抛物线及其标准方程(李用)（课堂PPT）

1、1 2. 2.4 4.1 .1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 234小结：小结：5喷喷 泉泉灯灯卫星接收天线卫星接收天线678抛球运动9复习回顾：复习回顾： 我们知道我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 都可以看作是都可以看作是, ,在平面内与一个在平面内与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的比是的距离的比是常数常数e的点的轨迹的点的轨迹. .MFl0e 1(2) 当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(1)当当0e0) )想一想想一想? 这种坐标这种坐标系下的抛物系下的抛物线方程形式线方程形式怎样怎样? ?)0(22ppyx四种标

2、准方程四种标准方程 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式种形式.16yxoyxoyxoyxo(, 0)2p2px ( (三三) )抛物线的标准方程抛物线的标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准线方程准线方程 标准方程标准方程y2= - -2px(p0)x2=2py(p0)x2= - -2py(p0)y2=2px(p0)2px (,0)2p 0 ,2p 2py 0,2p 2py 17图形图形标准方程标准方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p？焦点在一次

3、项字母对应的坐标轴上. 一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向. 左边都是平方项， 右边都是一次项.18 2.已知抛物线的标准方程是y2 = -6x ，则它的焦点坐标是 ,准线方程是 . 3.已知抛物线的方程是y=6ax2（a0），则它的焦点坐标是 ,准线方程是 . 1(0,)24a124ya3(,0)232x 应用：类题一（由方程求有关量）1.已知抛物线的标准方程是y2 = 6x ，则它的焦点坐标是 ,准线方程是 .3( ,0)232x 感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点: 1.先化为标准方程 2. 判断焦点的位置是一次项系数的14是一次项系数 的相反数14即：准确“定型”19练

4、习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下20 1. 焦点为F（-2，0），则抛物线的标准方程为_. 2. 准线方程是y = -2，则抛物线的标准方程为_. 3.焦点到准线的距离是4,则抛物线的标准方程为_ _.y2=-8xx2=8yy2=8x 、 x2=8y （1）（2）应用：类题二（由有关量求标准方程）感悟 ：1.“定型”“定量

5、”2.如果焦点位置或者开口方向不定则要注意分类讨论.214.4.标准方程中标准方程中p前面的前面的正负号正负号决定抛物线的决定抛物线的开口方开口方向向 1.1.抛物线的定义抛物线的定义: :2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式: :每一对焦点和准线对应一种形式每一对焦点和准线对应一种形式. .3.3.p的几何意义是的几何意义是: :焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离22（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y = 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2

6、）， 求它的标准方程。解：因为，故焦点坐标为（,）准线方程为x=- .3232 1 12解:方程可化为:x =- y,故p=,焦点坐标为(0, -),准线方程为y= .16 1 24 1 242解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x = - 8y223P67P67练习练习1 1：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程 是x = ；41（3）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y242、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)

7、y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =012焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=- -5（0，）18y= - - 188x= 5（- - ，0）58（0，- -2）y=225 思考思考: :M是抛物线是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 x0 + 2pOyxFM这就是抛这就是抛物线的焦物线的焦半径公式半径公式! !263、(1)抛物线抛物线y2 = 2px（p0）上一点）上一点M到焦点的距到焦点的距离是离是a，则点，则

8、点M到准线的距离是到准线的距离是_，点，点M 的横坐标为的横坐标为_ a - 2pOyxFMP67P67练习练习3(1)3(1)a273、(2)抛物线抛物线y2 = 12x上与焦点的距离等于上与焦点的距离等于9的点的的点的坐标为坐标为_ OyxFMP67P67练习练习3(2)3(2)3-328 2. 若抛物线若抛物线y2=8x上一点上一点M到原点的距离等于点到原点的距离等于点M到准线的距离，则点到准线的距离，则点M的坐标是的坐标是_. 29变式练习变式练习: :已知抛物线的焦点在已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点轴上，抛物线上的点M(-3,(-3,m) )到焦点的距离等于到焦点的距离等

9、于5 5，求抛物线的标准方程，求抛物线的标准方程. .解解: :因为是焦点在因为是焦点在 x 轴上且过轴上且过M点的抛物线点的抛物线, ,所以设所以设标准方程为标准方程为由抛物线的定义知由抛物线的定义知 -(-3)=5 -(-3)=5 即即p=4.=4.所以所求抛物线标准方程为所以所求抛物线标准方程为y2 2 = -8= -8xy2=- -2px(p0)2p数形结合数形结合, ,用定义转化条件。用定义转化条件。30 5.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.AOyx当当点点轴轴时时设设抛抛线线为为将将2 2解解：( (1 1) ) 焦焦在在y y正正方方向向，所所求求物物方方程程：x x =

