2020-2021备战中考数学压轴题之初中数学旋转(备战中考题型整理,突破提升)含详细答案

1、2020-2021备战中考数学压轴题之初中数学 旋转（备战中考题型整理，突破提升） 含详细答案一、旋转1 .阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的 顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这 个规律的图形称为 手拉手”图形.如图1,在 手拉手”图形中，小胖发现若 /BAC= /DAE, AB=AC, AD=AE,贝U BD= CE在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造手拉手”图形来解答下面的问题：（2）如图 2, AB=BC, /ABC=/BDC= 60°,求证：AD+CD= BD;（3）如图3,在

2、 ABC中，AB= AC, Z BAC= m。，点E为ABC外一点，点 D为BC中点, /EBC=/ACF ED± FD,求/EAF的度数（用含有 m的式子表示）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ZEAF =1m。.2【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC只要证明DABEAC即可；（2）如图2中，延长DC到E,使得DB=DE首先证明4BDE是等边三角形，再证明 ABD0 4CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转 m°得到AG,连接CG EG EF、FG,延长ED到1 。M,使得 DM=DE,连接 FM、CM.想办法证明AFEA

3、FG 可得 / EAF=Z FAG=2 m .详（1）证明：如图1中, Z BAC=Z DAE,Z DAB=Z EAC,在 DAB和4EAC中，AD=AEDAB= EAC , AB=AC DAB0 EAC, .BD=EC(2)证明：如图2中，延长 DC至ij E,使得DB=DE DB=DE, /BDC=60,° .BDE是等边三角形， / BD=BE, / DBE=Z ABC=60 ；/ ABD=Z CBE, .AB=BC, .ABDACBE,.AD=EC, BD=DE=DC+CE=DC+A D .AD+CD=BD.(3)如图3中，将AE绕点E逆时针旋转 m°得到AG,连接

4、CG EG EF、FG,延长ED到 M,使得 DM=DE,连接 FM、CM.由(1)可知 EAg AGAC,.1. / 1 = / 2, BE=CG3 BD=DC, /BDE=/CDM, DE=DM,4 .EDBAMDC,EM=CM=CG, / EBC之 MCD,5 / EBC=Z ACF,/ MCD=/ ACF,/ FCM=Z ACB=/ ABC,/ 1=3=/ 2,/ FCG=/ ACB=Z MCF,6 . CF=CF CG=CM, .-.CFGACFM, .FG=FM,7 . ED=DM, DF± EM, .FE=FM=FG8 . AE=AG, AF=AF,9 .AFEAAFG

5、,， J 。/ EAF=Z FAG=m2点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题.2 .请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：1探究1：如图1,在等腰直角三角形 ABC中， ACB 90°, BC a,将边AB绕点B1 2顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD.求证：VBCD的面积为一a2.（提示：过点D作BC2边上的高DE,可证VABCVBDE）2探究2：如图2,在一般的RtVABC中， ACB 90

6、6;, BC a,将边AB绕点B顺 时针旋转90°得到线段BD,连接CD.请用含a的式子表示VBCD的面积，并说明理由.3探究3：如图3,在等腰三角形 ABC中，AB AC , BC a,将边AB绕点B顺时针 旋转90°得到线段BD,连接CD.试探究用含a的式子表示VBCD的面积，要有探究过 程.1 2【答案】（1）详见解析；（2） VBCD的面积为一a2,理由详见解析；（3） VBCD的面21 2积为一a .4【解析】【分析】1如图1,过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点 E,由垂直的性质就可以得出VABCVBDE ,就有DE BC a.进而由三角形的面积公式得出结论

7、；2如图2,过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点 E,由垂直的性质就可以得出VABCVBDE ,就有DE BC a.进而由三角形的面积公式得出结论；3如图3,过点A作AF BC与F,过点D作DE BC的延长线于点E,由等腰三角形1的性质可以得出 BF -BC ,由条件可以得出 VAFB且VBED就可以得出BF DE ,由2三角形的面积公式就可以得出结论.【详解】1如图1,过点D作DE CB交CB的延长线于E,BEDACB 90o，由旋转知，AB AD , ABD 900,ABCDBE 90°，Q A ABC 900,A DBE , 在VABC和VBDE中，ACB BEDA DBE

