19考研数一真题和答案

1、2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析、选择题：18小题，每小题 4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上1.下列函数中在 x 0处不可导的是（(A f ( x) x sin x(C) f ( x) cos x2.过点(1,0,0),(0,1,0)(B f (x)(D f (x)，且与曲面(A)z0 与 x y z 1(C x3.n 2n 33(1) (2n1)!sin1cos1x siny 相切的平面为（(b z 0 与 2x 2 y(DXy与2x2yB 2sin1D 2sin1cos13cos1i 十

2、2n + -r 1 xJ ILf+ J4.(1x)叮,2-J n 7设M2dxNdx,22K(1cosx)dx，则(1xAX 2e22 C 2sin12cos1(A M N K(B)M K N011 5.下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）.专业资料1 1 1101- 1 11 110 11 0 110 1 00 1 0 ( A(B)( C（D0 0 1001 0 01- 0_ 015.设A, B是n阶矩阵，记r （ X ）为矩阵X的秩，（X，丫）表示分块矩阵,则（)(Ar ( A, AB)r (A)（B r ( A, BA)r (A)TT(C r ( A, B)max r ( A), r (B)

3、（D (,)( ,) +1-fr A E!rA B26.设随机变量X的概率密度f （x）满足f (1x)f (1x)，且0 f (x)dx06则 P X0()（A）0.2（ B）0.3M a(C 0.4(D 0.57.设总体X服从正态分布M =2P H PN(5),X1, X 2,X n是来自总体X的简单随机样本，据此样本检测，假设Ho :0 ,H 1:0 ,则()a=（A）如果在检验水平工二0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必拒绝H0（B）如果在检验水平j二0.05下拒绝H，那么在检验水平00.01下必接受H（C）如果在检验水平:一.0.05下接受H，那么在检验水平00.01下必拒绝

4、H0;（D如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必接受H。000指定位置上+1 tan1x sin kx8.lime若x 01 tanx则k0=x 10.设函数f ( x)具有二阶连续导数，若曲线yf （x）过点（0,0），且与2P轉V=1(1,2)处相切，求0 xf ( x)dxTT =、填空题： 9 14小题，每小题 4分，共24分，请将答案写在答题.纸.y 在点11、设函数F(x, y, z)+ xy iyz jzxk ，则 rotF (1,1,0)12.设L是曲面222 1a axyz与平面xyz0的交线，则13.设二阶矩阵A有两个不同的特征值，xyds L1,2是A

5、的线性无关的特征向量，且满.专业资料kkk2A(d +ct)“ +a ,则 a |_。1 2 1 2;iJ i9.设随机事件A与B相互独立，A与 C相互独立，2 | u = =_1P( AC AB C)，则P(C )4三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.fJ -V10.（本题满分 10分）求不定积分eedx . 2x arctanx12 x arctanx111.（本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。12.=ff y（本题满分+

6、+10分）设+是曲2 2面x13y3z的前侧，计算曲面积分33Ixdydz(y2) dzdxz dxdy .13.（本题满分10分）已知微分方程yyf (x)，其中f （x）是R上的连续函数。(I)若 f (x)x ，求方程的通解；（II)若 f (x)是周期为T的函数,证明：方程存在+ =-=III唯一的以T为周期的解。 14.（本题满分10分）设数列xn满足xxX10,x e n 1ne n 1( n 1,2,3,)。证明xn收敛，并求limx 。nn15.（本题满分 11分）设二次型.专业资料14.【答案】（D）222f (X - x +x )+)+/ +ax )x , x ,x ) 一

7、(xx(x，其中a是参数。1 231 232313（I)f (x,x ,x ）0的解；（ii）求尺f (x5x ,x )的规范型。求123J*123=12a16.（本题满分ii分)设a是常数，且矩阵IJA130可经过初等列变换化为矩阵=27aIta2）B。求a ；（I）求满足APB的可逆矩阵P？o i11 1 1=一 =-17.（本题满分11分）设随机变量 X,丫 相互独立，X的概率分布为X=1PX 1PX12丫服从参数为的泊松分布。令ZXY,()求 Cov(X ,Z）； （i）求 Z的概率分布。JJ _o o -0C 先利用对称性化简能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。-L.-In_

8、J 7T+422(1X)1 x2x72xM2+ J dx2_ LI 二 dx(2)dx2221X1 x1x22兀托2w-JI二 -匚*6 K(1cosx)dx1 dx，f2V _xJ二令()15( ,)fxexx，则 f ( x)e1,当 x(,0)时，+- 2f (X）0，当(0,)rx时，f (x)0，故对x(,)，有 f (x)f (0)0，因22 2=/v =而1 x11x，故KMN。应选（(C).xNdx1dxe22xe22几一22.【答案】（A）九一= 11 0【解析】记矩阵 H1，则秩r（ H ）3,特征值H 的秩相等、迹相等、行列式相等,（三重）。观察 A, B,C, D 四个

