一般数列求前n项和

1、第1页 共 64 页第三十五讲第三十五讲 一般数列求前一般数列求前n项和项和第2页 共 64 页教材知识整合教材知识整合回归教材回归教材第3页 共 64 页数列的求和方法有数列的求和方法有:1.公式法公式法:若数列为等差数列或等比数列若数列为等差数列或等比数列,利用等差或等比数利用等差或等比数列的前列的前n项和公式项和公式,特别地特别地,直接用等比数列的公式求和时直接用等比数列的公式求和时,要注意对公比要注意对公比q分分q=1和和q1两种情况进行讨论两种情况进行讨论.2.倒序相加法倒序相加法:如果一个数列如果一个数列an与首末两项等距离的两项之与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和和等于首

2、末两项之和.可采用把正着写和倒着写的两个式可采用把正着写和倒着写的两个式子相加子相加,就得到一个常数列的和就得到一个常数列的和,进而求出数列的前进而求出数列的前n项和项和.第4页 共 64 页3.错位相减法错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成等比数列对应项乘积组成,此时可把式子此时可把式子Sn=a1+a2+an,两边同乘以公比两边同乘以公比q,两式错位相减整理可得两式错位相减整理可得Sn.4.拆项求和法拆项求和法:把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合组合,使其转化成等差

3、数列或等比数列使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差然后由等差 等比等比数列求和公式求解数列求和公式求解.第5页 共 64 页5.:,11 11,(),:11()n nkknnknknknnkn裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 在求和时一些正负项相互抵消 于是前 项和变成首尾若干少数项之和常用的技巧有 6.分组求和分组求和:在求数列的前在求数列的前n项和时项和时,如果一个数列的项是正负如果一个数列的项是正负交错交错,或周期数列求和或周期数列求和,可以将相邻的两项或几项合并可以将相邻的两项或几项合并,周期数周期数列先求一个周期的和列先求一个周期的和,再利用其它相关方法进行求和再利用其它相关

4、方法进行求和.第6页 共 64 页基础自测基础自测1.等比数列等比数列an中中,a1=2,前前n项和为项和为Sn,若数列若数列an+1也是等比也是等比数列数列,则则Sn等于等于( )A.2n+1-2 B.3nC.2n D.3n-1解析解析:an是等比数列是等比数列,an+1也是等比数列也是等比数列,设数列设数列an的公比为的公比为q,则则a2=2q,a3=2q2,且且(2q+1)2=(2+1)(2q2+1),解得解得q=1,故故Sn=2n.答案答案:C第7页 共 64 页2.各项均不为各项均不为0的等差数列的等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若an+1- +an-1=0(n2),则则S

5、2n-1-4n等于等于( )A.-2 B.0C.1 D.2解析解析:an是等差数列是等差数列,2an=an+1+an-1(n2),2an- =0,各项均不为各项均不为0,an=2,S2n-1-4n=2(2n-1)-4n=-2.答案答案:A2na2na第8页 共 64 页 49*1141011,811.2.22211.2.3.(),1,12220nAaBaaCDnN在等比数列中 若则该数列的前项和为141010911,8211122.1212:1,Saaq解析 由可得公比答案答案:B第9页 共 64 页 4710311344.(2009)( )22222(),( )22.77(81)(822.1

6、)(81)17(8)7nnnnnf nnABDnCfN启东模拟 设则等于14311:( )2221,( )(81)2(1 8).21 87nnnf nnf n解析为等比数列的前项的和答案答案:B第10页 共 64 页 51,(1)5.1.615.S ,1.6S30nnnn nABCDana 数列的前 项和为若则等于5111,(1)1111111111151.22334455666:S1nn nnan 解析答案答案:B第11页 共 64 页重点难点突破重点难点突破题型一题型一公式法公式法【例【例1】 (2010福州高三质检福州高三质检)已知等差数列已知等差数列an满足满足a2=2,a5=8.(1

7、)求数列求数列an的通项公式和它的前的通项公式和它的前n项和项和Sn;(2)设各项均为正数的等比数列设各项均为正数的等比数列bn的前的前n项和为项和为Tn,若若b3=a3,T3=7,求求Tn.第12页 共 64 页解解 (1)设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,a2=2,a5=8,d= =2,a1=0,an=2n-2,Sn= =n(n-1).5252aa(022)2nn第13页 共 64 页 (2)设各项均为正数的等比数列设各项均为正数的等比数列bn的公比为的公比为q(q0).由由(1)可知可知a3=4,b3=4,又又T3=7,2111111239124,(),13,221,21.2Tnn

