二阶常微分方程解

1、WORD格式第七节 二 阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结 构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求 二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节 讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线 性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐 次方程的求解方法。§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为d2 y p qy0(7.1)只要求出其任意两个dx2dx其中 p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程 (7.1) 的通解，线性无关的特解 y1,y 就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。专业资料整理我们先

2、分析方程 (7.1)从方程的形式上来看，它的特点是以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数可能具有什么形式的特解，2d ydyy 各乘 dx 2 dxy，其 d2y ， dy ， y 之间只相差一个常数因子，这样的函 dx 2 dx数有可能是方程 (7.1) 的特解，在初等函数中， 指数函数 erx ，符合上述要求，于是我们令 y erx( 其中 r 为待定常数 ) 来试解rx rx 将 y e ， dy re， d2 y r 2erx 代入方程 (7.1)dxdx2得r2 rx rx e preqerx0或erx (r 2 prq) 0因为 erx 0，故得r 2pr q0由此可见，若 r

3、 是二次方程2(7.2)r pr q0的根，那么 e rx 就是方程 (7.1) 的特解，于是方程 (7.1)的根问题。称的求解问题，就转化为求代数方程 (7.2)(7.2) 式为微分方程 (7.1) 的特征方程特征方程 (7.2) 是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根 r ， r 2 ，称为特征根，由代数知识，特征根r 1 ，r 2 有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。(1) 若特证方程 (7.2) 有两个不相等的实根 r ，r 2 ，此时 er x ，er2x 是方程 (7.1) 的两个特解。因为r xe( r1 r2 )x 常数e1rxe2所以 e r1xer

4、2x 为线性无关函数， 由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为r1xyC1eC2er2x(2) 若特征方程(7.2) 有两个相等的实根 r 1r 2 ，此时 p2 4q0，r2p ，这样只能得到方程(7.1)的一个特解 y e，因此，我们还要设法找出另一个满足y2 y 1常数，的特解y2，故 y2应是 x 的某个函数，设y2u，y1y1其中 u u(x)为待定函数，即y2uy1 ue对 y2 求一阶，二阶导数得dy2dxdu r1xe rr1xue(du r 1u)er1xdxdx将它们代入方程(rr1xque 0d2y2dx2 (r(7.1)2u r1dxu1duu2rdx2u2)edx1

5、r1 xd2 udx2)ep(dxur1 x r u)e1r1x d2u (2r 1 p)du (r r1xpr 1 q)u e0因为 er1x0，pr q 0，又因成为dx显然满足的一个u(x)x则 y2 xedx2dx且因 r 1是特征方程的根，故有p 故有 2r 1 p0，于是上式20 的函数很多，我们取其中最简单rx 是方程 (7.1) 的另一个特解，且两个线性无关的函数，所以方程C1er1x C2xer1x (C1C2x)e r1x(3)若特征方程 (7.2)dx 2y1，y2(7.1) 的通解是有一对共轭复根i ，r 2 i此时方程 (7.1)( )x有两个特解ie则通解为C1e(

6、i C2e( i )x其中 C1 ，C2 为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式eix cosx isinx，e有1(eix eix )212iix(e ixeix ) sinx121 x1(yy)e(e12i21 x(yy )e(e122iix cosx isinxcosx由上节定理一知，i i xxxe) ecosxi ix xx e) esin x(y 1 y2) ， 1 (y 1 y2) 是方程2i(7.1)的两个特解，也即 e xcos x， exsin x 是方程(7.1) 的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知

7、，方程 (7.1) 的通解为 yC1excos x C2ex sin x或 y e x (C1cos x C2sin x)其中 C1 ，C2 为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中 ， 分别是特征方程 (7.2) 复数根的实部和虚部综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1) 的通解，只须先求出其特征方程 (7.2) 的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下(1)d2y3 dy y 0dx2dx(2)d2y2 4 2dy 4y 0 dxdx(3)d y 4dy 7y0dx2dx解 (1) 特征方程r 2 3r 10 0 有两个不相等的实根r1 5，r 2 2所求方程的通解y C