9、选项，它们与矩阵 特征值也相等，进一步分析可得：r （ Er (EB)1r (EC )1, r (ED）1。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kEA与kEX相似（k为任意常数），从而r （kEA)r (kEX ）,故选（A ,.专业资料kkk由于uu0.01 下接受域的区间包含了0.05下接受域的区间，故23.【答案】（A ）【解析】把矩阵 A, AB 按列分块，记1，2川AB则向量组1,2，屮n可以由向量组与2, |卄 n线性表出,从而汽1 ,III-IIP等价于是r ( A, AB) r (A），故选（24.【答案】（A）【解析】由f （1X）f (1x）可知概率密度函数f （x）关于x1对称

10、,结合概率密度函数的性质f (x)dx1及已知条件x)dx25.【答案】【解析】统计量x dxx dxdx0,|2|0.6 ,容易得出，故选（A、0.2（D）a /正确解答该题，应深刻理解“检验水平”(0,1)在检验水平解得接受域的区间为0.25在检验水平0.01下接受域的区间为的含义。0.05下接受域为15,X u0.025(X0.5X u)0.0050.250.005选（D）26.【答案】2.专业资料【解析】1 tanx t i +=T斥e lim 1 /12tanxT +tanx11 4TI +1limlnlimln 1sinkxx 0x 0sinkx1tanxsinkx41 tanx=

11、 = =-ee11 tanxx 0limffJe=(ek-fx sin1 tan0 二 kxx1 2tan x =227.【答案】2(ln 21)【解析】由已知条件可得:2, f (1) 2ln 2,1故 o xf ( x)dxf(0)0, f (1)2(ln 21)28.【答案】（1,0,1)ij【解析】(,) jrotFx y zixyxyyz zx故 rotF (1,1,0)(1,0,1)。+ + + + +29.【答案】3【解析】先求交线Lr= r+=lrifJ =-2 2 2 1xyz，由于曲面方程与平面方程中的x, y,z满足轮xyz 0221y z2( xyyz zx)0xy y

12、z zx211 1xyds(xyyz zx)dsds2oL3 L6 l63L上x, y, z具有轮换对称性。又知换对称性，因此在曲线2 2（X y Z） X由轮换对称性可得30.【答案】 1.专业资料P( A) P(B)P(C ) P( ABC)P( A)P (B) P(C )【解析】设1,2对应的特征值分别是1, 2,贝U2 a+ a=2+C2=Xa2 + Z a 2 = a +otA ()AA1 - 212 “1 1 2-2 1_ 2= A aa=a0(/_=扎2222( 1)(1)-0，由于1 11匕 _三线性无关，故112 11 122从而A的两个不同的特征值为1,1，于是A111。1

13、31.【答案】1 Iuu4Uu+PZC( ABC)P( ABCAC)【解析】P( AC AB C)+P( ABC)一 P( AB)P(C)亠 P( ABCfP(A)P(C )1P( ABC) P( AC)2211P(C)2*/t*/JV - JV()32.【解析】2xxe arctane arctanee arctane arctanx11dx a21x1e121/x1e21x1ee71d21xd2xe arctan(e1)d1ex1)22221112 xxx3xe arctane1(e1)e1 C2621S。16.【答案】面积之和存在最小值，min433【解析】设圆的半径为 x，正方形的边长

14、为 y，三角形的边长为 z，则2 x 4 y 3z 2.专业资料1三个图形的面积之和为S( x, y, z)2424-则问题转化为在条件 2 x 4 / 3z + 20, y0,z0下，求三元函数S( x, y,z)2的最小值”。一4解方程组(2x 4y3z2)由实际问题可知，34y3z最小值一定存在，Smin，得到唯一驻点3 3232321(0)=付+ x+ y+z _-x+ +LXvy12曲面前侧是一个半椭球面，补平面1:x20, yz，取后侧，则+ 3 -HW V+ +11 -rJffy$33Q33Ixdydz (y2)dzdxz dxdxdydz(y2)dzdxz dxdy33.【解析

15、】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状。11由高斯公式可得xdydz3(y 2)dzdx3z dxd(1 3y2 23z ) dxdydz其中(x, y, z) 0 x2 21 3y 3z ,由“先二后一”法可得.专业资料1+ 2 J2=1仃+ 22(1 3y3z)dxdydzdx(13y3z )dydzQ021 x 22y z1 _7113Tf 0 J1 +=兀j+ _2viF1 x 21 x+JL31-1-T f213n J242dxd3rrdrrrdxf f+(13+ )_2（一丄 ）J Jv420000乙0241 34xx142dx+ =0124533(14而ddxdydz(y2