8、 ,AB BDVABC VBDE AASBC DE a,一 1 一一Q SVBCD BC DE ,2SVBCD 二 a ；21 92 VBCD的面积为一a ,2理由：如图2,过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点 E,BED ACB 90°，Q线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,AB BD , ABD 90°,ABC DBE 90°,Q A ABC 90°,A DBE , 在VABC和VBDE中，ACB BEDA DBE ,AB BDVABC VBDE AAS ,BC DE a,QSvBCD1 -BC DE , 2SVBCD-a2;2

9、BC的延长线于点E,3如图3,过点A作AF BC与F,过点D作DEFABABF 90°，Q ABD 90°, ABFDBE 90°，FAB EBD ,Q线段BD是由线段AB旋转得到的,AB BD ,在VAFB和VBED中,AFB EFAB EBD, AB BDVAFB VBED AAS ,1BF DE a, 2一一 1 111 2Q SvbcdBC DE a a a ,22 241 2VBCD的面积为一a .4【点睛】 本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性 质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练

10、掌握和灵活运 用相关的性质与定理是解题的关键 .3 .如图所示，（1）正方形ABCD及等腰RtAEF有公共顶点 A, / EAF=90；连接BE、DF.将RAEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；（2）将（1）中的正方形 ABCD变为矩形 ABCD,等腰RtAEF变为RtAAEF7,且AD=kAB,AF=kAE,其他条彳不变.（1）中的结论是否发生变化？结合图 （2）说明理由；（3）将（2）中的矩形 ABCD变为平行四边形 ABCD）,将RtA AEF变为AEF,且/BAD=/ EAF=a其他条彳不变.（2）中的结论是否发生变化？结合图（3

11、）,如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用 k表示出线段BE、DF的数量关系，用 a表示出直线BE、DF形成的锐角3.【答案】（1） DF=BE且DFLBE,证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即3 =18(-aDF=kBE, DF± BE; (3)不改变.DF=kBE,【分析】（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF= AE,又/ BAE与/ DAF都与/ BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE与DF相等，延长 DF交BE于G, 根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360。求出/EGF= 90。，所以DF± BE；（2

12、）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以FAgEAB,所以DF=kBE,同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出/EHF= 90°,所以DF，BE；(3)与(2)的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360 °求出/£人5+/ EHF= 180 °,所以 DF 与 BE 的夹角 3= 180 - a. 【详解】(1) DF与BE互相垂直且相等.证明：延长 DF分别交AR BE于点P、G在正方形 ABCD和等腰直角 4AEF中AD= AB, AF= AE,

13、/ BAD= / EAF= 90/ FAD= / EAB.FADAEABZ AFD= Z AEB, DF= BE / AFD+Z AFG= 180 : / AEG+/AFG= 180 ； / EAF= 90 °,/ EGF= 180 - 90 = 90 ； DFXBEDF= kBE, DF± BE.(2)数量关系改变，位置关系不变.延长DF交EB于点H,. AD=kAB, AF= kAEAFAEADABAD AFAB AE / BAD= / EAF= a/ FAD= / EAB.FADAEABDF AF , kBE AE.DF= kBE .FADAEAEJ, / AFA /

14、 AEB, / AFD+/AFH= 180 : / AEH+ZAFH=180 ； / EAF= 90 °,/ EHF= 180 - 90 = 90 ； DFXBE(3)不改变.DF= kBE, 3= 180°-a.延长DF交EB的延长线于点 H, J . AD=kAB, AF= kAEAFAEADABAD AFAB AE / BAD= / EAF= a / FAA / EAB .FADAEABDF AF , kBE AE.DF= kBE由 FAD EAB得 / AFD= / AEB / AFD+/AFH= 180 ° / AEB+/AFH= 180 °

15、四边形AEHF的内角和为360 ； / EAF+Z EHF= 180 ° / EAF= a, / EHF= 3 -a+ 3= 180 :3= 180 - a【点睛】本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2） （3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关 键，也是难点所在.4.如图 1,在 RtABC中，/ACB= 90°, AC= BC.点 D、E分别在 AC BC边上，DC=EG 连接 DE、AE、BD.点 M、N、P分别是 AE、BD> AB 的中点，连接 PM、PN、MN.C E B CBC

16、E B国1S2曾用圉(1) PM与BE的数量关系是 , BE与MN的数量关系是 .(2)将ADEC绕点C逆时针旋转到如图 2的位置，判断(1)中BE与MN的数量关系结论 是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；(3)若CB= 6. CE= 2,在将图1中的ADEC绕点C逆时针旋转一周白过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求 MN的长度.1【答案】(1) PM -BE, BE J2MN ; (2)成立，理由见解析；(3) MN=J17 - 21或折+1【解析】【分析】(1)如图1中，只要证明VPMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；(2)如图2中，

