勾股定理竞赛培训题(含答案)

1、勾股定理竞赛培训题D, E在同一直线上，连接 AD, BE .A,1、如图1. aBC和CDE都是等腰直角三角形，Z C=90",将 CDE绕点C逆时针旋转一个角 度 a（0°< a <90° ）,使点nng（1）依题意补全图2 ； 求证：AD=BE,且 AD± BE ；作CM丄DE.垂足为M请用等式表示出线段CM, AE, BE之间的数量关系；（2）如图3.正方形ABCD边长为 VB ,若点P满足PD=1,且Z BPD=90"，请直接写出点A 到BP的距离a E在同一直线上,驴漏郦究ECE雯 AC匕则人08和 DCE均为等腰三角形

2、，且ZACB = Z DCE=90。，点 久AE = 15, DE = 7 ,求 AB 的长度P为等边 ABC内一点，且Z5-PA4-PC求ocT 一一PD0D O §U均为等边三角3s 女图 1, aBC 中，CD 丄 AB 于 D,且 BD :AD CD=2 .3.4,（1）试说明 ABC是等腰三角形；B出发以每秒1crn的速度沿线段BA向点A运动，同AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停2（2）已知SABc=10cm,如图2,动点M从点 时动点N从点A出发以相同速度沿线段 止设点M运动的时间为t （秒）， 若 DMN的边与BC平行，求t的值；若点E是边AC的中点.问在

3、点 M运动的过程中， MDE能否成为等腰三角形？若能，求出 的值；若不能，请说明理由.AAft用圏4.已知， ABC中，AC二BC, ZACB=90" , D为AB的中点.若E在直线AC上任意一点，DF丄DE, 交直线BC于F点 G为EF的中点，延长CG交AB于点H.若E在边AC上 试说明DE=DF ； 试说明CG=GH ；（2）若AE=3, CH=5求边AC的长205s如图，在矩形 ABCD中，AB=5, AD = 结AF, BF3 AE丄BD,垂足是E点F是点E关于AB的对称若将 ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m平移距离指点B沿BD方向所经过的线匿，在旋转过程中，设

4、F所在的直线与直线 ad交于点R与直线BD交于点Q是否存在 g P. Q两点，使 DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由.yJjf考答案线修【分析】（1）根据旋转的特性画出图象；由Z ACD、Z BCE均与Z DCB互余可得出Z ACD= BCE,由CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC,结合全等三角形的判定定ADC竺te SAS即可得出 ADC竺 BEC,从而得出 AD=BE, 再由Z BCE=Z ADC=135 Z CED=45"即可得BE去表示CM ；2）根据题意画出图形，比照（1）的结论，套入数据即可得出结论.a（0。< a &

5、lt; 180）,记旋转中的 ABF% X m的值.Z BCE+Z DCB=Z DCE=90AC=BC, DC=EC ACD=Z BCE T ABC和 CDE都是等腰直角三角形，AC=BCZACD=ZBCEADCDA BEC 中，有DC 二 EC由勾股定理得:=3 BEC (sAs) , /. AD二BE, Z BEC=Z ADC 点 A D,E在同一直线上， CDE是等腰直角三角形, Z CDE=ZCED=45", Z ADC=180。- Z CDE=135°,Z AEB=ZBEC - Z CED=135 - 45 =90 /- AD丄 BE 2 - AE?BE=CM (

6、 AE - BE) 即 AC7BC+ J BE?CM= A' ( CM+BE), AC P P 兀DE=2CM, AE - BE=2CM CDE为等腰直角三角形，（2）依照题意画出图形（三）其中AB=V5DP=1, BD=AB=V2Vio结合(4)的结论可知:AM=AB? - BPDP5-3X1=1勾股定理解题的关键：(1)结合题意画出图形；找出ad出 A BEC :利用分割法求形结合是关键(1) 420。2 分，® AD = BE|vAACB和ADCE均为尊W 角三角形，CA-CB. CD-CE* ZACB-ZDCE-90®.釦AC览希CEJlSAACD和厶BCE

7、中躍 CACn题'L 1)®目 ZjCD=Z5CG时cZ)=CE画 A AACDttABCE (SAS) 出5 AD-BE-AE.DE-8 J i厶 ADC-Z BEC V ADCE为等角三角形，A ZCDE-ZCED-45®-V fSA > D> EllR-fi线上,A ZADC135°ZBEC-135，-A ZAEB-ZBEC-ZCED-90 -AB«（3）如下图所示由（2）知 BEC雯/ Z APD=30°,AP=5, APCBE=AP= 5, Z BEC=Z APC = 150CP=4, DP=8, Z APD=30

