概率论及数理统计第7讲

1、112.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布22给定一个实函数g(x)，因为我们知道随机变量X其实是试验结果的函数X(w)，将这个函数代入到g(x)中得到的复合函数gX(w)也是一个随机变量，通常就直接写为g(X)，经常需要在已经知道X的分布的情况下求出g(X)的分布。33当然，这个实函数g(x)也不能够过于古怪，它必须是实变函数理论里规定的可测函数，就是说，它能够保证在x上的所有可测集合也被映射到可测集合。当然对于实际应用来说相信一般都不会遇到稀奇古怪的不可测函数的。44在实际应用中随机变量的函数是经常遇到的，例如，在一堆圆形零件中任取一个零件测量其直径X，它是一个随机变量，则相应的零件

2、的周长为Y=X也是一个随机变量，且是X的函数。我们关心的是，在已知随机变量X的分布之后，怎样算出它的函数Y=g(X)的分布。下面讨论几种情况。55一一. 常函数常函数66常函数常函数就是不管自变量取什么值，函数值总是常数的函数，g(x)=a，当然也就有，对于任何随机变量，Y=g(X)=a，前面已经讲过常数也可以视为一种随机变量，就是怎么试验总还是这个值，称之为单点分布，因此Y的概率密度函数fY(y)就是d(y-a)。77而实际应用中还常有g(x)是分不同的区域取不同的常数的函数。在这种情况下不管原来的X是什么类型的随机变量，Y=g(X)都是离散型的随机变量。88这里面最常用的就是g(X)将X的

3、某一个事件A发生所对应的区域映射到1，区域外的点都映射到0，这样Y=g(X)就服从0-1分布，Y=1的概率就是P(A)。这也是研究一个随机变量最常用的办法之一。99再比如，假设X服从在0,1区间内的均匀分布，我们前面知道了现在许多计算机程序还有电子表格产品及计算器都有产生0,1分布的随机数的功能，则只要规定当X0.5时Y=1否则Y=0，我们就可以在计算机上模拟掷硬币试验了。而如果将0,1区间分为六等分，每一个区间返回的函数值分别为1,2,3,4,5,6，我们就可以在计算机上模拟掷骰子试验了。1010这种函数还有可能产生出一些古怪的情况，例如，假设X服从在0,1区间上的均匀分布，我们如下定义一个

4、函数g(x):这样产生的Y=g(X)服从0-1分布，但是我们知道X恰好等于0.5是一个概率为0的可能事件，这就导致了PY=1=1，但是Y=1却不是必然事件.1,0.5( )0,0.5xg xx1111因此后面我们经常会看到概率论中有某某随机变量以概率1取某个常数值a的说法，而且其分布函数与单点分布的分布函数根本没有什么区别，在实际应用中，经常就粗糙地认为这个随机变量就是常数a，但是当我们讲究数学的严格性的时候，经常需要把话说得严格一些。1212二二. 线性函数线性函数1313线性函数线性函数具有形式g(x)=ax+b，a和b都是常数。如果a等于0则g(x)是常函数上面已经分析过了，Y=g(X)

5、=b是单点分布。下面假设a不等于0。1414g(X)=aX+b (a0)先讨论一个特殊的情况就是a=1, b=0，即g(x)=x，因此有Y=g(X)=X，这时当然Y的分布和X的分布完全一样。但是在这里先举例提一个怪函数以说明一些概率论的术语的由来。假设X服从在0,1区间上的均匀分布，而g(x)定义如下：,0.5( )100,0.5xxg xx1515假设X服从在0,1区间上的均匀分布，而g(x)定义如下：这么一来，Y=g(X)基本上都等于X，除了当X取值为0.5时，Y取值为100，也就是说事件Y=100=X=0.5，但是这是一个0概率的可能事件。因此，Y的分布函数与X的完全一样，从分布函数是看

6、不出两个随机变量的分布有任何的不同。,0.5( )100,0.5xxg xx1616假设X服从在0,1区间上的均匀分布，而g(x)定义如下：Y=g(X)虽然PX=Y=1，但是严格说来XY。这在概率论上称之为X以概率以概率1等于等于Y，或者也可以说X几乎等于几乎等于Y。,0.5( )100,0.5xxg xx1717X几乎等于几乎等于Y因此后面如果我们见到这样的术语不要困惑。当然，对于实际应用来说，是不会有这样的怪里怪气的函数的，这也是为的数学上的说法更严格。而在工程学上对这种情况干脆就粗糙地认为X就等于Y也是可以的。1818而且我们也知道不同的随机变量有可能分布函数仍然相同，例如在0,1闭区间

