第三版常微分方程答案2

1、习题1.21. dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解：dy =2xdx两边积分有：In|y|=x 2 +cy2y=ex +ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2 ,x=0 y=1时c=1特解为y= e ：2. y 2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解 解：y2dx=-(x+1)dy巽 dy二-丄 dxyx 1两边积分：-=-In|x+1|+In|c| y=yIn |c(x 1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时c=e特解：y=1In |c(x 1)|3 dy = 1 y2d

2、x xy x3y解：原方程为：少=3dx y x x1J dy= 1 3 dxyx x两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：Jdy二-dxyx两边积分：In |xy|+x-y=c另外x=O,y=O也是原方程的解。5. (y+x) dy+(x-y)dx=O解：原方程为：dy =- x ydx x y令y=u则=u+xdu代入有：xdxdx-占丄du=Zdxu21 xln(u 2 +1)x 2 =c-2arctgu即 ln(y 2+x2)=c-2arctg 厶.x6. x 矽-y+ x2 y2 =0dx解：原方程为：矽=y+凶-

3、.,1 (y)2 dx x x ¥ x则令y=u鱼二u+ X屯xdxdx1 1du=sgnxdx 1 u2xarcs in - =sg nx In |x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：业二更tgy ctgx两边积分：ln |si ny|=-l n|cosx|-l n|c|siny=1一=c另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx二c.ey2 3x=015dx yy2解：原方程为：dy=e3x dx y22 e 3x-3e y =c.9.x(l nx-l ny)dy-ydx=O解：原方程为：鱼=

4、7;ln上 dx x x 令y=u,则巴二u+ x业 xdxdx-J.u+ x Flnudxln(ln u-1)=-l n| cx|1+ln y =cy.x10. dy=exydx解：原方程为：=exe ydxey=cex11 dy =(x+y) 2dx解：令 x+y=u,则 dy =du-1 dx dx du-1=u2 dx12du=dx1 uarctgu二x+carctg(x+y)二x+c12.史二dx (x y)解：令 x+y=u,则=du-1dx dxdU/- 丄.1 2dx uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)二c.13 dy=2x y 1dx x 2y 1解：原方程为

5、：(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c2 2xy-y +y-x -x=c14： dy=x y 5dx x y 2解：原方程为：(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d( ly2 +2y)-d( -x2+5x)=02 2y 2+4y+x2+10x-2xy=c.15:鱼=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1dx解：原方程为：色二(x+4y) 2+3dx令x+4y=u贝卩业=1屯-1dx 4 dx 41也-丄=+34 dx

6、 4du 2 ,=4 u 2 +13dx2tg(6x+c)= -(x+4y+1).316:证明方程-=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程:y dx1) y(1+x 2y2 )dx=xdy2 22) x dy =2 x y2 2y dx 2-x y证明:令 xy=u,则 xdy +y=dudx dx则巴J巴-爲，有:dx x dx x灣=f(U)+1fn)duVdx所以原方程可化为变量分离方程。1) 令 xy=u 则dy =1 du-(1)dx x dx x2原方程可化为：w=y1+ (xy) 2(2)dx x将1代入2式有：1竺-爲=u(1+u2)x dx x xU

7、= u2 2 +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设(x +y )为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y' (x- x )+ y则与x轴，y轴交点分别为：y0,x= x o -0 y= y o - x o yy'贝y x=2 x 0 = x 0 -匹 所以 xy=cy'18-求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程其中=-解：由题意得：y'二乂x1 dy=- dxy x所以 c=1 y=x.In |y|=l n|xc| y=cx.=贝卩y=tg x419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线证

8、明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则 y' =kx贝卩：y=kx2 +c即为所求。常微分方程习题2.11.理dx2xy ,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得1 dy 2 22 xdx ,两边同时积分得：In | y xc,即yc ex把x 0, y 1代入得2c 1,故它的特解为 y ex。22. y dx (x 1)dy 0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：* 7dy,当y0时，两边同时积分得；In x 1c,即 yy1c In x 1当y 0时显然也是原方程的解。当x0,y1时，代入式子得c1,故特解是11 In

