逻辑斯蒂有限增长模型的改进与实证

1、逻辑斯蒂有限增长模型的改进与实证郑 瑶摘要：本文将经典的逻辑斯蒂有限增长模型改进为具有幂律型增长因子的更一般形式。 对于某些特定的幂律指数值求出了问题的解析解，利用数值方法对于幂律指数值的一般值给出了问题的数值解并与美国普查人口数据进行了比较。本文研究结果表明，由经典逻辑斯蒂方程得到的计算结果与由实际普查人口差异相当大，不能够很好的反映人口增长的趋势，而采用适当具有幂律指数的模型来描述效果更好。关键词：逻辑斯蒂方程，人口增长，微分方程，幂律模型. 1引言20世纪末，世界人口已经达到60亿已上， 到2050年世界人口估计将达到100亿， 届时这些人口的六分之一将生活在发达国家。人口增长问题不仅仅

2、是简单的人口数量问题，更重要的是人口的迅速增长会对人类的福利造成影响，对经济发展造成影响1。自18世纪末马尔萨斯发表了著名的著作人口原理，人口的增长问题越来越引起人们的重视。在仅考虑出生率和死亡率两个因素情况下，设t 时刻人口总数为，设时刻人口总数为 马尔萨斯有限增长模型描述为如下简单微分方程0 (0t p t (t p 2-7kp dtdp= （1） 的解。其中k 为人口增长比例因子（k >0）. 方程（1）的解为， 它预测人口数量随时间按指数增长。当人口数量不大时，马氏模型从一定程度上反映了人口增长规律， 但当人口数量较大时，马氏模型出现较大偏差。19世纪末， 丹麦生物数学家Pier

3、re-Francois Verhulst 将方程（1）改写为(00 (t t k ep t p =p p M r dtdp(=， （2） 0>r 其中M 假定为人口的最大值。方程（2）称为逻辑斯蒂有限增长模型， 其解为( (0000t t rM e p M p Mp t p +=（3） 多年来， 逻辑斯蒂有限增长模型被认为具有相当简单生命史的生物种群模型，如有限空间的培养物中生产的酵母菌，经济学中关于新产品生产量的预测，以及未来人口数量预测。 事实上，人口增长要受到多种因素的影响。仅就出生率和死亡率来讲，出生率受到婴儿死亡率，人们对于避孕的态度及措施，对于堕胎的态度及怀孕期间的健康护理等

4、。死亡率受到卫生设施与公共卫生状况，战争、污染、原料水平、饮食习惯、心理压力和焦虑等的影响等。影响到一个地区人口增长的其他因素还有人口迁移，生存空间的限制，可用水资源及传染病等。1显然，要考虑到更多因素时应该用更复杂的模型来描述。2改进的逻辑斯蒂模型一般来讲，人口增长比例因子参数应该为（）的函数，. 幂律型模型广泛出现在很多自然科学研究和工程实际问题中p M (p M f k =7，本文中我们将方程（1）中的比例因子参数改写为 k ，（r , M , >0 为常数）, 则得到如下改进的微分方程数学模型：(p M r =p p M r dtdp (=， （4） 0>r 当 时即为经典

5、的逻辑斯蒂有限增长模型。当时可以用来描述一些更复杂的有限增长情况。1=1, 0> 下面讨论对增长率情况，由方程（4）两边求二阶导数得到 1( ( ( (11=+=+=p M p M p r p p M rp p M p r p 于是得到+=1Mp (5 上式表明当人口数量达到 (t p +1M 时， 增长率dtdp达到其最大值， 人口增长最快，然后再逐渐递减到零。下面表1 中给出了美国1790年至2000年人口普查数据表1 美国1790年至2000年人口普查数据年份人口年份人口年份人口当时，为了和文2结果进行对比，本文利用美国人口普查总数和美国人口逻辑斯蒂模型系数 r ， 对于不同的幂律

6、指数，数值求解改进的逻辑斯蒂有限增长模型（4）得到该模型所描述的增长规律，并利用美国普查人口数进行实证， 如图1所示。M p <10105887. 1×2 本文将经典的逻辑斯蒂有限增长模型改进为具有幂律型增长因子的更一般形式。 对于某些特定的幂律指数值求出了问题的解析解，并利用数值方法对于的一般值给出了问题的数值解。本文研究结果表明，由经典逻辑斯蒂方程得到的计算结果及相应曲线与由实际普查人口得到的曲线差异相当大，并不能够很好的反映人口增长的趋势。采用适当具有幂律指数型的模型来描述效果更好。参考文献：1. 于同申：发展经济学M，北京，中国人民大学出版社， 2002年，第75-96

7、页。美Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, and William P. Fox, 数学建模（A first course in mathematical modeling原书第三板）M, 叶其孝，姜启源等（译），北京，机械工业出版社，2005年，第296-308页。2. Levins, R. The strategy of model building in population biology J, Americanscientist,1966, 54, pp.421-4313. Verhulst, P. F. Recherches mathém

8、atiques sur la loi d'accroissement de lapopulationJ, Nouv. mém. de l'Academie Royale des Sci. et Belles-Lettres deBruxelles , 1845, 18, pp.1-41.4. Verhulst, P.F. Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la populationJ, M ém.3de l'Academie Royale des Sci., de

9、s Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, 1847, 20, 1-32.5. 杨启帆：数学建模M，北京，高等教育出版社，2005年， 第50-90页。6. Frauenthal, James C. Introduction to population modelingM, Lexington,Ma:Comap,1979.The improvement and test for the logisticpopulation growth equationYao-ZhengSchool of Economics, University of Renmin,

10、Beijing 100080Abstract. The classical logistic equation is generalized to a new model with power law exponent to the rate of growth of the population and the solutions are presented. A comparing is made with American population, the results indicated that the American population is affected strongly by the power law expon