16、)dzdx=z dxdy0。故 + I1f45=e+士34.【解析】(I )若 f (x)x，则yyx，由一阶线性微分方程通解公式r+tr+(p(x)dxp( x) dx = 一A+ye(q( x)edx C)*+=_1+dxdxx*得(+)i+1 J+yexedxCCex。.+ ,+IP+ l+IFxx(ii )由一阶线性微分方程通解公式可得ye ( f ( x)e dxC)，f+ f*xxJJxt由于y（xT )在f (x)e dx中无法表达出来，取丄 y(x)e (f (t)edtC)，+ =0x T于是(xT )t一 y(x T)e +J(f (t方dt_ C)=- j+0章丄-Tx

17、T1W(xT了tteef (t )dte f (t)dtC0Tu tTTx(x T )tuTee f (t)dtef (uT )duC 00e ee f (t )dt0e f (u )du Ce 0若方程存在 唯一的以T为周期的解，则TxxTtue eef (t)dte f (u)00TTtTeef (t )dtCeC0必有y(xT )y( x),即Txxtdu Cee (f (t )e dtC)0.专业资料由于()e f t dtT1 eTt0() 为一常数，可知e f t dtT1周期，故微分方程存在唯一的以35.【证明一】因为X10,所以根据拉格朗日中值定理，存在当且仅当c为周期的解。(

18、0,，使得x 。完全类似，假设1故数列设limn程得，则n(0xn单调减少且有下界，从而数列x _A，在等式n唯一解 Alim【证明二】首先证明数列xn当n 1时,X1根据题设=Xn收敛。有下界，即证明Tt0 =e =f (t)dtT1XnXn时，y(x)因此两边取极限,1lnAe解方x1x1211xkkkX2ln1假设当n时,则当n1时,In,其中ex , 可知x 1 In1 0 k根据数学归纳法,对任意的再证明数列xn的单调性:.专业资料e1e1e1nnnxxxInxInIn eInnn 1nn-x*xxx ennnnJ*1Jxx（离散函数连续化）设f (x)e1 xe(x0），则当x0时

19、，xxx,x ,x2x(x)x e0单调递减， f （x）xf (x)xf (0)0，即e1xe，故 xn 1x.,即数列的单调递减。从而综上，ae数列limn36.【解析】InXn1,ln1的单调递减且有下界。解方程得在等式唯一解)由f (对上述齐次线性方程组的系数矩阵作当a 2时，f ( x1+ =由单调有界收敛原理可知 卡x1n可得xn收敛。ax只有零解：xlim x初等行变换得(0,0,0)当a 2时，A 011,0 0 0Tf (x,x , x)0有非零解：xk(2,1,1), k为任意常数12312 2 12 2106344(II若)当a2时，X1,x 2 ,x 3不全为0f (x

20、,x , x)为正定二次型，其规范型为1 23.专业资料.，则二次型f ( x , x , x ) 恒大于0，即二次型12322 2f ( y , y,y )yyy 。123123当a 2时，(x2(x12 f (x +ax )322x- 12x6x2x x36x x1 21 3二次型对应的实对称矩阵B120，其特征方程为30 6A 一入一 1=2/* 1 一3=X X一入+2E B九一120(10 18)0/”书 +yfo K =-6 r九=解得特征值157,257,萨0，可知二次型的规范型为22f (z , z,z )zz 。2211231237.【解析】(I )由于矩阵的初等变换不改变矩

21、阵的秩，故r ( A)对矩阵A, B作初等行变换，得r (B)显然r (A)12a12a12aA13001a01aTh-27a033a000TJa222，要使r( B)011a 13=B2，必有2 a 0(ii )将矩阵B 按列分块：=|同系数的非齐次线性方程组:B (,)，求解矩阵方程 AP B可化为解三个123-*,1,2,3-al1Axj。对下列矩阵施以初等行变换得(A, B)1300110 12 1112721110 00 000.专业资料.易知，齐次线性方程组方程组的特解分别为:Ax 0的基础解系为T(3,1,0),2(4,(6,2,1)T,三个非齐次线 性TT1,0),3(4,1,0)636464-k21 ,-k2i +1,= k2+11 12 23310101036k6k6k.二二 1+4卜4+ r丰123 1从而可得可逆矩阵pkkk，其中kk。12 121223因此，三个非齐次线性方程组的通解为123kkk12338.【解析】(I )由X，丫 相互独立，