8、1e2x 5r C2e(2) 特征方程 r24r 4 0，有两重根rr212所求方程的通解y (C1 C2x)e2x(3) 特征方程 r24r7 0 有一对共轭复根r1 2 3i r2 2 3i特征方程 r 2 pr q 0 的微分方程d2y dyd2y p dy qydx2dx 0 的通解有二个不相等的实根 r 1 ， y C1er1x C2er2x rr112 x有二重根 r ry(C Cx)e有一对共轭复根r1 xye (C cos xCsin1r2x)例 1.求下列二阶常系数线性齐次方程的通解所求方程的通解y e 2x(C1cos3x C2sin3x)§ 7.2二阶常系数线性

9、非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程d2y p dy qyf(x)(7.3)dx 2 dx的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程 (7.3) 的一个特解。方程 (7.3) 的特解形式，与方程右边的 f(x) 有关，这里只就 f(x) 的两种常见的形式 进行讨论。一、 f(x) pn(x)e x ，其中 pn(x) 是 n 次多项式，我们先讨论当 0 时，即当f(x) p ( x)时方程n2d2y p dy qyp (x)(7.4

10、)ndx 2 dx的一个特解。(1) 如果 q 0，我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程，事实上，可设特解 y Qn(x) a0xna1xn 1，得方程左右两边都是 n次多项式，比较两边 x的同次幂系数，就可确定常数 a0 ， a1，?an。2d ydy2例 1.求 22yx 3 的一个特解。dxdx解自由项 f(x) x23 是一个二次多项式，又 q? an ，其中 a0 ， a1， ?an 是待定常数，将 y 及其导数代入方程 (7.4) 2 0，则可设方程的特解为2y a0x 2 a1x a2求导数y' 2a0x a1y" 2a0代入方程有 2a0x 2(2a 0

11、2a1)x( 2a0 a1 2a ) x23 比较同次幂系数12a01212a02a10解得a122a0a12a23a274所以特解 y12x 1 x 7224a0(2) 如果 q 0，而 p 0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时y Qn(x) 不能满足方程，但它可以被一个 (n 1) 次多项式所满足，此时我们可设y xQn(x) a0xn 1 a1xn? anx代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数 a0 ， a1，? an2例 2.求方程 d y 4 dy 3x22 的一个特解 dx2dx解自由项f(x) 3x22 是一个二次多项式，又q 0，p 0 ，故设特解y a0x

12、3 a1x 2 a2x求导数2y' 3a0x2 2a1x a2y" 6a0x 2a1代入方程得2212a0x ( 8a1 6a0)x( a1 4a2) 3x 2，比较两边同次幂的系数1 a04 12a033 8a16a00解得 a116 2a14a2219 a232所求方程的特解3x3 x2 19 x1632(3) 如果 p 0，q 0，则方程变为 d2y pn(x) ，此 dx 2时特解是一个 (n 2) 次多项式，可设y x2Qn(x) ，代入方程求得，也可直接通过两次积 分求得。下面讨论当 0 时，即当 f(x) pn(x)e x 时方程2ddx 2y2 p dxy q

13、yp (x)e nx(7.5)的一个特解的求法，方程(7.5) 与方程 (7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子 e x ，如果能通过变量代换将因子e x 去掉，使得 (7.5)化成 (7.4) 式的形式，问题即可解决，为此设 y uex，其中 uu(x)是待定函数，对x y ue ，求导得dy e x duuexdxdxd2 y2 x d 2u x du2 x求二阶导数dx2 edx 2 2 edx ue代入方程 (7.5)得xd2udu2 xduedx22dxu pe dx u xxque p (x)en(7.6)消去 e x 得2(2 p)du( pq)u pn(x)的结论有：

14、由于 (7.6) 式与 (7.4) 形式一致，于是按 (7.4) (1) 如果 pq0，即 不是特征方程 r pr q0 的根，则可设 (7.6) 的特解 u n(x) ，从而可设 (7.5) 的特解为y Qn(x)ex(2)如果 p q 0，而 p 0，即 是特征方程 r pr q 0 的单根，则可设 (7.6) 的特解 u xQn(x) ，从而可设 (7.5) 的特解为y xQn(x)e x(3) 如果 r p q 0，且 p 0，此时 是特征方程 r pr q 0 的重根，则可设 (7.6) 的特解 u x2Qn(x) ，从而可设 (7.5) 的特解为y x2Qn(x)e x例 3. 求