17、结论仍然成立，连接 AD、延长BE交AD于点H .由VECB VDCA ,推出BE AD , DAC EBC ,即可推出BH AD ,由M、N、P分另U AE、1 1BD、AB 的中点，推出 PM /BE, PM BE, PN/AD , PN AD ,推出2 2PM PN , MPN 90 ,可得 BE 2PM 2 MN V2MN ;2(3)有两种情形分别求解即可 .【详解】(1)如图1中，S1. AM = ME, AP= PB,1 PM / BE, PM - BE , 2. BN=DN, AP=PB,1 .PN/AD, PN AD, 2 . AC= BC, CD= C匕.AD= BE,.PM

18、 = PN, / ACB= 90 °,.-.AC± BC, . PM/BC, PN/ AC, PMXPN, PMN的等腰直角三角形，MN 72PM， MN:2 1BE ,2BE 2MN， 1-故答案为 PM -BE , BE J2MN (2)如图2中，结论仍然成立.理由：连接AD、延长BE交AD于点H. ABC和 CDE是等腰直角三角形，.CD= CE, CA= CB, /ACB=/DCE= 90 °, / ACB- / ACE= / DCE- / ACE/ ACD= / ECB .ECBDCA, .BE=AD, /DAC=/EBC Z AHB=180 - (/H

19、AB+/ABH)= 180°- (45 +Z HAC+ZABH)= /180°- ( 45° + /HBG/ABH)= 180° -90°= 90°, BHXAD, M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，11 .PM/BE, PM BE, PN/AD, PN AD, 22.PM = PN, /MPN=90；BE 2PM 2 MN >/2MN .2则 CG GE DG J2,当D、E、B共线时,BE BG GEV34 亚,，MN -2 BE2而i.当D、E B共线时,GE DG V2,在 RtAbcg中，bg Jbc2 cg2

20、j62 & 2 扃,BE BG GE34 2,在 RtABCG中，BG JbC2 CG2 J62 22 2 后，,MN 出 BE2综上所述，MN=而-1或J万+1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问 题，属于中考压轴题.5.在等边4AOB中，将扇形 COD按图1摆放，使扇形的半径 OC、OD分别与OA、OB重 合，OA= OB=2, OC= OD= 1,固定等边AOB不动，让扇形 COD绕点O逆时针旋转，线 段AC BD也随之变化，设旋转角为 a. ( 0V

21、 a w 360°(1)当OC/ AB时，旋转角a=度；发现：(2)线段AC与BD有何数量关系，请仅就图 2给出证明.应用：(3)当A、C D三点共线时，求 BD的长.拓展：(4) P是线段AB上任意一点，在扇形 COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值.【答案】(1) 60或240; (2) AC=BD理由见解析；(3) X13+1或巫； (4) PC的 22最大值=3, PC的最小值=J3 - 1.【解析】分析：(1)如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC/ AB,此时旋 转角a =60或240°.(2)结论：AC=BD,只要证明AO8

22、 4BOD即可.(3)在图3、图4中，分别求解即可.(4)如图5中，由题意，点 C在以O为圆心，1为半径的。上运动，过点 O作 OHXABT H,直线OH交。于C'、C，线段CB的长即为PC的最大值，线段 CH的长即 为PC的最小值.易知 PC的最大值二3, PC的最小值=73-1.详解：(1)如图1中，,4ABC是等边三角形，Z AOB=Z COD=60°,当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC/ AB,此时旋转角 a =6贼240 °,故答案为60或240;(2)结论：AC=BD,理由如下：如图 2 中， ZCOD=Z AOB=60 °, . .

