复变函数ch2解析函数

1、目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数000()()limzf zzf zz 00d()d|z zwfzz0,zzD 若极限此极限值称为f (z) 在z0的导数, 记作设函数 在区域 D 有定义，0,zD( )wf z存在, 则称 f (z) 在 z0 可导,000()()lim.zf zzf zz 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数( )nf zznnNnN求函数的 导数.0()( )limnnzzzzfzz 1210(1)lim()2nnnzn nnzzzz 1nnz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数1) 其中C为复常数.

2、( )0,C 2) 其中n为正整数.1(),nnznz 3) ( )( )( )( ).f zg zfzg z4) ( ) ( )( ) ( )( )( ).f z g zfz g zf z g z2( )1 ( )( )( )( ),( )0( )( )f zg z fzf z g zg zg zgz5)目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数1( ),( )fzw ( )( )( ),f g zfw g z其中( ),( )wf z zw是两个互为反函数的单值函数，且( )0.w( ).wg z其中6)7)目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数0lim

3、()0,zz 设函数 w = f (z)在 z0 可导, 则有000()()()(),wf zzf zfzzzz 其中称 为函数 w=f (z) 在点 z0 的微分, 记作0()fzz00d()()dwfzzfzz |0dd)(zzzwzf目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数定义定义如果函数 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导, 则称f (z)在 z0 解析, 如果 f (z) 在区域 D 内每一点解析, 则称 f (z)在D内解析, 或称 f (z) 是D内的一个解析函数(全纯函数或目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数1) 在区域D内解析的两个

4、函数 f (z)与 g(z) 的和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析.2)设函数 h = g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数w =f (h)在h平面上的区域 G 内解析. 如果对D内的每一个点z, 函数g(z)的对应值 h 都属于G, 则复合函数 w = f g(z)在D内解析.1）所有多项式在复平面内是处处解析的；的点的区域内是解析函数, 使分母为零的点是它的奇点.2）任何一个有理分式函数 在不含分母为零( )( )P zQ z目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数考查 的连续性与解析性.( )f zz( )f zxiy显然处处连续；z+ zzz

5、,zz令zxi y 0000limlimyyxxzxzx 1,0000limlimxxyyzi yzi y 1 ( )f z处处连续，处处不可导.又0limzzz 不存在，目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数u(x,y)、v(x,y) 在点在点 (x,y) 可微可微, ,uvxy定理一定理一( )uvfzixx此时有设函数 在区域D有定义,( )( ,)( ,)f zu x yiv x y则 f (z) 在 D 内一点 可导的充分必要条件是:zxiyuvyx 1uviyy且满足 柯西-黎曼方程(C-R方程)目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数证明：证

6、明：“ ”设在点( )( ,)( ,)f zu x yiv x yzxiyD可导，那么对0,zxi y 有0lim()0,zz ()( )( )(),f zzf zfzzzz 其中()( ),f zzf zui v 令( ),fzaib12(),ziui v 所以()aib()xi y 12()i()xi y 12()a xb yxy 21()i b xa yxy 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数从而12,ua xb yxy 21vb xa yxy 0lim()0,zz 因为100lim0,xy 200lim0,xy 所以( , )x y那么( , ), ( , )u

7、 x y v x y在点可微，,uvaxyuvbyx “ ”设在点( ,), ( ,)u x yv x y( ,)x y可微， 那么有而且满足方程目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数12,uuuxyxyxy 34,vvvxyxyxy 00lim0(1,2,3,4).kxyk 这里所以()( )f zzf zui v 12()uuxyxyxy 34()vvixyxyxy 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数()()uvuvixiyxxyy 1324()()ixiy 由C-R 方程uvyx ,vuyx 所以()( )f zzf z ()()uvixi y

8、xx 1324()()ixiy 或()( )f zzf zzuvixx1324()().xyiizz2,vix目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数1,1,xyzz因为所以0()( )( )limzf zzf zfzz uvixx即在点( )( ,)( ,)f zu x yiv x yzxiyD可导.证毕.注：注： 柯西-黎曼(C-R)方程的及坐标形式：1,uvrr1vurr 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在 D 内可微, 函数 f (z)= u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域D内解析柯西柯西-

9、黎曼方程黎曼方程.并满足目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数求下列函数的导数.3223(1)( )(3)(3)f zxxyix yy22()()(2)( )xyi xyf zxy(1)32233,3uxxyvx yy2233uxyxvy6uxyy vx 从而f (z) 在 z 平面上处处解析，且( )uvfzixx22(33)(6)xyixy目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数(2)22()()(1)( )xiyi xiyi zf zxyzz1 iz所以，除 z = 0 外，f (z) 处处可导， 且( )fz1 iz21(0)izz 目录 上页 下

10、页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数3322(1)( )2f zxyx y i下列何处可导？何处解析？222(2)( )()(2)f zxyxixyy33(1),uxy23,uxx23,uyy 24,vxyx24vx yy222vx y上述偏导在 z 平面上连续，目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数令uvxy30 4xy或 uvyx 30 4yx或由可导的充要条件知，( )f z仅在 及 两点可导，(0,0)3 3( , )4 4从而在 z 平面上处处不解析.目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数令uvxy12y uvyx 22yy 故当且仅当

11、 时，12y C-R条件成立， 所以 仅在直线( )f z上可导，12y 从而在 z 平面上处处不解析.22(2),uxyx21,uxx2 ,uyy 2 ,vyx22vxyy22vxyy目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数例例3 .Constf z ( )若函数 f (z)在D内解析，并满足下列条件之一，则(1)( )0;fz在D内解析；(2)( )f z(3)( )Constf z (4)Re( )Const;f z (5)Im( )Const.f z 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数证明：证明：(1)1( )0;uvuvfzixxiyy0,u

