博弈论期末复习题

1、、支付矩阵1、试给出下述战略式表述博弈的纳什均衡BLR再看看它是否有混合战略均衡设B以(，1 - )玩混合战略，则有均衡条件：VA(U) =12(1 _ ) =2 _VA(D) =46(- )=6-22 - =6-2得咐=41，这是不可能的，故无混合战略均衡，只有这一个纯战略均衡。2、试将题一中的支付作一修改使其有混合战略均衡解：由奇数定理，若使它先有两个纯战略均衡，则很可能就有另一个混合战略均衡。5,62,54,16,2BLRUD将博弈改成上述模型，则52(1 _) =46(1 _ )5同样，设A的混合战略为(阳-旳，则6二 1 (1 一 旳=5二 2(1 -旳1 5 j - 2 3二

2、9;-“ 1 1 1 - 22/65 丿.2于是混合战略均衡为、逆向归纳法1、用逆向归纳法的思路求解下述不完美信息博弈的子博弈精炼均衡1认为设在1的第二个信息集上，则1选L的支付=5P 2(1 -P)2选a的概率为P，=2 3P1选R的支付二6P 3(1 - P)-3 3P 2 3P= 给定1在第二个决策结上选 R , 2在左边决策结上会选 a，故子博弈精炼均衡 为L,R；(a,d)?四、两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。第1个厂商的成本函数为Ci=q!，其中qi为厂商1的产量。第2个厂商的成本函数为C2二cq2，其中q?为厂商2的产量，C为其常数边际成本。两个厂商的固定成本都为零。

3、厂商2的边际成本C是厂商2的"私人信息”，厂商1认为C在，32 I上呈均匀分布。设市场需求函数为P = 4-q -q2，其中P为价格，两个厂商都以其产量为纯战略，问纯战略贝叶斯均衡为何？解：给定q2，厂商1的问题是max , = (P1九q1=(4 - q1 _ q2 _ 1)q1因q2二q2(C)。厂商1不知道c，故目标函数为3/2max 1(4 -厲-q2(c) -1)q1dcqi 223/2-q1 -q1 1 q2(c)dc2 一阶条件：3/23 -2q1 - 1 q2(c)dc =0231严得 q11 q2(c)dc( 1)222厂商2的问题是：max二2 = (P _c)q

4、2q2=(4 -qqc)q2=(4 - C)q2 - q1q2 - q2一阶条件:(4 - c) - q1 -如=06q2（c）二4 - c - qi2（2）代入式（1）:qi 丄丄251 de2 2 2 231 3/24-q 1 3/2d 丁 4$3 qi4代入式（2）:3 e q2（c）:2若 e = 1，贝y qr = q2 =1心1=' 2=1327若信息是完全的且e = 1 ,则古诺博弈均衡为qi = q2 = ： 1，二1 =二2二一 1 °525这说明信息不完全带来的高效率。2、完美信息动态博弈。会用策略式表达、 扩展式表达。用方框找纳什均衡，用 树找子 博弈精

5、炼均衡。讲理由，看例题。I市场进入博弈的納什均衡B<进入，进入X进人，不进入>< 不涯入 ftA><进入A不进入-3 , -33 -3 1 , 01,0 “0. 10 , 00 , 10, 0 /该博弈中有二个纳什均衡：不进入，（进入，进入）进入，（不进入，进入）进入，（不进入，不进入）4A B /i°，0 "前两个均衡的结果（进入，不进入），即A进入，B不进入；第二个均衡结果是 （不进入，进入），即A不进入，B进入如果理论得到这样的结果，无助于预测博弈参与人的行为。此外，纳什均衡假定， 每一个参与人选择的最优战略是在所有其他参与人的战略选择给