7、均匀分布和在(0,1)开区间上均匀分布的分布函数没有一点差别，这说明了分布函数不能够区分随机变量之间的细微的差别。1919再假设g(x)=2x，则Yg(X)=2X，因此事件aXb就等于事件2aY2b，可想而知Y的概率密度值是X的概率密度值的一半，但是变胖了一倍了，即11( )22YXfyfy2020而如果Y-2X呢，这时不仅概率密度值是原来的一半，且方向也反转了，即这时11( )22YXfyfy-2121现在考虑a=1, b不为0的情况，这时候Y=X+b, 因此所有的X发生的事件对Y来说都平移了一个距离b，因此有fY(y)=fX(y-b)(2.29)因此对于更一般的情况，当Y=aX+b, (a

8、0), 不难得到下式成立：1( )2.30|YXybfyfaa-（）2222三三. 单调函数单调函数2323考虑g(x)是单调函数的情况。其实也不必是在整个实数区间都单调，只要在随机变量X的可能取值的范围内单调就行。例如，函数sin x不是单调函数，但是如果随机变量X只在 的区间内取值，在此区间外为不可能事件，则也可以适用于本节的讨论。,2 2 -2424在下面的讨论中都假设X的可能取值的范围是在区间a,b内，而g(x)在此区间内单调，我们先假设g(x)单调增的情况，就是说，任给两个数x1g(x1)2525然后令c=g(a), d=g(b), 则令Y=g(X)，则因为X的可能取值的范围在a,b

9、内，则Y的可能取值就在c,d内，注意a,c都有可能是负无穷大，而b,d都有可能是正无穷大，而分析的一开始就应当将a,b,c,d四个数弄清楚，则必须确定Y落在区间c,d之外是不可能事件，因此相应的概率密度等于0。下面就重点讨论当Y在区间c,d里的时候，它的概率密度应当是怎样的。2626此外，本节只讨论X是连续型随机变量的情况，就是说取每一个具体实数的概率都是0，概率密度中不包括冲击分量。假设X和Y的概率密度函数分别为fX(x), fY(y)。2727因为g(x)是单调函数，因此在区间a,b内存在反函数h(y)，下面假设g(x)和h(y)都可导，但是实际上只需要分段可导就行。而且实变函数理论已经证

10、明了单调函数是几乎处处可导的，就是说不可导的地方只有离散的一些点。因此由Y=g(X)也可得X=h(Y)。2828由Y=g(X)也可得X=h(Y)。因此根据定义 2.3，在Y的取值范围内的概率密度为：000( )lim ( )()lim ( )dlimYyyXyP yYyyfyyP h yXh yyyfh yxy 2929由于 ，最后可得fY(y)=h(y)fXh(y)(2.31)d( )dxh yy3030上面是g(x)为单调增函数的情况，下面讨论g(x)是单调减函数的情况，这时任给两个数x1x2，必有g(x2)g(x1)，因此对于Y=g(X)，则X在区间a,b取值仍然导致Y在c,d取值，只不

11、过这时c=g(b), d=g(a)。g(x)同样有反函数h(y)，因此由Y=g(X)可得X=h(Y)。因此按上面的方法得Y在取值范围内概率密度为：3131最后得fY(y)-h(y)fXh(y)(2.32)000( )lim ()( )lim ( )( d )limYyyXyP yYyyfyyP h yyXh yyfh yxy -3232最后得fY(y)-h(y)fXh(y)(2.32)当然，因为g(x)是单调减函数所以h(y)也是单调减函数因此h(y)0，因此上式中的-h(y)总是正数。因此经常就是针对单调函数，不管是单调增还是单调减，式(2.31)和式(2.32)可以合并写成fY(y)|h(

