第五节 利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离

1、第五节 利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离一、点到平面的距离设A是平面外一点，B是内一点，n为的一个法向量，则点A到平面的距离d=例1、 如图，已知ABCD是边长为4的正方形， E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD且GC=2，求点B到平面EFG的距离。例2、 在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=23，M、N分别是AB、SB的中点。（04福建） （1）证明ACSB；（2）求二面角N-CM-B的大小； （3）求点B到平面CMN的距离。练习：已知ABCD是边长为1的正方形，PD平面且PD=1，E、F分别是AB、BC的中点. (1)

2、求点D到平面PEF的距离； (2) 求直线AC到平面PEF的距离。二、异面直线间距离设n是异面直线a、b的公垂向量，C为a上任一点，D为b上任一点，则a、b间的距离d=. 例3、 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a. （1） 求异面直线BD与B1C间的距离； （2） 求异面直线AA1与BD1间的距离。三、证线面平行若a是平面外一直线，所在向量为a，n是的一个法向量，若an，则a. 例4、 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC， AC=3，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点。 （1） 求证：ACBC1；（2） 求证：AC1平面CDB1；（3） 求异面直线AC1与B1C所成角

3、的余弦值。15（05北京文）作业：1、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为(1)求异面直线AA1与B1D1间的距离； （2）求异面直线A1B与B1D1间的距离。2、如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。 （1）求点O到平面ABC的距离； （2）求异面直线BE与AC所成的角； （3）求二面角E-AB-C的大小。(06江西)3、如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN2C1N.（1）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（2）求点B1到平面AM

4、N的距离。（06湖北文）4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC. 已知PD=2,CD=2,AE=12,求（）异面直线PD与EC的距离；（）二面角EPCD的大小.（05重庆文）165、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.46、如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE （1）求证：AE平面BCE； （2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。(05福建)D7、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CAEB底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点