6、定时的最优反应，即参与人并不考虑自己的选择对其他人选择的影响，因而纳什均衡很难说是动态博弈的合理解。必须在多个纳什均衡中剔除不合理的均衡解，即所谓“不可置信威胁”。子博弈精炼纳什均衡是对纳什均衡概念的最重要的改进。它的目的是把动态博弈中的 “合理纳什均衡”与“不合理纳什均衡”分开。正如纳什均衡是完全信息静态博弈解的基本慨念一 样，子博弈精炼纳什均衡是完全信息动态博弈解的基本概 念。 不进入，（进入，进入） 进入，（不进入，进入）进入，（不进入， 不进入）前边得到的三个纳什均衡中，均衡意味着当 A不进入时，B选择进入；而当A选择进入时，B仍选择进入（B威胁无论如何都要进入市场）。显然，当A选择进

7、入时，B仍选择进入是不合理的， 如果A进入市场，B选择“不进入”比选择“进入”收益要更大，理性的B不会选择进入，而 A知道B是理性的,因此也不会把该战略视为 B会选择的战略。因此， B的 战略（进入，进入）是不可置信威胁。 不进入，（进入，进入） 进入，（不进入，进入） 进入，（不进入，不进入）均衡意味着当 A进入时，B选择不进入；而当A选择不进入时，B仍选择进入（B威胁无论如何都不进入市场）。显然，当A选择 不进入时，B仍选择不进入是不合理的，B的战略是不可置信的。只有均衡是合理的：如果 A进入，B不进入；如果 A不进入，B进入。因 为A是先行动者，理性的A会选择“进入”（他知道B是理性的，

8、B不会选择“进入”）, 而理性的B选择“不进入”。观察博弈树上的三个均衡中，B的不可置信战略中的反应，在第二阶段B开始行动的两个子博弈中不是最优；而合理的纳什均衡中，B的战略在所有子博弈中都是最优的，与A的第一阶段可能选择的行动构成该子博弈的纳什均衡。解：有四种可能：混同均衡tlTmi，t2 'mitlTm2，t2 'm：分离均衡tlTmi，t2 'm2tlTm2，t2 'mi设u（mi）为接收者看见 mi时 认为发送者是t1的后验概率。看 tl r mi， t2 r mi则 u(mJ = 0.5，非均衡路径上 u(m2) =0,1 当接收者看见m-j，选a,的

9、支付为0.5 20.5 1 =1.5选a2 的支付为 0.5 80.5 7 =7.51.5故选a2。当接收者看见 m2，选ai的支付为u(m2) 1 (1-口(叫)5=5-4u(m2)选a2的支付为u(m2) 7 (1-u(m2) 3=3 4u(m2)当t1选 叶，接收者会选 a2, t1得支付10,要求t1不选m2，对u(m2)无要求，因 h总会选m1。当t2选，接收者会选a2， t2得支付3，要求t2不选m2是不可能的，因t2选m2 是占优于选 m1的，故此混同均衡 b m1，t2 m1不存在。再看混同均衡 b r m2， t2 “ m2此时u(mj =0,1为非均衡路径上的后验概率，u(

10、m2)=0.5当接收者看见 m2，选a的支付为0.5 10.5 5=3选a2的支付为0.5 70.5 3 =53故接收者必选a2。当接收者看见 m时，选a1的支付为u(mj 2(1 _u(g) 1 =1 u(g)选a2的支付为u(m1) 8 (1 -u(mi) 7 =7 u(m1) 1 u(mi)故必选a2。这样，无论发送者发出 g或m2信号，接收者总选a2，=给定接收者总是选 a2。t1会选mi , t2会选m2。=故b； m2, t2-： m2不是混同均衡。看分离均衡t mi , t2 r m2u(mi) =1, u(m2) = 0接收者看见mi时，必选a2 接收者看见m2时，必选a1 此

11、时，ti选mi, t2选m2=故ti > mi, t2 > m2是一个分离均衡。最后看分离均衡 1 ； m2， t2 ； mu(m) = 0 , u(m2)=i接收者看见mi时，必选比 接收者看见口2时，必选*2 =给定接收者总选a2ti m， t2 > m2=故ti r m2，t2 ； m 不是分离均衡。故只有一个纯战略子博弈精炼分离均衡1 一； mt2 ； mt鹰-鸽(Hawk-Dove)博弈(i) 参与人：争食的两只动物 -动物i和动物2。动物i和动物2的行动空间都是一样的，即：Ai=鹰，鸽 i=i，2支付矩阵如下:动物2动物2门鹰*鸽a4* 2鸽心h 4心3,知(2)