10、 = 2 2p py y( (p p 0 0) )9 9A A（- -3 3，2 2）代代入入方方程程得得：p p = =4 4( (2 2) )当当点点轴轴负负时时设设抛抛线线为为将将2 2焦焦在在x x方方向向，所所求求物物方方程程：y y = = - -2 2p px x( (p p 0 0) )2 2A A（- -3 3，2 2）代代入入方方程程得得：p p = =3 3y所所以以抛抛线线为为或或2 22 2所所求求物物方方程程：x x = = y y = = - -x x9 94 42 23 3感悟：1.待定系数法 2.数形结合 3. 分类讨论应用：类题二（由有关量求标准方程）31o

11、xy4.求焦点在直线3x+4y-12=0上的抛物线的标准方程.应用：类题二（由有关量求标准方程）标准方程对应的抛物线焦点在坐标轴上.分析:解:由3x+4y-12=0令x=0得y=3 令y=0得x=4(0,3)(4,0)抛物线的焦点坐标为或2(0,3),2,362ppyp当焦点为设抛物线的方程为x由得2(4,0),2,482ppxp当焦点为设抛物线的方程为y由得2216 . x抛物线的方程为x =12y或y32例例2 2 点点M与点与点F(4,0)(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线l：x+5=0+5=0的的距离小距离小 1 1，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程. .解：如图解：如图, ,

12、设点设点M的坐标为的坐标为(x, ,y), ,依题意可知依题意可知点点M与点与点F的距离等的距离等于它到直线于它到直线x+4=0的距离的距离，根，根据抛物线的定义，点据抛物线的定义，点M的轨迹是的轨迹是以以F（4, ,0）为焦点的抛物线）为焦点的抛物线.4 , 82pp 焦点在焦点在x轴的正半轴上，轴的正半轴上，点点M的轨迹方程为：的轨迹方程为：y2 2=16=16xllMxOyF33题型一题型一 利用抛物线的定义求方程利用抛物线的定义求方程例例1:若动圆若动圆M与圆与圆C:(x-2)2+y2=1外切外切,又与直线又与直线x+1=0相切相切,则则动圆圆心的轨迹方程是动圆圆心的轨迹方程是( )A

13、.y2=8x B.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x答案答案:A34解析解析:如图所示如图所示,设动圆圆心为设动圆圆心为M(x,y),半径为半径为R,由题设可知定由题设可知定圆圆心为圆圆心为C(2,0),半径半径r=1.两圆外切两圆外切,|MC|=R+1.又动圆又动圆M与已知直线与已知直线x+1=0相切相切,圆心圆心M到直线到直线x+1=0的距离的距离d=R,|MC|=d+1.即动点即动点M到定点到定点C(2,0)的距离等于它到的距离等于它到定直线定直线x+2=0的距离的距离.由抛物线的定义可知点由抛物线的定义可知点M的轨迹为以的轨迹为以C为焦点为焦点,x+2=0为准线的抛物线为准线

14、的抛物线,其方程为其方程为y2=8x.故正确答故正确答案为案为A.35变式训练变式训练1:动点动点P到点到点(3,0)的距离比它到直线的距离比它到直线x=-2的距离大的距离大1,则动点则动点P的轨迹是的轨迹是( )A.椭圆椭圆 B.双曲线双曲线C.双曲线一支双曲线一支 D.抛物线抛物线解析解析:将直线将直线x=-2向左平移一个单位向左平移一个单位,由已知可得动点由已知可得动点P到点到点(3,0)的距离等于到直线的距离等于到直线x=-3的距离的距离.答案答案:D362.抛物线抛物线y2=8x的准线方程是的准线方程是( )A.x=-2 B.x=-4C.y=-2 D.y=-4答案答案:A解析解析:y

15、2=8x=24x,p=4,准线方程为准线方程为2.2px 37.,11.()88.CD23xayy2aA 8B8抛物线的准线方程是则实数 的值为答案答案:B解析解析:x2=ay的准线方程为的准线方程为 ,a=-8.24ay 38111.,0. 0,. 0,.()8,44.BCD24y2xA 1 0抛物线的焦点坐标是答案答案:C1.210,.8:y22y2xx解析 由得焦点坐标为3922222294.239423.,().4.39.2A xyyxyxxyC xyD yx 52 3B顶点在原点 坐标轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是或或答案答案:B40:(, ),()(),(,49),(),2,3

16、249.32pyx 221121222 3x2py p0y2p x p02 322p 392p22pxy解析点在第二象限设抛物线的标准方程为或把代入 得或或故所求的抛物线方程为或416.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称轴对称,顶点在顶点在原点原点,且过点且过点P(2,4),则该抛物线的方程为则该抛物线的方程为_.y2=8x 解析解析:设抛物线方程为设抛物线方程为y2=ax,又抛物线过点又抛物线过点P(2,4),则则16=2a,a=8,y2=8x.427.(2008上海上海,6)若直线若直线ax-y+1=0经过抛物线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点