23、 / COA=/DOB.在 AAOC和 ABOD 中，OA OBCOA DOB , .AO® BOD, .-.AC=BD；CO OD点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、(3)如图3中，当A、C D共线时，作 OHLAC于H.在 RtA COH中，. OC=1, ZCOH=30 °, . CH=HD=1 , OH=2/I .在 RtAOH 中,AH= J0A2 0H 2=痘，BD=AC=CH+AH=1 屈 22如图4中，当A、C、D共线时，作OHXACT H.易知 AC=BD=AH- CH= 13 12综上所述：当A、C、D三点共线时

24、，BD的长为析3 1或而122(4)如图5中，由题意，点 C在以0为圆心，1为半径的。上运动，过点 0作OHXABT H,直线0H交。于C'、C，线段CB的长即为PC的最大值，线段 CH的长即为PC的最小值.易知 PC的最大值=3, PC的最小值=73 - 1.勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属 于中考压轴题.6.两块等腰直角三角板 ABC和 DEC如图摆放，其中 /ACB=/ DCE=90°, F是DE的中 点，H是AE的中点，G是BD的中点.(1)如

25、图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为 和位置关系为;(2)如图2,若将三角板 DEC绕着点C顺时针旋转至 ACE在一条直线上时，其余条件均 不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；(3)如图3,将图1中的4DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图 3, (1)中的猜想还 成立吗？直接写出结论，不用证明.FHXFG.【解析】试题分析：(1)证AD=BE根据三角形的中位线推出FH=- AD, FH/ AD, FG=- BE,22FG/ BE,即可推出答案；(2)证 AC* BCE,推出AD=BE,根据三角形的中位线定理即可

26、推出答案；(3)连接BE、AD,根据全等推出 AD=BE,根据三角形的中位线定理即可推出答案.试题解析：(1)解：CE=CD AC=BC /ECA=/ DCB=90 ,BE=AD, F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点， .FH=-AD, FH/ AD, FG=1 BE, FG/ BE, 22.FH=FG .ADXBE, FHXFG,故答案为相等，垂直.(2)答：成立，证明：CE=CD /ECD叱 ACD=90 , AC=BC.ACEABCE.AD=BE,DDB.FH=FG FHI± FG,，（1）中的猜想还成立.（3）答：成立，结论是 连接AD, BE,两线交于同（1）可

27、证由（1）知：FH=1 AD, FH/ AD, FG=1BE, FG/ BE,FH=FG FHI± FG.Z, AD 交 BC 于 X, .fh=-ad, fh/ ad, fg=be, fg/ be, 三角形ECD ACB是等腰直角三角形， . CE=CD AC=BC / ECD叱 ACB=90 ,°/ ACD=Z BCE在 ACD和ABCE中AC=BCACD= BCE ,CE=CD .ACDABCE.AD=BE, /EBC4 DAC, / DAC+/ CXA=90 , ° / CXA=Z DXB, / DXB+/ EBC=90,°/ EZA=180 &

28、#176;90 =90 ；即 AD± BE,1. FH/ AD, FG/ BE,FHXFG,即 FH=FG, FHI± FG,结论是 FH=FG FHXFG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定 理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关 键.7.如图1,在锐角 4ABC中，/ABC=45°,高线 AD、BE相交于点 F.(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；(2)如图2,将4ACD沿线段AD对折，点 C落在BD上的点 M, AM与BE相交于点 N, 当DE/ AM时，判断NE与AC的数

29、量关系并说明理由.【答案】(1) BF=AC理由见解析；(2) NE=AC,理由见解析.2【解析】试题分析：(1)如图1,证明AADCABDF (AAS),可得BF=AQ(2)如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC由线段垂直平分线的性质得： AB=BC则/ABE=/ CBE结合(1)得：BDF0ADM,则/. r ,/1八/DBF=/ MAD,最后证明 /ANE=/ NAE=45 ,彳# AE=EN,所以 EN=- AC.试题解析：(1) BF=AC理由是：如图 1,AD± BC, BEX AC, ./ADB=/ AEF=90,° / ABC

30、=45 ；.ABD是等腰直角三角形，叫. AD=BD, / AFE=Z BFD,/ DAC=Z EBC在ADC和4BDF中，DAC DBFADC BDF, AD BD .ADCABDF (AAS), BF=AC/c、"1，口(2) NE=-AC,理由是：2如图2,由折叠得： MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC .BEXAC,，AB=BC,/ ABE=Z OBE,一由(1)得：AADOABDF7, .ADOAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 / ABE=/ BA