9、1 x12yxy3x y解：原式可化为:0,故分离变量得3dxx x1212In21 yInx In21 x2 2 业？ J显然 dx y x x y两边积分得、 , 2 2 2故原方程的解为(1 y )(1 x ) c xIn c(c0),即(12 2y)(1 x)2cxdx y 则 u xdu dxdyduu x 'dxdx得：u2 1 duu12u)In)x c-dxx1arctgu - ln(15: (y x)dy (y x)dx 0 解型I,令X u,y uxx x匕,变量分离，u 1两边积分得:2 2x ydydx6:ydx令y令 u, y ux,x2 2解:煜,则原方程化

10、为:dudx(10 ),分离变量得：*1.1sgn x?1 dxx两边积分得：arcsinu代回原来变量，得sgnx?ln xarcs insgnx?lnxx2另外，yx2也是方程的解。7： tgydx ctgxdy 0解：变量分离，得：ctgydy tgxdx 两边积分得：In siny In cosx c.2y 3xdx y解：变量分离，得 dy- q3x cey39: x(lnx In y)dy ydx 0解：方程可变为：In y?dy -dx 0x x令 u ,贝V有dxln u d I nuxx 1 In u代回原变量得：cy 1 ln=。x10 型 exydx d解：变量分离e d

11、y e dx两边积分ey ex c4:(1 x)ydx (1 y)xdy 0-dy 0 y解：由y 0或x 0是方程的解，当xy 0时，变量分离-一 dxx两边积分 In x x In y y c,即卩 In xy x y c,故原方程的解为In xy x y c; y 0;x0.dy x y dx e解：变量分离，e'dy两边积分得:xedxcdx(x2y)解：令x y t,则矽dxdtdx原方程可变为：生 1 1dx t1变量分离得： dt dx,两边积分arctgtt 1代回变量得：arctg (x y) x c12.dx (x y)解令x y t，则32 1,原方程可变为生-1

12、 1dx dxdxt2、 t2 、 变量分离 -dt dx,两边积分t arctgt x c,代回变量t21x y arctg (x y) x c13巴 2x y 1dx x 2y 1解：方程组2xy 10,x2y111 0;的解为x- ,y -33令xX !,yY !,则有dY2X Y'33dXX 2Y2令x u，则方程可化为：xdx f山变量分离14,dy x y 5'dx x y 215.dy (x 1)dx2(4y 1) 8xy 1解:令x y 5 t，则兴1 dx,原方程化为：1dt dxtt 7,变量分离(t7)dt 7dx两边积分1t22t7t7xc代回变量(xy

13、25)7(x y 5)7x c.解：方程化为 dy x2 2x 1 16y2 8y 1 8xy 1 (x 4y 1)22dx令1 x 4y u,则关于x求导得1 4dy du，所以1史u2 9, dx dx4 dx41 2 28分离变量 一2du dx，两边积分得arctg ( x y) 6x c，是4u2 93 33原方程的解。16. dy斗負dx 2xy x y解: dyV)2 32x22址%y3)：2x2，令 y3 u,则原方程化为dxy2(2xy3 x2dx 2xy3x2dudx2 23u 6x2xu x23u26厂6 x2u 1 x021乙则dudx60,得 zx空，所以dx3或 z

14、3z22z2是当z260时，变量分离61(1)1z ddzx -，dx方程的解。dzx - dx 即y32z2z 13x或y32x是方程的解。(1)即（y 的解为（y33x)7 (y3 2x)3x53x)7(y32x)32z2zc,又因为15x c1-dz dx，xy3 3x或 y3两边积分的（z 3）7 （z2x包含在通解中当c17.dydx2x3 3xy x3x2y 2y3352) x c,0时。故原方程解:原方程化为dyx(2x2 3y21).d£2y(3x2 2y21) dx2x2 3y2 13x2 2y2 1U,； xv；则竺dv2v 3u 13v2u 1(1)方程组2v

