椭圆的参数方程（课堂PPT）

1、椭圆的参数方程椭圆的参数方程222xyrcos()sinxryr为参数圆的参数方程圆的参数方程圆的标准方程圆的标准方程复习回顾：复习回顾：22020)()(ryyxx为参数）( ,sincos00ryyrxx参数参数方程方程普通普通方程方程消去参数消去参数代入参数关系代入参数关系例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过点点A作作ANOX，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程

2、的轨迹参数方程. OAMxyNB分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系. 设设XOA=例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过点点A作作ANOX，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M轨迹的参数方程轨迹的参数方程. OAMxyNB

3、解：解：设设XOA=, M(x, y), 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即为即为点点M M的轨迹的轨迹参数方程参数方程. .)( 为参数为参数 消去参数得消去参数得: :,bya12222x即为即为点点M M轨迹的轨迹的普通普通方程方程. .cossinxayb几何画板展示轨迹几何画板展示轨迹2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分分别是椭圆的长半轴长和短半轴长别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab另外另外, 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数的取值范围是的取值范围是0,2 )1 .参数方程参数方程 是椭圆的是椭圆的

4、参数方程参数方程.cosxasinyb( 是参数是参数)cosX()sinxayb焦点在 轴为参数cosY()sinxbya焦点在 轴为参数OAMxyNB知识归纳知识归纳椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :12222byaxxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数 的几何意义的几何意义: :是是AOX= ,不是不是MOX=.cosxasinyb( 是参数是参数)【练习练习1】1、把下列普通方程化为参数方程把

5、下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2264100(4)1yx22925(3)1yx3cos8cos(3)() (4)()5sin10sinxxyy是参数是参数2cos(1)()3sinxy为参数cos(2)()4sinxy为参数2、已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是参数是参数) ，则此椭圆的长轴长为则此椭圆的长轴长为 ,短轴长为短轴长为 ，焦点坐标是，焦点坐标是 ,离心率是离心率是 。2cos sinxy4232( , 0)33、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和

6、B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是（两点的线段的中点轨迹是（ ） A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29422yx例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆4x2+9y2=36上求一点上求一点M ，使点，使点M到到直线直线 l：x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离的距离最小，并求出最小距离.xyOM小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点 的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。分

7、析分析2：分析分析3：分析分析1：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，至首次与椭圆相切，切点到直线的距离即为所求切点到直线的距离即为所求.23(4, )2Myy设23|4210|25yyd则(3cos ,2sin )M设|3cos4sin10|5d则O练习练习2:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yxO练习练习2:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆

8、弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx(3cos,2sin) (0)2P解：设点,AOBAPBSS面积一定 需求最大即可PAB即求点 到线的距离最大值1236032xyABxy 线的方程为22|6cos6sin6|6|2sin() 1|41323d,4d所以当时有最大值，面积最大.3 2(,2)2P此时 的坐标为O练习练习2:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yxO解：解：(3cos

9、,2sin) (0)2P设点3(cossin)3 2sin()4OAPBOAPOBPSSS3 2,(, 2)42OABPSP当时的面积最大，此时 的坐标为11=2 3cos3 2sin22 O练习练习2:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yxO003 2(,)/ /(3,3),(, 2)322OABPxySP当时的面积最大，此时 的坐标为0011=2322xy OAPBOAPOBPSSS解：解：220000(,)194xyP xy设

10、点00(,) (3,3)32xy222200333 294xy22214 cos2 sin3cos0,()_xyxy、已知圆的方程为为参数 ，那么圆心的轨迹的普通方程为巩固练习巩固练习14)(sincos21)sin()cos2(0cos3sin2cos42222222yxyxyxyxyx化为普通方程是为参数所以圆心的参数方程为可以化为解：方程2、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值 3、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20cos,16sin2016sincos160sin 2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX小结小结：椭圆的参数方程：cossinxayb（为参数）表明分别是椭圆的长轴长与短轴长，且焦点在轴上，参数是椭圆的离心角，不是旋转