8、°, Z EP060°,Z BED=Z BEC-Z PEC=90", Z DPC = 420°又T Z DPE = Z DPC + Z EPC = 120。+ 60。= 180 即 P、E 在同一条直线上DE=DP+PE=8+4=12,BE=5,加= 13横3）分 DE=DM.点B根D握解签】解：（1）谖=2x, AD=3x, CDS,S=2x, AD=3x, CD=4x,根据勾股定理求出形® RtA ACD 中，面ED=EM. MDWE三种情况，根据等腰三角形的性质解答AC=AC根据等腰三角形的判定定理解答；=5x,又 AB=5x,积公AB二

9、AC.式求出A吕C是等腰三角形；錯2） 形 的.©当边S根 据 等 腰Sa asc'MN IIX 5xx 4x=10cmS 解得， x=1cm,AD=3cm, CD=4cm, AC=5an,BC 时，AM=a/A®'stH? D ? t=2.5 ,当 DNil BC 时，AD=AN,形 的 性MNBC 平知或3 当t=2时.点M运动到点D,不构成三角形，M在当翹果DE=DM.贝Ij t - 2=2.5 . /. t=4.5 ,如果ED=EM,则点M运动到点A,D在-(t - 3.5 ) 2=22, .-. t= 49,l2VPt=5 ,如果 MD=ME=7

10、贝Ij ( t - 26£【考点】全等三角形的判定与性质；直角三翳斜边上的中线；勾股定理.厂iHE哎e丄根据勾股定理求出EC,即可得出答案.iir1)连接CD,申可能.AC=BC, /. CD丄 AB,Z EDF=Z EDC+Z CDF=90 Z ADE=Z CDF, 在厶 ADEA CDF 中 ADE 竺 CDF,za=zdcfAD=CD ZADE=ZCDF DE=DF 7连賤 T Z ACB=9(r G为的中点，/. CG=EG=FpEDFCr G为的中点.DG=EG=Fp. . CG=DG,GCD=ZCDG 又T CD丄 AB. Z CDH=90 /. Z GHD+Z GCD=

11、90 Z HDG+Z GDC=90°,GHD=ZHDG, /- GH=GD 二CG=GHT CG=GH=EG=G, FCH=EF=5 ADE 旻 CDF. AE=CF=3=4CA延长线时.5s20解：在RtA ABD中，AB= 5, AD= ,弟勾股定理得25ABADBD =253 S Ato = AE = ad, .AE =BB4.JAB2AD2MY如解 图所示，点 Q落在BD延长线上,日 PD=DQ 易知 Z 2 = 2Z Q在RtAABE中，AB= 5, AE = 4 ,由勾股定理.得 BE = 3./）（第27题图解）1 = Z2.设平移中的三角形为 A" eT F

12、：如解图所示由对称点性质可知，Z=BF = 3.由平移性质可知，abHa'b", z 4= Z5= Zi, b'f当点f"落在AB上时，T Ab|a"b： Z BB = B F =3,即 mF 3 ；当点f"落在AD上时， AB6 = Z2.B 丄 AD,Z1 = Z2. Z5 = Z 1, /. Z 5= Ze.又易知 a"=3,b'f'd 为等腰三角形，- b"d=b"f25161616（対一个得2分）.BB = BD - b" D= 3- 3 =.3即 m=存在.理由如下：在旋

13、转过程中，等腰DPQ依次有以下4种情形:（第27题图解）Z1 = Z3 + ZQ Z 1 = Z2, /. z3 = ZQ5/. F Q= F A + A Q= 4 + 5 = 9.在RtA BF " Q中，由勾股定理，得BQ =yjFQlFBZ71025(第 27 题图解)DQ= BQ - BD =3 7w如解图所示点Q落在BD上且PQ=DQ,易知 Z2 = ZP.*/Zl = Z2./. BA II PD,则此时点a"落在BC边上*/Z3 = Z2,Z 3 = Z1, BQ = A Q .F Q= F A-A Q=4 一 BQRtA BQF "中,由勾股定理.25即 3 + (4 BQ) = BQ,2解得BQ =8 DQ= BD- BQ =2525125如解图所示，点Q落在BD上，且PD=DQ,易知Z243 = Z4/）110（第 27 题图解）'/ Z 2 + Z3 + Z4 = 180° , Z 3 = Z4, /. Z 4 = 9o"-/Z1 = Z2, .ZQB = Z 4 = 90 °zi2ZA " BQ = 180°-Z a" QB - Z1 = 90 -QB = ZA BQ, A Q= A B= 5.Q- A5-4=1在 RtA BF &