12、 此博弈属于完全信息静态博弈，根据奇数定理知道共有三个纳什均衡，两个纯策略 纳什均衡和一个混合策略纳什均衡。两个纯策略纳什均衡是：（鹰，鸽）和（鸽，鹰）。混合策略纳什均衡是：动物1和动物2分别以50%的概率随机地选择鹰（象鹰一样行动）或者鸽（象鸽一样行动）。纯策略纳什均衡可以用划线法或箭头法求解。混合策略纳什均衡则可根据无差异原则求 解概率分布，即：首先，动物1应该以q的概率选择鹰，以1-q的概率选择鸽，使得动物2在鹰或者鸽之间无差异，那么可得 q* :由4（1-q） = q+3（1-q）得q*=50% ；其次，动物2应该以a的概率选择鹰，以1-a的概率选择鸽，使得动物1在鹰或者鸽之间无差异，

13、那么可得 a* :由4（1-a） = a+3（1-a）得a*=50%。（3）此博弈实际就是一个斗鸡博弈，在现实生活许多现象都与此类似，如市场进入、前苏联与美国在世界各地争抢地盘等。七、狩猎博弈此博弈同样是一个完全信息静态博弈，参与人是两个猎人，他们的行动是选择猎鹿或者猎兔。支付矩阵如下：猎人加猎人2500, 500p0, 100100, 2100, 100根据划线或箭头法我们可以很容易地知道此博弈有两个纯策略纳什均衡，即：（鹿，鹿）和（兔，兔），也就是两个猎人同时猎鹿或同时猎兔都是纯策略纳什均衡。由于存在两个纯策略纳什均衡，现实中究竟哪个均衡会出现就是一个问题，这是多重纳什均衡下的困境。 但是

14、，比较两个纳什均衡， 很容易发现两人都猎鹿帕累托优于两人都 猎兔，所以，对两个猎人而言，都猎鹿是一个“更好”的纳什均衡，因此，在现实中两 个人都决定猎鹿的可能性要更大一些。然而，正如卢梭所言，如果一只野兔碰巧经过他们中的一个人附近，那么也许这个人会去猎兔而使猎鹿失败，因为两个人都猎兔也是一个纳什均衡，这就是人的自私性。此外，在多个纳什均衡下，博弈之外的其他因素有助于我们判断哪个均衡会出现。比如，两个猎人是好朋友，经常合作，那么我们几乎可以100%的肯定他们都会同时选择猎鹿。 如果他们是仇敌，那么我们可以肯定他们不会合作猎鹿，因此他们都会选择各自猎兔。不完全信息夫妻博弈混合策略均衡来源:考试大-

15、考博考试给定妻子分别以q,1-q的概率选择时装、足球，则 丈夫选择时装、足球的期望收益相等，即 1.q+0.(1-q)=0.q+3.(1-q)，解得妻子选择时装、足球的 概率分别为(3/4,1/4)给定丈夫分别以p,1-p的概率选择时装、足球， 则妻子选择时装、足球的期望收益相等，即2.p+0.(1-p)=0.p+1.(1-p)，解得妻子选择时装、莹富肓雷霭期望得益小于迭畀足停因此,剛史子迭卿|装的朋# 昱45益为Jt于迭抒足孕的欝*世.tM比堆吟3,:¥一01.3足球的概率分别为(1/3，2/3)当妻子以(3/4，1/4)的概率分布随机选择时装表 演和足球，丈夫以(1/3，2/3)