15、下列方程具有什么样形式的特解1)d2y 56y e 3xdx2dx(2) d2 y 5 dy 6y3xe 2x dx 2 dx(3) d2 y dy y (3x 2 1)e xdx2dx解 (1) 因 3 不是特征方程 r 5r 6 0 的根，故方程具有形如y a0e3x的特解。(2)因 2 是特征方程 r2 5r 6 0 的单根，故方程具有形如y x(a0x a1)e 2x的特解(3)因 1 是特征方程 r2 2r 1 0 的二重根，所以方程具有形如2 02 1y x (a x a x a )ex2例 4.求方程d y y(x 2)e 3xdx2解特征方程r 10的特解。的通解r ±

16、; i 得，对应的齐次方程 y0 dx的通解为Y C1 cosx Csin由于 3 不是特征方程的根，又 pn(x)x 2 为一次多项式，令原方程的特解为y （a 0x a1）e3x此时 u a0xa1，3，p0， q1，求 u 关于 x2的导数 du a0， d u 0，代入dxdx2d2 u( p)du （2 pq）u （x 2）dxdx2得：10a0x 10a1 6a0x2比较两边 x 的同次幂的系数有10a0110a16a0113解得 a 0 ， a1 1050于是，得到原方程的一个特解为y （1 x 13 ）e 3x10 50所以原方程的通解是3113 xyY y Ccosx Csi

17、nx （x)e1210502例 5.求方程 d y dx22 dy 3y（x 1）e x 的通 dx解。2解特征方程r 2r 3 0所以原方程对应的齐次方程d2 y 2dy 3y 0 的dx 2dx通解 Y C1e C2e , 由于 1是特征方程的单根，又pn（x） x21 为二次多项式，令原方程的特解y x（a 0x 2a1x a2）e x此时 u a0x3 a1x2 a2x ， 1 ，p 2 ，q 3对 u 关于 x 求导 du 2 3a0x 2a1x a22 d u6a0x2a12 du （ 2 pr q）u x21， 代入 d u （2 p）dx2 dx得 12a0x2（6a 0 8a

18、）x 2a14a x21 比较 x 的1a1162a14a 0 09a232同次幂的系数有12a0 11 a0解得126a0 8a 1 0故所求的非齐次方程的一个特解为2x y （ x x 9 ）e x4 3 4 8二、 f(x) pn(x)e x cos x 或 pn (x) ex sin x，即求形如d2y p dy qypn(x)e x cos xdx 2 dx(7.7)2dxd 2y2 p dxy qyp (x)ex sin xn(7.8)这两种方程的特解。由欧拉公式知道， pn ( x) excos x， pn(x)e x sin方程 (7.9) 与方程 (7.5)类型相同，而方程

19、(7.5)x 分别是函数 pn(x)e (i )x 的实部和虚部我们先考虑方程2d y p dy qypn( x)e ) x dx 2 dx(7.9)特解的求法已在前面讨论由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是方程(7.7)的特解，方程 (7.9) 的特解的虚部就是方程 (7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程 (7.7)或(7.8)的一个特解。注意到方程 (7.9) 的指数函数 e ( i ) x 中的 i ( 0) 是复数，而特征方程是实系数的二次方程， 所以 i 最多只能是它的单根。因此方程(7.9) 的特解形为 Qn(x)e (

20、 i ) x 或 x n(x)e2 i )x6. 求方程 d y yex cos2x 的通解dx 2解 特征方程r 2 10特征根1， 1于是原方程对应的齐次方程的通解为 C1ex C2e为求原方程的一个特解先求方程 ye2i ) x的一个特解，由于 1 dx 22i 不是特征方程的根，且 pn(x) 为零次多项式，故可设 u a0，此时 (1 2i) ，p 0，q 1 代入方程a 011 (i 1)d2 u(2 p)( pq)u 1dx2dx2得(2i ) 1a 1，即 (4i 4)a 1 ，得004(i 1) 82这样得到 d y 2 ye( 2i )x 的一个特解 dx 1 （i 1）e