31、N, / ANE=Z ABE+Z BAN=2/ ABE,/ NAE=2/ NAD=2/ OBE/ ANE=Z NAE=45 ；.AE=EN, .en=2ao.8.如图：在ABC中，ZAOB=90°, AC=BQ / PCQ=45,把/ PCQ绕点C旋转，在整个旋 转过程中，过点 A作AD, CP,垂足为 D,直线 AD交CQ于E.(1)如图，当/PCQ在/ACB内部时，求证： AD+BE=DE(2)如图，当CQ在/ACB外部时，则线段 AH BE与DE的关系为 ;(3)在(1)的条件下，若 CD=6, SAbce=2Saacd,求 AE 的长.【答案】 见解析(2) AD=BE+DE

32、 (3) 8【解析】试题分析：(1)延长DA到F,使DF=DE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等可得CE=CF,再求出ZACF=Z BCE,然后利用 边角边”证明 ACF和 BCE全等，根 据全等三角形的即可证明 AF=BE,从而得证；(2)在AD上截取DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出/ACF=/BCE然后利用 边角边”证明4ACF和ABCE全等，根据全等三角形 的即可证明AF=BE,从而得到AD=BE+DE；(3)根据等腰直角三角形的性质求出 CD=DF=DE,再根据等高的三角形的面积的比等于底 边的比求出AF=2AD,然后

33、求出AD的长，再根据 AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解. 试题解析：(1)证明：如图，延长DA到F,使DF=DE. -. CD)1 AE,CE=CF,/ DCE=ZDCF=Z PCQ=45 :/ ACD+Z ACF=Z DCF=45 :又/ ACB=90 : / PCQ=45 ；Z ACD+ZBCE=90 - 45 =45 :，/ACF=/BCE 在 AACF 和 ABCE 中,CE CFACF BCE , .AC阵 BCE (SAS ,AF=BE, . AD+BE=AD+AF=DF=DE,即AC BCAD+BE=DE;(2)解：如图，在 AD上截取 DF=DE. CD，AE,CE=C

34、F,/ DCE=ZDCF=Z PCQ=45 ；. / ECF=Z DCE/ DCF=90 ；. / BCEZ BCF=Z ECF=90 :又 / ACB=90 ；/ ACF+Z BCF=90 ； . / ACF=Z BCE 在 ACF和 BCE中，CE CFACF BCE , .AC阵 BCE (SAS ,AF=BE, . AD=AF+DF=BE+DE,即AC BCAD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE.(3)/ DC- DCF=Z PCQ=45°,. / ECF=45° +45°=90°,， ECF是等腰直角三角形，.CD=DF=DE=6.Sbc

35、e=2Sa acd,，AF=2AD,，AD= X 6=2 . AE=AD+DE=2+6=8.1 2点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全 等三角形是解题的关键.9.如图1,在RtADE中，Z DAE=90°, C是边AE上任意一点(点 C与点A、E不重合)，以AC为一直角边在 RtA ADE的外部作RtAABC, Z BAC=90 ,连接BE、CD.(1)在图1中，若AC=AB, AE=AD,现将图1中的RtADE绕着点A顺时针旋转锐角 生 得到图2,那么线段BE.

36、 CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；(2)在图1中，若CA=3, AB=5, AE=10, AD=6,将图1中的Rt ADE绕着点A顺时针旋 转锐角”，得到图3,连接BD> CE. 求证：ABEACD；计算：BD2+Cg的值.E【答案】(1) BE=CQ BEX CD,理由见角；(2) 证明见解析；BD 2+CE2=170.【解析】【分析】(1)结论：BE=CD, BEX CD;只要证明 ABA® ACAD,即可解决问题；(2) 根据两边成比例夹角相等即可证明ABEACD. 由 得到/AEB=/CDA.再根据等量代换得到 Z DGE=90 °,即DG

37、7; BE,根据勾股定理 得到bd2+cE2=cB?+ee2,即可根据勾股定理计算.【详解】(1)结论：BE=CD, BEX CD.理由：设BE与AC的交点为点F, BE与CD的交点为点 G,如图2. / CAB=Z EAD=90 ；在ACAD和 BAE中,C CAD=Z BAE.AB ACBAE CAD ,ACADIA BAE, . CD=BE,AE AD/ ACD= / ABE. / BFA=Z CFG / BFA+ZABF=90 ； /CFG/ACD=90 ； Z CGF=90 ； .-.BEX CD.(2) 设AE与CD于点F, BE与DC的延长线交于点 G,如图3. / CABB=Z