8、nnnqqbqbqbbbb 或舍去第14页 共 64 页点评点评 对于等差数列和等比数列求和对于等差数列和等比数列求和,可直接利用它们的求可直接利用它们的求和公式和公式,但利用等比数列求和公式求和时需注意公比但利用等比数列求和公式求和时需注意公比q是否是否为为1.第15页 共 64 页变式变式1:设等差数列设等差数列an的前的前n项和项和Sn,等比数列等比数列bn的前的前n项和项和为为Tn,已知已知a1=b1=1,a2b2=1,S3T3=13,求求Sn和和Tn.解解:设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d,等比数列等比数列bn的公比为的公比为q,由由a2b2=1,S3T3=13,11111

9、312(1)13,122,31()1,(33 )(1)1,1,(33 )(1)13,3.3ad bqaddbqqdqabd qqdqq 可得或第16页 共 64 页212131;2,S,T3322 32431,32,S,.3nnnnnndqnTdnnq当时当时第17页 共 64 页题型二题型二并项法并项法【例【例2】 已知数列已知数列an满足递推公式满足递推公式an-an-1=2n-1(n2),且且a1=1.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)若若bn=(-1)nan,求数列求数列bn的前的前n项和为项和为Tn.第18页 共 64 页 解解 (1)由由an-an-1=2n-1(n

10、2),可得可得a2-a1=3,a3-a2=5,an-an-1=2n-1,上面上面n-1个式子累加得个式子累加得an-a1= =n2-1,a1=1,an=n2.(1)(321)2nn第19页 共 64 页 (2)bn=(-1)nn2,Tn=-1+22-32+42+(-1)nn2,当当n为偶数时为偶数时,Tn=(-1+22)+(-32+42)+-(n-1)2+n2=1+2+3+4+(n-1)+n=当当n为奇数时为奇数时,Tn=Tn-1-n2=综上所述综上所述,Tn=(-1)n(1).2n n2(1)(1).22nnn nn (1).2n n第20页 共 64 页变式变式2:已知数列已知数列an的前

11、的前n项和项和Sn=2n-1,bn=(-1)nlog2an+1,求数求数列列bn的前的前n项和为项和为Tn.解解:Sn=2n-1,an+1=Sn+1-Sn=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,bn=(-1)nlog2an+1=(-1)nn,Tn=-1+2-3+4+(-1)nn,当当n为偶数时为偶数时,Tn=(-1+2)+(-3+4)+(n-1+n)=,2n第21页 共 64 页111,22,TT,T.1,2,2nnnnnnnnnnnn当 为奇数时为奇数综上所述为偶数第22页 共 64 页题型三题型三错位相减法错位相减法【例【例3】 (2009福建福州八中模拟福建福州八中模拟)已知数列已知数列

12、an中中,a1=1,a2=3,且且2an+1=an+2+an(nN+),数列数列bn的前的前n项和为项和为Sn,其中其中b1= ,bn+1= Sn,(nN+).(1)求数列求数列an和和bn的通项公式的通项公式;(2)若若Tn= 求求Tn的表达式的表达式.32231212,nnaaabbb第23页 共 64 页 1221111121221 12,2,21,S ,2,S,223321332,21,333,S133221,1nnnnnnnnnnnnnnnnaaaadaaanbnbbbbbbbbbbnn 解数列是等差数列公差当 时则又第24页 共 64 页 11122101212222,(21) 3

13、,1,T2,T3 35 37 312,3(21) 3,3223nnnnnnnnababaaabbnnnbn 时当时当 时第25页 共 64 页设设T=330+531+(2n-1)3n-2,则则3T=331+532+(2n-3)3n-2+(2n-1)3n-1,-2T=330+2(31+32+3n-2)-(2n-1)3n-1=3+2 -(2n-1)3n-1=3-3+3n-1-(2n-1)3n-1=(2-2n)3n-1.23(1 3)1 3n第26页 共 64 页1111T(1) 3,T(1) 3,1,(1)2322,33233T(1) 3.nnnnnnnnnnn即又当时第27页 共 64 页 点评