21、 2i)x由欧拉公式2i（i 1）e1 （i 1）e （cos x isin2x）1 xe （ cos2x sin2x ） i（cos2x sin2x） 取其实部得原方程的一个特解1ex（cos x sin2x）8故原方程的通解为xy Y y Ce1x Ce 21 xe （cos2x8sin2x）7. 求方程 d y y（x 2）e 3xxsinx的通 dx解 由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别 求 d2y y0 的特解 Y ，dx22d y y (x 2)e 3x 的一个特解y1 ，dx 22d y y x sinx 的一个特解 y 2dx 2然而相加即可得原方程的通解，由本节例4 有

22、d2yix y xedx 2由于 i是特征方程的单根，且 p （ x） x 为一次式，n0 1021故可设u x(a x a ) a x a x，此时 i ，p 0，q 1，对 u 求导du 2a x a ，d2 u2a0 10dxdx2代入方程d2u (2 p)du (2 p q)u xdx 2dx得2a 2i(2a 0x a1) 0x1cosx C2sinxY Cy1(1 x 133x )e10 50面求 y 2 ，为求y 2 先求方程即 4iax 2ia 2a x1 0比较 x 的同次幂的系数有：4ia 01得2ia 12a0 02即方程 d y yxeix的一个特解dx221 1 a0

23、4i 41a141 x)e ix ( i x 2 1 )(cosx isinx)44WORD格式 ( 1 x 2sinx 1 xcosx)1 2 1 i( x cosx xsinx)取其虚部，得 y 2 1 x2cos4x 1 x sin4所以，所求方程的通解 y Y y 1 y 2 C1cosx C2sinx ( 1 13)e x 1 x cosx 10 5 4 1xsinx4综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程dyd2y p dy qyf(x) dx 2 dx当自由项 f(x) 为上述所列三种特殊形式时， 其特解y 可用待定系数法求得，其特解形式列表如下：自由项 f(x)形式特解形式Qn

24、(x)当 q 0 时 y Qn(x)0,p 0 时 y Qn(x)当 q 0,p 0 时 y Qn(x)f(x)f(x)p (x)2x2Qn(x)0,p当 q 0,p 0 时 y2f(x)f(x)pn(x)e当 不是特征方程根时不是特征方程根时Qn(x)exx2Qn(x)WORD格式xxxQn(x)e当 是特征方程单根时 y当 是特征方程重根时 y2 x Q(x)enf(x)p (x)e nx cos x利用欧拉公式i xcosf(x)p (x)e nx sin xx isin x， ( x化为 f(x) i)p (x)en的形式求特解，再分别取其实部或 虚部以上求二阶常系数线性非齐次方程的特

25、解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。例 8. 求 y3y 3y y ex 的通解解 对应的齐次方程的特征方程为32r 3r3r 1 0 rr r 112 3所求齐次方程的通解Y (C1 C2xC3x2)e x 由于 1 不是特征方程的根因此方程的特解 y a0e 代入方程可解得a0181 2 3 2 x故所求方程的通解为yY y(C CxCx )e1 x7.3欧拉方程下述 n 阶线性微分方程nn0x d yna1x?n1axdyanyf(x)n axdxdx称为欧拉方程，其中 a0 ，a1，? an 都是常数， f(x) 是已知函数。欧拉方程可通过 变量替换化为常系数线性方程。下面以二阶为例说明。对于二阶欧拉方程2a 0x2 d a1x dy a2y f(x)dx2dx作变量替换令tx e ，即 t 引入新变量 t，于是有dy dy dtdxdt dxdy 1 1 dydt xx dtd2y d ( 1 dydx 2dxx dt 1d 2y dt 1 dyx dt 2dxx 2 dt21 d 2 y 1 dyx2 dt 2x 2 dt代入方程(7.10)得d2 ydydya( dt2 dt a dt02(7.10)lnx) 1 d ( dy ) dy d( 1 )x dx dtdt dx xt a y f(e)1d2y a 2a0 dy a1 y 1 f(