38、 EAD=90 :，/ CAD=Z BAE. .CA=3, AB=5, AD=6, AE=10, .,些=公2=2, .AB&MCD;AB AC. ABEAACD, . / AEB=/CDA. ./AFD=/EFG Z AFD+Z CDA=90 ；/ EFG/AEB=90 ；/ DGE=90 ； . DG, BE,Z AGD=Z BGD=90 ； . . CEcG2+EG2, BD2=BG2+DG2,BD2+cE!=cG?+eG2+bG2+DG2. . CG2+bG2=CE2，EG2+DG2=ED2,BD2+cE!=CB2+eD2=CA2+AB2+AD2+AD2=170.E【点睛】本题

39、是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题 的关键.10.如图1, 4ACR AED都为等腰直角三角形，/AED=/ ACB=90°,点D在AB上，连CE, M、N分别为BD、CE的中点.(1)求证：MNXCE;(2)如图2将4AED绕A点逆时针旋转 30°,求证：CE=2MN.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)延长DN交AC于F,连BF,推出DE/ AC,推出EDNsCFN,推出DE ENCF CNDN,求出DN=FN, FC=

40、ED得出 MN是中位线，推出 MN / BF,证NF CAEBCF 推出 /ACE4 CBF,求出 / CBF+/ BCE=90；即可得出答案；(2)延长 DN至IJG,使DN=GN,连接CG,延长DE、CA交于点K,求出BG=2MN,证 CAEBCG,推出BG=CE即可得出答案.试题解析：(1)证明：延长 DN交AC于F,连BF,图1- N为CE中点，EN=CN,1 .ACB 和 4AED 是等腰直角三角形，/AED=/ ACB=90 ,° DE=AE AC=BC/ EAD=Z EDA=Z BAC=45 ；2 .DE/ AC,3 .EDNACFN,.DEENDNCFCNNF 

41、9;4 .EN=NC,.DN=FN, FC=ED5 .MN是4BDF的中位线，MN / BF,6 . AE=DE DE=CF7 .AE=CF8 Z EAD=Z BAC=45 ；9 / EAC玄 ACB=90 ；在ACAE和ABCF中，CA= BCCAE= BCF ,AE=CF10 .CAEABCF (SA§ ,11 / ACE玄 CBF," Z ACE-+Z BCE=90,°12 / CBF吆 BCE=90,°即 BF± CE, MN / BF,.-.MN ±CE(2)证明：延长 DN至IJG,使DN=GN,连接CG,延长DE、CA交

42、于点K,国2. M为BD中点，2 .MN是4BDG的中位线，.BG=2MN,在4EDN和？CGN中，DN = NGDNE= GNC , EN = NC3 .EDNACGN (SAS ,DE=CG=AE / GCN=Z DEN,4 .DE/ CG, / KCG=Z CKE5 / CAE=45+30 +45 = 120 ；/ EAK=60 ,°6 / CKE4 KCG=30,°/ BCG=120,° 在ACAE和ABCG中，AC=BC CAE= BCG ,AE=CG7 .CAEABCG (SAS ,BG=CE8 .BG=2MN,9 .CE=2MN.【点睛】考查了等腰直

43、角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行 线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.11 .如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为(0, 4) , M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线，垂足为 F,过点B作y 轴的垂线与直线 CF相交于点E,连接AC, BC,设点A的横坐标为t.(I )当t=2时，求点M的坐标；(n )设ABCE的面积为S,当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出 自变量t的取值范围；(出)当t为何值时，BC+CAM得最小值.3【答案】(1) (1,2); (2) S=- t+8 (

44、0Wt &8; (3)当 t=0 时，BC+ACW最小值【解析】试题分析：(I)过M作MGLOF于G,分另1J求 OG和MG的长即可；(II)如图1,同理可求得 AG和OG的长，证明AMGCAF,得：AG=CF=- t2，AF=MG=2,分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；(III)证明ABOsCAF,根据勾股定理表示 AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的 意义得出当t=0时，值最小.试题解析：解：(I)如图1,过M作MGLOF于G,，MG/OB,当t=2时，OA=2.M是AB的中点，G是AO的中点，.OG=-OA=1 MG是4AOB的中位

45、线，2 .MG = - OB=- X 4=2 M (1, 2)；22(II)如图 1,同理得：OG=AG=1t. /BAC=90°,2 / BAO+Z CAF=90 :/ CAF+ Z ACF=90 ； = / BAO=Z ACF, / MGA=Z AFC=90 ；MA=AC,AAMGACAF7,，AG=CF=-t, AF=MG=2, EC=4 - - t, BE=OF=t+2,22Sa bce= _ EC?BE= (4t) (t+2) = - t2+ t+4；22242Saabc=I？AB?AC= 1 ? Ji6 t2 ? -J716t"2"=工 t2+4, 1