17、,则则实数实数a=_.-1 解析解析:由由y2=4x得焦点得焦点F(1,0),代入直线方程得代入直线方程得a+1=0.a=-1.4311.(2010福建卷福建卷)以抛物线以抛物线y2=4x的焦点为的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为圆心且过坐标原点的圆的方程为( )A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0解析解析:抛物线抛物线y2=4x的焦点坐标为的焦点坐标为(1,0),圆心坐标为圆心坐标为(1,0),半径半径r=1,圆的方程为圆的方程为(x-1)2+y2=1,即即x2+y2-2x=0.答案答案:D44题型二题型二 求抛物线的标准方程求抛

18、物线的标准方程例例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.分析分析:首先需确定使用哪种标准方程形式首先需确定使用哪种标准方程形式,若无若无法确定法确定,则应讨论则应讨论,然后由条件求然后由条件求p的值的值.451249422,32:( )(, ),()(392,.),ppxxy2211213 2y2px p0 x2p y p03 2y解点在第二象限设抛物线的标准方程为或则由抛物线过解得或所求抛物线方程为或例例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点过点(-3,2);46 (2)令令x=0,由方程由方程x-2y-4=0得得y=

19、-2,当抛物线的焦点为当抛物线的焦点为F(0,-2)时时,设抛物线方程为设抛物线方程为x2=-2py(p0),则由则由 =2得得p=4,所求抛物线方程为所求抛物线方程为x2=-8y.令令y=0,由方程由方程x-2y-4=0得得x=4,当抛物线的焦点为当抛物线的焦点为F(4,0)时时,设抛物线方程为设抛物线方程为y2=2px(p0),则由则由 =4得得p=8,所求抛物线方程为所求抛物线方程为y2=16x.综上综上,所求抛物线方程为所求抛物线方程为x2=-8y或或y2=16x.2p2p例例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=

20、0上上;47 (3)焦点到准线的距离为焦点到准线的距离为 p=所求抛物线方程为所求抛物线方程为:y2=5x或或y2=-5x或或x2=5y或或x2=-5y.规律技巧规律技巧:(1)抛物线的标准方程有四种形状抛物线的标准方程有四种形状,主要看其焦点的主要看其焦点的位置和开口方向位置和开口方向.(2)不知道焦点的具体位置时不知道焦点的具体位置时,标准方程有标准方程有两种一般形式两种一般形式:y2=mx(m0)或或x2=ny(n0).5,25,2例例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.(3)顶点在原点顶点在原点,以坐标轴为对称轴以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为焦点

21、到准线的距离为5,248变式训练变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点过点(3,-4);解解:(1)点点(3,-4)在第四象限在第四象限,设抛物线标准方程为设抛物线标准方程为y2=2px(p0)或或x2=-2p1y(p10).把点把点(3,-4)的坐标分别代入的坐标分别代入y2=2px和和x2=-2p1y,得得(-4)2=2p53,32=-2p15(-4),12169, 2.34169.34pyxy 22px故所求的抛物线方程为或49 (2)令令x=0得得y=-5,令令y=0得得x=-15.抛物线的焦点为抛物线的焦点为(0,-5)或或(

22、-15,0).故所求的抛物线的标准方程为故所求的抛物线的标准方程为x2=-20y或或y2=-60 x.变式训练变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(2)焦点在直线焦点在直线x+3y+15=0上上.501.到定点到定点(3,5)与定直线与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是的距离相等的点的轨迹是( )A.圆圆 B.抛物线抛物线C.线段线段 D.直线直线解析解析:因为定点因为定点(3,5)在直线上在直线上,所以点的轨迹是直线所以点的轨迹是直线.答案答案:D51方法：利用平移方法：利用平移523.动点动点P到点到点A(0,2)(0,2)的

23、距离比到直线的距离比到直线l: :y=-4-4的距离小的距离小2 2，则动点，则动点P的轨迹方程为的轨迹方程为_x2=8y531.抓住标准方程的特点抓住标准方程的特点, ,注意与焦点位置注意与焦点位置, ,开口方向的对应关系开口方向的对应关系; ; 2.抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用定义的恰当运用.54题型三题型三 与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题例例3:已知抛物线已知抛物