16、的概率随机选择时装表 演和足球时，双方都无法通过单独改变策略，即单独 改变随机选择纯策略的概率分布而提高利益，因此双 方的上述概率分布的组合构成一个混合策略纳什均 衡。该混合策略纳什均衡给妻子和丈夫各自带来的期望收益分别为:q.p.2+q.(1-p).0+(1-q).p.0+(1-q).(1-p).1=2/3;q.p.1+q.(1-p).0+(1-q).p.0+(1-q).(1-p).3=3/4双方的期望收益均小于纯策略时的期望收益。某些静态贝叶斯博弈的例子1、市场进入博弈一个完全垄断企业 B正在垄断一个行业市场，另一个潜在的试图进入该行业的企 业A，称A为进入者，B为在位者。A不知道B的成本

17、特征，设B有两种可能的成本, 即高成本和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵如表6.1。表6.1市场进入博弈B高成本低成本40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000, 400进入不进入默认斗争默认斗争假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成本相同。假若信息是完全的，则当B为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为(进入，默认)，另一纳什均衡(不进入，斗争)是含有不可置信的威胁。当B为低成本时，唯一的纳什均衡为(不进入，斗争)，即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将 A逐出市场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的 10单位进入成本的损失。当A不知

18、道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对 B的成本类型的主观概率或 先验概率密度。设A对B是高成本的先验概率判断为P，则A认为B为低成本的概率为1 - P。如果A进入，其期望支付为P(40)(1 -P)(-10)如果1不进入，其期望支付为 0。11当且仅当P(40) (1 - P)(-10) 一 0或p_ 时，A选择进入；反之，当P 时,55A不进入。于是，贝叶斯均衡为：1(进入，默认)，高成本，P ；51(进入，斗争)，低成本，P -；51(不进入，*)，P <5其中*表示可以是斗争，也可以是默认。2成本信息不对称的古诺博弈例3.10给出的古诺博弈中，每个厂商的成本函数是共同知识。这里，

19、我们假设每 个厂商的成本函数是私人信息，具体规定如下：两个企业生产相同产品在同一市场上进行竞争性销售，市场需求函数为 Q二a P , a .0, P为产品价格，Q为市场需求量。 假设a充分大时总有a - P _ 0,企业i的成本函数为Cj，其中G为企业i的总成本，qi为其产量，bj为其平均成本，bj为常数且bj 0，故bj也是边际成本。b,是 企业i的私人信息，企业 j不知道bj但认为3在d, e上呈均匀分布，d - 0，e 0， d me。且进一步假定 bj在d,e呈均匀分布是共同知识，i = j，i = j =1,2。企业i的支付函数是其利润函数-：j 二 Pqj 7=(a -Q)q -b

20、q因 =q- q2故吗=(a q q2)qj bq：设静态贝叶斯均衡为 £*±2，则由均衡战略的类型依存性有qj = qj(b), j =1,2于是7：j =(a -q；(bj -q；(b2)q*(bj) -bjq*(bj)-j (bj)i的期望支付为U = R(bj |bj)：(bj )dbjHj显然P(bj | bj) = P(bj)，由概率分布密度 P(bj)的归一化条件P(bj)dbj -1Hj及bj在d,e上呈均匀分布假设，有P(bj) dbj =1Hj或e-dP(bj) =11即 P(bj):e d1 f；11于是，5 = (a qj)(e d) Jqj(bj)

21、dbj q bqj(e d)， e-叫Hj j一阶条件：16_ 1qi(e-d)- 1_(ed)qj +(aqi)(e d) - 口(bj)dbj b (e d) =0Hj(a -bi)(e -d) - qjqi2(e-d)同样由对称性有(a _ bj)(e _ d) _ qi qj(6.5)2(e -d)(6.6)在上式两端对bj进行积分e2 -d2 a(e _d)- q-22qi(6.7)在式(6.5)两端对bi积分2 , 2 e - d a(e -d)-qqj(6.8)将式（6.7）代入式（6.8）的右端，得(6.9)由对称性有e da -23(e-d)代入式（6.5）得qie d a -(a -bj(e _d)32(e_d)(e d)2a -3b2618e + d2a3bj 十同理有q* =62a -旳于是得静态贝叶斯均衡为 (e de d+2a _ 3b2 +。6 ， 6 当a充分大时，q；和q*均为非负数。当 bi _b2 时，