4t 4向 求向量OF与uP勺夹角 的取值范围；(ii)设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M ,且 |Of | c,t (8 1)c2,当|OP|取最小值时，求椭圆的方程.解。(1)由 厂1 /口 一 ”493 ,OFFP t sin川午.1 j m 23- | OF| | FP | sin，得 |OF |FP |-，由cos； ，2sin|OF | |FP |4.3得tan 9 3分t4 t 4 31 tan .30,，夹角的取值范围是(一,一)4 3(2)设P(x°,y°),则FP(Xo c,y°),OF

39、uurOFuurFP (X0 c,y0)(c,0) (X0S OFP1 uur11|OF| |y0| 2.3y。c)c4.3c(c,0).t ('.31)c2x03c8分|OP| 板 y2 j(点c)2 (4c3)2 科3c 4c3 2品 1吩当且仅当V3c 勺e,即c 2日t,|OP|取最小值2汽,此时,OP(2/3, 2)c3OM (2 3,2 3) (0,1) (2,3) 3或 OM” (2/3, 2V;3) (0,1) (2, 1) 12分3椭圆长轴 2a (2 2)2 (3 0)2(2 2)2 (3 0)2 8 a 4,b2 12或2a (2 2)2 ( 1 0)2(2 2)

40、2 ( 1 0)21 . 17 a -17 ,b2 -172222故所求椭圆方程为 上 工 1.或 x2y2 14分16129171 . 17222 . 2 _ ,26、已知点F (0,1), 一动圆过点F且与圆x ( y 1)8内切.(I)求动圆圆心的轨迹 C的方程；(n)设点A(a , 0),点P为曲线C上任一点，求点 A到点P距离的最大值d(a)；(ni)在0 a 1的条件下，设POA的面积为S1 (O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点)，以d(a)为边长的正方形的面积为S2 ,若正数m满足S1 mS2,问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.解(I)设动圆

41、圆心为 M(x, y),半径为r ,已知圆圆心为 E(0, 1),由题意知 | MF | r , | ME | 2J2 r,于是 |ME | | MF | 272 ,2所以点M的轨迹C是以E、F为焦点，长轴长为 242的椭圆，其方程为 x22-1 .2(n)设 P(x,y),则 |PA|2 (x a)2 y2 (x a)2 2 2x2x2 2ax a2 22222(x a)2a2,令 f(x)(x a) 2a 2, x 1,1,所以，当 a 1,即 a 1 时 f(x)在1,1上是减函数，f (x) max f( 1) (a 1)2；当1a 1,即 1 a 1时，f (x)在1, a上是增函数

42、，在 a,1上是减函数，则2_f (X) max f(a) 2a 2；当 a 1,即 a 1 时，f(x)在1,1上是增函数，f (x) max f (1) (a 1)2 .1 a , a 1所以，d(a)72P2 , 1 a 1 .1 a , a 1(出)当 0 a 1 时，P(a, 72 2a2),于是 S1若正数m满足条件，则1a,2(1 a2) m(2a22_ 2a ) ,S2 2aa、2(1 a2)4(a2 1)2, (12分)a2(1a2)8(a21)2，令 f (a)a2(1a2)f(a)(t 1)(2 t)8t28(a2 t21)23t 2(1,2),1,64一 ，1所以，当1

43、tr 21即m 6433,即t4(1,2)时，”2)max1641所以，m存在取小值一.827、已知点 M (-2, 0), N (2, 0),动点P满足条件|PM|-|PN|=212.记动点P的轨迹为 W. (1)求W的方程；(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求 OA?OB的最小值.(1)由|PM|-|PN|=2 J2知动点P的轨迹是以M, N为焦点的双曲线的右支，实半轴长 a= <2 又半焦距c=2,故虚半轴长b= 7c2 2J2.22所以W的方程为1 , X><2 .得 2a | PFi | IPFzIIFiFzI J( - 1)2 (- 0)2 2&

44、; , 5分55a V2 , b 421 1 .2.所求椭圆方程为y21 .7 分22(出)2 ,椭圆的准线方程为x 2 .8 分c设点Q的坐标为(t , 2t 3)( 2 t 2) ,d1表示点Q到F2的距离，d2表示点Q到椭圆的 右准线的距离.22(2)设A、B的坐标分别为(当 ABx 轴时，Xi=x2, y1 =y2, 当AB与x轴不垂直时，设直线(1-k2) x2-2kmx-m2-2=0,x1, y1)，(X2, y2). 22从而 OA OB =X1X2+y1y2= x1y12.AB的方程为y=kx+m,与 W的方程联立，消去 y得故 X1 + X2=2 kmm2 2则 d1. (t

45、 1)2 (2t 3)2、.5t2 10td V5t2 10t 10r:22t 2工12. (t 2)2t2 2t 2f (t) ( 2 t 2),(t 2)2值.因此，生最小值=J5 f(-),此日d2-32注：f (t)的最小值还可以用判别式法、换元法等J10, d2 t 2 .10分一 4则 f (t) 在 t 一时取得最小313分一4 1”Q Q的坐标为(-) 14分3 3所以 OA OB =X1X2+y1y2=X1X2+ (kx+m) (kx2+m) = (1 + k2) x1x2+km(X1+X2) +m22229、设F是椭圆C:冬 1(a b 0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点 a b22_ 22(1 k )(m2) 2k mk2 11 k24k2 1又因为xx2>0,所以k2-1>0,从而OA OB >2.综上，当ABx轴时，OA OB取得最小值2.28、一束光线从点Fi ( 1,0)出发，经直线l : 2xy 3 0上一点P反射后，恰好穿过点F2 (1, 0). (I)求点Fi关于直线l的对称点Fi的坐标；(n)求以FF2为焦点且过点P的椭圆C的方程；(出)设直线l与椭圆C的两条准线分别交于 A、 动点，求点Q到52的距离与到椭圆 C右准线的距