14、点评 对于等差对于等差等比的类型求前等比的类型求前n项和时项和时,主要应用错位主要应用错位相减相减,由于此题由于此题bn为分段的形式为分段的形式,故求数列故求数列 的前的前n项项和时应分情况讨论和时应分情况讨论.nnab第28页 共 64 页变式变式3:(2010山东潍坊高三教学质量抽样监测山东潍坊高三教学质量抽样监测)已知数列已知数列an是首项是首项a1=1的等比数列的等比数列,且且an0,bn是首项为是首项为1的等差的等差数列数列,又又a5+b3=21,a3+b5=13.(1)求数列求数列an和和bn的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列 的前的前n项和项和Sn.2nnba第29页 共

15、64 页解解:(1)设数列设数列an的公比为的公比为q,数列数列bn的公差为的公差为d,由已知得由已知得解得解得d=2,q=2或或q=-2(舍去舍去),an=2n-1,bn=2n-1.421221,1413,qdqd 第30页 共 64 页 231234123121121,221352321,2222211352321,2222221122221,222222111112121SSS,222222nnnnnnnnnnnnnnnbnannnnSnn由可知上面两式相减得第31页 共 64 页1111S11111211121221,122222213223.2nnnnnnnnSnn 第32页 共 6

16、4 页题型四题型四裂项相消法裂项相消法 *12(1),214 (20103),S ,S.1:;,2,T .2Tnnnnnnnnnnnannabbbba aSN【例 】济南 月高三模拟考试 已知数列的各项均为正数 前 项和为且求证 数列是等差数列设求第33页 共 64 页 11111112121111 1:1,1.SS(2),:2(2),()(1)0(2),0,1(2),(1),2(1),2(1)21,1.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaanaaanaaaanaaanaa aa aaaaa解证明 当时上面两式相减得即是首项为 公差为 的等差数列第34页 共 64 页 (1),2111,

17、(1)11111111122321,34111.1S1Tnnnnn nn nnnnnbnannn 由可知第35页 共 64 页点评点评 如果数列的通项公式可转化为如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式的形式,常采常采用裂项相消法求和用裂项相消法求和,特别地特别地,当数列形如当数列形如 且数列且数列an为等差数列时为等差数列时,可用此法可用此法.注意使用裂项相消时一定要注意使用裂项相消时一定要找好规律找好规律,看清消去了哪些项看清消去了哪些项,保留了哪些项保留了哪些项,实际上实际上,裂项相裂项相消前后对称消前后对称,即前后剩余的项一样多即前后剩余的项一样多,在解题时要抓住这一在解

18、题时要抓住这一特点特点.11nna a第36页 共 64 页变式变式4:已知数列已知数列an中中,a1=3,a2=5,其前其前n项和项和Sn满足满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n3),令令bn=(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)若若f(x)=2x-1,求证求证:b1f(1)+b2f(2)+bnf(n)0),且满足且满足a2a5=55,a4+a6=22.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)若数列若数列bn的前的前n项和为项和为an,数列数列bn和数列和数列cn满足满足:bn= ,求数列求数列cn的前的前n项和项和Sn.2nnc第53页 共 64 页解解:(

19、1)an是等差数列是等差数列,a4+a6=2a5=22,a5=11,a2a5=55,a2=5,d=an=a2+(n-2)d=2n+1.522,52aa第54页 共 64 页 1111 2(21)(21)2(2),3,1,3,2,2.6,1,2 ,2,2.nnnnnnnnnbaannnnbabnncbcn从而当从而当n2时时,Sn=6+23+24+2n+1=2n+2-2,当当n=1时时,S1=6也满足上式也满足上式,Sn=2n+2-2.第55页 共 64 页2.(2010山东潍坊市高三质量监测山东潍坊市高三质量监测)已知数列已知数列an的各项均的各项均为正数为正数,其前其前n项和为项和为Sn,满

20、足满足(p-1)Sn=p2-an,其中其中p为正常数为正常数,且且p1.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)设设bn= (nN*),数列数列bnbn+2的前的前n项和为项和为Tn,求求证证:Tn12pnlog a3.4第56页 共 64 页 2111221111112: 11,(1),.(1)S(1)S(1),.111nnnnnnnnnnnnnnpapaapppappapaaaappaapappp解当时解得由得是首项为公比为的等比数列第57页 共 64 页 21 322243 51111,222(2)11 11,(2)22111111111232435211 2:T1131.22124npnnnpnnnnlog albb bbbb bb bbog pnnn nnnnnnbn证明第5