46、. S=Sabec+Saabc= t+8.22242当A与O重合，C与F重合，如图2,此时t=0,当C与E重合时，如图 3, AG=EF,即1、一，、一，t=4, t=8,，S与t之间的函数关系式为：2AB(III)如图 1,易得AB8 4CAF, AC得:ac=Jaf2 CF2,22 (1t)2 = J4BC= Jbe2 ec2 = J(t 2)2(4 ；t)2 =c 3 ,一 ，S=1+8 (0+& ；= -OB=-OA-=2,，AF=2, CF=1t,由勾股定理5( It2 4) , BC+AC= ( V5+1)点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包: 何变换(旋转)、三角形的

47、中位线等，解题的 决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压、全等三角形、点的坐标、几12.在4ABC中,AB=6,AC=BC=5各 ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到4ADE旋转角为 a (0°< a< 180°)，点B的对应点为点 D,点C的对应点为点 E连接BD, BE.(1)如图，当a =60时，延长BE交AD于点F. 求证：4ABD是等边三角形；求证：BF± AD, AF=DF；请直接写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线 AB,垂足为点G,连接CE当/ DAG=/ ACB且线 段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE

48、勺值.c【答案】（1） 详见解析；3招-4; （2） 13.【解析】试题分析：（1）由旋转性质知 AB=AD, /BAD=60即可得证；由BA=BD EA=ED根 据中垂线性质即可得证；分别求出BF、EF的长即可得；（2）由/ ACB+/ BAC+/ ABC=180、° / DAG+/ DAE+/ BAE=180、° / DAG=/ ACR / DAE=Z BAM/ BAE=/BAC且 AE=AC 根据三线合一可得 CE1 AB、 AC=S AH=3,继而知 CE=2CH=8BE=5,即可得答案.试题解析：（1）.一ABC绕点A顺时针方向旋转 60。得到AADE,.AB=A

49、D, /BAD=60；.ABD是等边三角形；由得4ABD是等边三角形，.AB=BD, ABC绕点A顺时针方向旋转 60得到 ADE, .AC=AE BC=DE又. AC=BCEA=ED点B、E在AD的中垂线上,.BE是AD的中垂线，点F在BE的延长线上，BFXAD, AF=DF; 由 知BFXAD, AF=DF, .AF=DF=3,.AE=AC=5,EF=4,在等边三角形ABD 中,BF=AB?sinZ BAF=6BE=BF- EF=3右-4;（2）如图所示,c / DAG=Z ACB, / DAE=Z BAG, / ACB+/ BAC+Z ABC=Z DAG+Z DAE+Z ABC=180

50、, 又 / DAG+Z DAE+/ BAE=180 ,Z BAE=Z ABC,.AC=BC=AEZ BAC=Z ABC,Z BAE=Z BAC, JABXCE；且 CH=HE= CE, -.AC=BC,1.AH=BH=- AB=3,贝U CE=2CH=8 BE=5, .BE+CE=13 考点：三角形综合题13.如图1 ,正方形 ABCD与正方形 AEFG的边AB、AE (ABvAE)在一条直线上，正方形 AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为优在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.(1)当正方形 AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG(2)

51、当点C在直线BE上时，连接FC,直接写出/FCD的度数；(3)如图3,如果我=45°, AB =2, AE=V7,求点G至U BE的距离.16<5【答案】(1)证明见解析；(2) 45。或135。； (3) 5 .【解析】试题分析：(1)根据正方形的性质可得AB=AD, AE=AG, Z BAD=Z EAG=90 ,再求出 / BAE=Z DAG,然后利用 边角边”证明 ABE和4ADG全等，根据全等三角形对应边相等 证明即可.(2)当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可1(3)根据求解5 A HEG = 5 k AEG =尹正方无？lAFt；二16即可.试题解析：(1)如图2,二四边形ABCD是正方形，AB=AD, / BAE+/ EAD=90 .四边形 AEFG是正方形，AE=AG, / EAD+Z DAG=90 :/ BAE=Z DAG.ABEAADG (SAS .BE=DG.(2)如图，当点 C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时/FCD的度 数为45°或135°.(3)如图3,连接GR GE.由已知 a =45；可知