[1-1]常利率下特殊双险种风险模型的破产赤字

1、常利率下特殊双险种风险模型的破产赤字乔克林,侯致武,李萍(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)摘 要 讨论了常利率下的保费为复合计数过程且同时可能出现两类索赔的特殊双险种风险模型,利用递归方法给出该模型下破产赤字分布满足的关系式,并获得其破产赤字分布函数所满足的积分方程.关键词 利率;双险种;破产概率;赤字分布中图分类号 O211.9 文献标识码: A 1. 引 言保险数学又称精算数学,主要研究商业保险运营的各种随机风险模型.风险理论作为保险精算数学的一部分,主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率、调节系数和破产赤字分布等精算指标,是当前精算与数学研究的热门课题.

2、经典的风险模型及其推广模型为保险公司正常稳健的运行提供了理论基础,但是随着保险公司经营规模的不断扩大和新险种的开发及险种经营日益多元化,出现了保费及保费收取时刻都不固定的保险产品;同时出现了保险公司在同一保险事故发生时可能面临多个风险的情况;在保险实务中,保险公司的盈余大多来自投资的收入,市场的利率也对保险公司的经营决策有一定的影响,所以考虑利率、保费为一复合随机过程且多险种的风险模型更具有实用价值,使得风险理论研究内容和结果更加丰富多彩.文献1和2研究了常利率下的复合泊松风险模型,但属于单险种风险模型;文献3和4考虑了常利率下多险种风险模型,但其保费及保费收取都是固定的;文献5研究了带息力但

3、保费固定的更新风险模型下的破产赤字分布;我们在文献6和7中综合考虑了利率因素、保费率不固定和双险种的特殊风险模型,并且研究了其破产概率、生存概率和破产概率上界等常见精算量;本文在文献6的模型下接着讨论了破产理论的另一个精算指标即破产赤字,利用递推方法导出了破产赤字分布的表达式,并获得了其破产赤字分布函数所满足的积分方程.2. 模型的引入以下所涉及的随机过程和随机变量都定义在同一个完备的概率空间上,考虑风险模型: (1)其中:表示保险公司的初始资本;表示连续复利利率,为一常数,;表示第个保单到达的时间,其分布函数为,表示两个相邻保单到达的时间间隔序列,并且有,则到时刻为止保单的总份数为计数过程,

4、其分布函数记为.表示保费额序列,分布函数为.与均为独立同分布的非负随机变量序列,且彼此相互独立; 基金项目：陕西省教育厅自然科学基金（2010JK914）；延安大学教改项目（YDJG10-02）.作者简介：乔克林(1964-),男,陕西佳县人,副教授,硕士,主要从事金融数学与应用概率统计的研究.表示第次索赔发生的时间,其中,表示两次索赔发生的时间间隔序列,并且有,则到时刻为止理赔的总次数为计数过程.其中的分布函数为;当保险索赔发生时,假设以下三类索赔事件有且仅有一类将发生:只发生第一类险种的索赔;只发生第二类险种的索赔;两类索赔都发生.以上三类事件发生的概率分别为,显然.设第一类险种的索赔额,

5、服从分布函数;第二类险种的索赔额,服从分布函数;第三类事件的索赔额应服从分布函数,且,是相互独立的.设为保险的第次理赔额,其中为随机变量,表示第类事件发生,而且对于每次索赔有且仅有一个,它发生的概率为.表示第类险种在第次索赔时的索赔额,且它们相互独立.用表示任意的,由全概率公式知的分布函数为:,.在普遍不考虑各随机过程具体分布的情况下,本问题中也可把索赔额笼统的记为,其分布函数为;,相互独立,且与,相互独立.3. 破产赤字分布保险公司破产时的赤字分布状况也是精算数学研究破产理论的热门课题,主要是因为它不仅关系到保险公司的利益,而且与投保人的利益息息相关,还有利于保险公司决策者更好的了解公司运营

6、状况.破产时的赤字分布能更好地描述公司破产的严重程度,是破产理论中的重要指标.模型在时刻的盈余过程可以表示为其中：易知是独立同分布序列,设联合分布函数为,即 (2)为了更精确地描述“破产”的严重程度,Gerber,Goovaerts和Kass引入了初始盈余为时的破产赤字的分布函数,即 (3)其中表示破产赤字.定理 破产赤字分布的表达式为 (4)表示第次索赔导致破产时破产赤字的分布函数,并且当时, (5)当时, (6)证明 破产只可能发生在理赔发生的时刻,故由(3)式知第次索赔导致破产时破产赤字的分布函数：假设第1次索赔导致破产,已知,则上式中的第6个等号用到了(2)式,第7个等号交换了积分次序

7、,第8个等号作了变量代换:又将换为.故定理中(5)式成立.假设第2次索赔导致破产,依据表达式的证明过程,则有 根据和的表达式,由归纳假设,当时,假设破产发生在第次索赔,则故定理中(6)式成立.证毕.推论 破产赤字分布函数满足如下积分方程: (7)证明 由(4)式和(6)式得:当时,约定,所以 这就得到了保险公司在破产时赤字分布所满足的积分方程式(7).证毕.本文所得结果是对文献5中结论的进一步推广,进而更好的接近于保险公司的实际情况.如果能够收集到合适的数据,可以进行数值计算,将其程序化便可得到一个有参考意义的预警系统.参考文献1 Cai Jun,David C M.Upper bounds

8、for ultimate ruin probabilities in the Spare Andersen model with interestJ. Insuran-ce: Mathematics and Economics,2003,(32):61-71.2 刘莉,茆诗松.常利率下风险模型的破产问题的研究D.上海:华东师范大学数学系,2004.3 张志强,陈洁.带利息力的多险种风险模型J.厦门大学学报:自然科学版,2006,45(6):763-766.4 陈畅,刘再明.几类特殊双险种更新风险模型的研究D.湖南:中南大学数学系,2007.5 林庆敏,汪荣明.带息力的更新风险模型下的破产概率的

9、计算J.华东师范大学学报:自然科学版,2005,3(1):46-50.6 乔克林,李粉香,任芳玲.带利率的特殊双险种风险模型的破产概率J.经济数学,2009,26(4):84-90.7 李粉香,乔克林.常利率下的特殊双险种风险模型D.陕西:延安大学数学与计算机科学学院,2010.8 陈兰清,裘晓岚,肖蓬.关于利息力与利率J.福建师范大学学报:自然科学版,2007,23(4):40-42.9 Gerber H U,Goovaerts M J,Kass R.On the probability and severity of ruinJ.ASTIN Bulletin,1987,17(2):151-

10、163.The Bankruptcy Deficit of a Special Double Type-InsuranceRisk Model with Constant InterestQIAO Ke-lin, HOU Zhi-wu, LI Ping(College of Mathematics and Computer Science, Yanan University, Yanan, Shaanxi 716000, China)Abstract Under the constant rates of interest, we discuss a special double type-i

11、nsurance risk model, which the premium is the compound counting process, and may be two kinds of claims. The bankruptcy deficit of relational expression is given by using the recursion method, and the integral equation of the bankruptcy deficit function is obtained.Keywords interest rates; double type-insurance; ruin