12、y)|fXh(y)3333fY(y)|h(y)|fXh(y)但是不应当忘记这个公式只是在Y的取值范围c,d内成立，因此总的来说Y的概率密度由下式表示：( ) |( )| ( )in( ; , )|( )| ( ),(2.33)0,YXXfyh yfh yy c dh yfh ycyd其他3434例例 2.7随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，Y=eX，求Y的概率密度函数。解解 因为X在区间(0,1)内取值，Y在区间(1,e)取值。ex的反函数为ln y, 且 ，X的概率密度为fX(x)=in(x;0,1)，在它的取值范围(0,1)内是常数1，因此将ln y代入仍然是常数1，将这些条件代入式(

13、2.33)得1(ln )yy 1,1e1( )in( ;1,e)0,Yyyfyyy其他3535顺便讲一下混合型随机变量的情况，就是说随机变量X在某一些实数值上的概率不为0的情况，反映到概率密度函数就是在某一些数值上存在着冲击，比如说，PX=3这一点存在一个概率值为0.2的冲击，0.2d(x-3), 但是事件X=3等于事件Y=g(3), 既然这两个事件是一样的，因此必然在Y的概率密度函数的g(3)处存在一个冲击0.2d(y-g(3), 这个冲击值是一样的都是0.2。3636但是公式前面乘了一个数|h?(y)|按说是改变了冲击值，为什么冲击值不变呢？因为fXh(y)依靠着自变量的复合操作h(y)将

14、坐标压缩了h?(y)倍，因此一来二去的恰好冲击值不变，我们只能够这样理解。但是也可以不去理解，只要记住X取某个值的概率等于Y取某个相应值的概率就行了。3737四四. 一般函数一般函数3838研究了单调函数的情况之后再研究一般函数的情况，当然这一般函数也不能够过于稀奇古怪，至少必须是分段连续的，对于实际的大多数情况确实是这样的。3939任何一般的函数都可以划分为在一些区间上单调或者取常数的。如果在X的可能的取值范围内的某个区间g(x)取常数将导致Y=g(X)产生出概率不为0的离散值，导致Y不可能是连续型随机变量。这在前面已经讨论过。因此下面我们只讨论X和Y都是连续型随机变量的情况.4040这时g

15、(x)可以划分为n个左开右闭区间，(a1,b1, (a2,b2, , (an,bn，在这每一个区间上g(x)都是单调函数，因此都存在反函数设为h1(y), h2(y),hn(y), 此外，函数g(x)将x轴上的这n个区间分别映射到y轴上的区间(c1,d1, (c2,d2, , (cn,dn， 这些区间有可能是重叠的。设随机事件Ai=aiXbi，(i=1,2,n)，因此可以将X按这些区间条件切割成n个条件随机变量X1,X2,Xn，4141因此可以将X按这些区间条件切割成n个条件随机变量X1,X2,Xn，它们的条件概率密度函数(是指按不同的区间作为条件)分别记为f1(x),f2(x),fn(x)。

16、其中1( )( )in( ;, )(1,2, )()(2.34)iXiiif xfxx a binP A4242注意到Y=g(X)，所以事件Ai发生也导致ciYdi发生, (i=1,2,n)。因此在Ai条件下条件随机变量Yi=g(Xi)的条件概率密度函数可以直接套用式(2.33)得1( )( )in( ;, ) (1,2, )()(2.34)iiiif xf xx a binP A( ) |( )| ( )in( ; ,)(1,2, )(2.35)iYiiiiifyh yf h yy c din4343令随机事件B=Yy并根据A1,An作为划分用全概率公式计算P(B)即求出Y的分布函数为11(

17、 )( )() (|)() (|)YnnFyP BP A P B AP A P B A1|( )| ( )in( ; ,)dnyiiiiiih tf h tt c dt-1|( )| ( )in( ;,)dnyiXiiiih tfh tt c dt-4444对上式两边求导并利用积分上限作为函数自变量的导数的性质，我们可得到Y的概率密度函数为：1( )|( )| ( )in( ;,)dnyYiXiiiiFyh tfh tt c dt-1( )|( )| ( )in( ; ,) (2.36)nYiXiiiifyhyfh yy c d45例例 2.8设随机变量X的概率密度为fX(x), 随机变量Y=X2, 求Y的概率密度fY(y)。解解 根据题意Y=g(X), 其中g(x)=x2在整个x轴上有