12、vuvxxyy则12,uC vC12( )Constf zCiC目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数又 f (z) 在D内解析，有,uvxyuvyx 0,uvuvxxyy12( )Constf zCiC在 D 内解析,( )f zuiv则有(2),uvxy uvyx目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数(3)( )Constf z 即22Constuv所以0,uvuvxx0uvuvyy式(1)与式(2)平方后相加，并利用C-R方程，有22()()0uuxy(1)(2)0,uvuvxxyy12( )Constf zCiC目录 上页 下页 返回 结束 工程

13、数学工程数学 -复变函数例例4 .( )f zuiv若函数 为一解析函数，且 0( ),fz证明曲线族12( , ), ( , )u x yC v x yC正交.证明：证明：曲线12( , ), ( , )u x yC v x yC在点(x, y)处的法向量分别为：1xynu u (,),2xynv v (,),那么12xxyynnu vu v0yxxyv vv v所以12nn与垂直,也就是曲线族12,uC vC正交.目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数即expxzeArg(exp )2zykexp(cossin)xzeyiy称函数 为指数函数, 记作 ( )(cossi

14、n)xf zeyiyze2) 在复平面内解析, 且exp z(exp )expzz 1) 当Im(z)=0时, , 其中 x = Re(z) expxze12123)expexpexp()zzzz4)expz以 为周期.2 i目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数称满足方程(0)wezz的函数 为对数函数.( )wf z,iwuiv zre则,u iviere所以ln ,ur v因此lnArgwziz对数函数为指数函数的反函数.LnlnArg .zziz记作多值函数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数Ln z的主值主值: ln z = ln|z| +

15、i arg z ln z = ln x, 就是实变数对数函数.1) 当z = x 0时,2012Lnln,(,)zzk ik 2)1212Ln()LnLn,z zzz3)1122Ln()LnLnzzzz分支1(ln ),zz 4) 在除去原点与负实轴的复平面内ln z的各分支处处连续，处处可导，且1(Ln ),zz 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数求下列对数，并写出它们的主值.(1)(1)Ln2;(2)Ln( 1);(3)Ln ; i(4)Ln(34 ).iLn2ln22,0, 1, 2,k i k ln2ln2(2)Ln( 1)ln12,0, 1, 2,ik i k

16、 ln( 1)i(3)Lnln2,0, 1, 2,2iiik i k ln2ii目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数(4)Ln(34 ) iln 34arg(34 )2,0, 1, 2,iiik i k 4ln5arctan2,0, 1, 2,3ik i k 4ln(34 )ln5arctan3ii目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数设a 为不等于0 的一个复数, b 为任意一个复数, bbaaeLnba定义乘幂为2ln(arg)baiake1) 若bn (n为正整数),LnnnaaeaaaeeeLnLnLna aa 2) 若1bn (n为正整数),

17、11Lnannae122lnargarg(cossin)anakakeinn122argarg(cossin)nakakainnna目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数若 为复变数，az称函数 为幂函数.Lnbbzwze1().bbzbz bwz的各个分支在 除去原点与负实轴在复平面内解析,且目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数求下列各式的值.(1)2(1)1 ;1(2)(1).ii(2)212Ln1e2ln1Arg1ie2 2k iecos22sin22 ,0, 1, 2,kikk 1(1)Ln(1)(1)iiiie(1)ln2(2)4iike(l

18、n22)(2ln2)44kike242cos(ln2)sin(ln2)44kei0, 1, 2,k 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数2izizzieesin,2izizzeecos对任意的复数 z , 令zzzsintan,coszzzcoscot,sin1zzsec,cos1zzcsc,sin目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数121212cos()coscossinsinzzzzzz221sincoszz121212sin()sincoscossinzzzzzz1)是全平面的解析函数，且sin ,coszz(sin )cos ,zz (cos

19、 )sinzz 2)sin ,coszz以 为周期，2cos z为偶函数，sin z为奇函数.3)cos()cos chsin shxiyxyixysin()sin chcos shxiyxyixy4)目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数2zzzeech,sh()sh cosch sinxiyxyixy对任意的复数 z , 令2zzzeesh,zzzzzeethee分别称为双曲余弦, 正弦和正切函数.1)是全平面的解析函数，且sh ,chzz(sh )ch ,zz (ch )shzz 2)以 为周期，2 ich z为偶函数，sh z为奇函数.sh ,chzzch()ch

20、cossh sinxiyxyixy3)目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数21ArccosLn()zizz 21ArcsinLn()ziizz 121ArctanLniizziz 21ArshLn()zzz1121ArthLnzzz21ArchLn()zzz反正弦函数反余弦函数反正切函数反双曲正弦函数反双曲余弦函数反双曲正切函数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数求下列各式的值.(1)(1)cos(5 );i(2)Arctan(23 ).icos(5 ) i552iie ee e551(cossin)

21、(cossin)2eiei551( 1)( 1)2eech5 (5 )(5 )2iiiiee目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数(2)11(23 )Arctan(23 )Ln21(23 )iiiiii13Ln25ii 121ln(arctan2)253iki2111ln()arctan,45223ik 0, 1, 2,k 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数0d( )d|z zwfzz000()()lim.zf zzf zz 00d()()dwfzzfzz 函数 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导.目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -复变函数1) u(x,y)、v(x,y) 在点在点 (x,y) 可微可微, ,uvxy( )uvfzixxii) 可导的充分必要条件是:uvyx