24、线x2=4y,点点P是抛物线上的动点是抛物线上的动点,点点A的坐标为的坐标为(12,6).求点求点P到点到点A的距离与点的距离与点P到到x轴的距离之和的最小轴的距离之和的最小值值.提示：利用准线提示：利用准线55分析分析:由定义知由定义知,抛物线上的点抛物线上的点P到焦点到焦点F的距离等于点的距离等于点P到准到准线的距离线的距离d,求求|PA|与点与点P到到x轴的距离之和的最小值轴的距离之和的最小值,转化转化成求成求|PA|+d- 的最小值的最小值.2p56解解:如下图如下图,易判断知点易判断知点A在抛物线外侧在抛物线外侧,设设P(x,y),则则P到到x轴的轴的距离即距离即y值值,设设P到准线

25、到准线y=-1的距离为的距离为d,则则y=d-1.故故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知由抛物线定义知|PF|=d.于是于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由图可知由图可知,当当A P F三点共线时三点共线时,|PA|+|PF|取最小值为取最小值为13.故故所求距离之和的最小值为所求距离之和的最小值为|FA|-1=12.57规律技巧规律技巧:定义是解决问题的基础和灵魂定义是解决问题的基础和灵魂,要善于思考定义和要善于思考定义和应用定义应用定义,本题如果设本题如果设P点坐标为点坐标为(x,y),利用两点间距离公利用两点间距离公式求解式求解,无法得到答案无法得到答案.由抛物线

26、定义可知由抛物线定义可知,|PF|等于等于P点到点到准线的距离准线的距离,当当P A F三点共线时三点共线时,|PA|+|PF|的距离最小的距离最小,这体现了数学中的转化思想这体现了数学中的转化思想.58变式训练变式训练3:(2008辽宁高考辽宁高考)已知点已知点P是抛物线是抛物线y2=2x上的一上的一个动点个动点,则点则点P到点到点(0,2)的距离与的距离与P到该抛物线准线的距离到该抛物线准线的距离之和的最小值为之和的最小值为( )179.3. 5.22ABCD解析解析:由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离到焦点的距离.由

27、图可知由图可知,P点点,(0,2)点和抛物线的焦点点和抛物线的焦点(0.5,0)三点共线时距离之和最小三点共线时距离之和最小.5922117(0)(20).22d所以最小距离答案答案:A601.已知定点已知定点A(3,2)和抛物线和抛物线y2=2x, F是抛物线焦点，是抛物线焦点，试在抛物线上求一点试在抛物线上求一点P,使使 PA与与PF的的 距离之和最小，距离之和最小，并求出这个最小值并求出这个最小值.提示：利用点到直线距离定义及二次函数最值提示：利用点到直线距离定义及二次函数最值提示：利用准线提示：利用准线61题型四题型四 抛物线的应用抛物线的应用例例4:一辆卡车高一辆卡车高3 m,宽宽1

28、.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道欲通过断面为抛物线形的隧道,如下图所示如下图所示,已知拱口已知拱口AB宽恰好是拱高宽恰好是拱高CD的的4倍倍,若拱宽为若拱宽为a m,求能使卡车通过的求能使卡车通过的a的最小整数值的最小整数值.62分析分析:要求拱宽要求拱宽a的最小值的最小值,需建立适当的坐标系需建立适当的坐标系,写出抛物线写出抛物线方程方程,然后利用方程求解然后利用方程求解.632(,),24( ):,2(),2,.42aaaaapp 22yx2py p0BBxay解 以拱顶为原点 拱高所在直线为 轴 建立直角坐标系如上图所示 设抛物线方程为则点 的坐标为由于点 在抛物线上 所以所以 抛物

29、线方程为640.64.0( . , ),.64(,.)344,.yaaaa E 0 8 yEABya12 21aa13将点代入抛物线方程 得所以 点 到拱底的距离为解得取整数的最小值为65规律技巧规律技巧:这是抛物线的应用问题这是抛物线的应用问题.解题时解题时,可画出示意图可画出示意图,帮助帮助理解题意理解题意,转化为数学问题转化为数学问题,作出解答作出解答.66变式训练变式训练4:某河上有座抛物线形拱桥某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶当水面距拱顶5 m时时,水水面宽面宽8 m,一木船宽一木船宽4 m, 高高2 m,载货后木船露在水面上的载货后木船露在水面上的部分高为部分高为 m,问水面上

30、涨到与拱顶相距多少时问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不木船开始不能通航能通航?672162.516:,51655.4,( ,)(),().,.pxy 222yx2py p0A 45x2py p0162p54x4B BB 2 y2yy解 以拱桥的拱顶为坐标原点 拱高所在直线为 轴 建立如图所示的直角坐标系 设抛物线方程为由题意知 点在抛物线上所以所以抛物线方程为设水面上涨到船面两侧与抛物线拱桥接触于 时船开始不能通航 设由于所以所以水面与抛物线拱顶相3|2( ).4ym距答答:水面上涨到与抛物线拱顶相距水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时时,船开始不能通航船开始不能通航.688.(2009海南海南