15、3u3v 2u;令Z vu 1,23,令t yz,，则有型t z,dzdzzdt2 3t，所以t z,dz3 2tdt z一dz2 2t2(2)r 3 2t当2 2t20时，即t1,是方程的解。得y22 x2或y2x2是原方程的解当2 2t20时，3分离变量得32t122 dtdz两边积分的y2 x2 2(y x2)5c则有;y 0，从而方程（1化为先二2 2t z另外y2x22,或y2x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2 x2（y2x22）5c18证明方程-dy f(xy)经变换xy u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 y dx22(1) .y(1 x y )dx xdyx dy

16、2 x y(2) .22y dx 2 x y证明：因为xyu,关于x求导导得y xdydxdu1 du ,duu、得:-1f(u),(f(u)y dxdx y(f(u) 1) x理所以x du y dxdx dx11)-(uf(u) u)x故此方程为此方程为变程。解(1):当x 0或y 0是原方程的解，当xyOs时，方程化为令xy u，则方程化为詈(2u u3),变量分离得:x2udu31 uxy dx-dxx2两边同时积分得：一2u 22故原方程的解为原2 2x y 2cx4,即一x2y2 2y 2cx2,yo也包含在此通解中。解令xyu，2分离变量得24u2cx，x0.则原方程化为篇2 d

17、u-(ufx 2 uu)1 4ux 2丄dx，两边积分得ln 2-c，这也就是方程的解。0,试求函数f (x)的般表达式.解：设 f(x)=y,-两边求导得yx则原方程化为f(x)dt0y3 dy; ;；dxdx1y3dy;两边积分得x c券；;所以y代入2x cf (x)dt02t cdt2x c; ( .2x c 、c)< 2x c得c 0,所以y20.求具有性质x(t+s)二 凹 型 的函数x(t),已知x' (0)存在1 x(t)x(s)解：令 t=s=0 x(0)=x(0) x(0)1x(0)=2x(0)1x(0)xi(0)若 x(0)0 得 x2=-1 矛盾。所以 x

18、(0)=0. x ' (t)=.x(t1lim 2t) x(t) lim x( t)(1x(t)x'(0)(1 x2(t)tt1 x(t)x( t)響 x'(0)(1 x2 (t)dx(t)2x'(0)dt两边积分得arctg x(t)=x ' (0)t+c 所以dt1 x (t)x(t)=tgx ' (0)t+c当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tgx ' (0)t习题2.2求下列方程的解1.dy=y sinxdx解:dx .y=e (sinx edxdx c)2.解:=ex- e2=c e x-1 (2主+3x=e2tdt原

19、方程可化为：x(sinxcosx )+csin xcosx)是原方程的解。所以：x=e3dt=-3x+e21dt2t3dt( e e dt c)=e3t (=c e】e5t+c)53t + le2t是原方程的解。5ds13.=-s cost + sin 2tdt2costdt 13dt、解：s=e ( sin2te dt c )2=e sint ( sin tcostesintdt c)=e sintsint(sintesin te c )sint=cesin t是原方程的解。4.解:dy x y dx n原方程可化为:为常数.dxx y n2dxe x (2dxexxne x dx c)xn

20、(exC)是原方程的解.5.1 =0解:原方程可化为:dy _ 1 2x” , ” ,dx2x2x 1dxe(In x2e(1)2 (12xdxdx c)Inx2 1e xdx c)= x2(1cex)是原方程的解.6.dydx43x x2 xy解:dydx43x x2 xy3x_ + z2y x令工x因此:ux=u X 虫 dxdxdux =dxdudxu2duxu12udx丄u3u3 3x x(*)323将y u带入 （* ）中 得：y即x= +ey是方程的通解，且y=0也是方程的解。 3x2 ex'是原方程的解.x7型2y (x 1)3dxx 1解型dx2yi (xx 11)3P

21、(x)2,Q(x)x 1(x 1)3P(x)dx e_Ldx ex1(x 1)2方程的通解为：y=eP(x)dxP(x)dx(eQ(x)dxe)=(x+1)(（x八+际）=(x+1)(2 (x+ 1)dx+e)=(x+1)2(x 1)2 e)2即:2y=e(x+1)2+（x+1）4为方程的通解。8迤=ydx3x y解:空dyx+y1y y2x y则 P(y)= l,Q(y)y2yeP(y)dy扣ey方程的通解为：x=eP(y)dyP(y)dy(eQ(y)dye)=y(1* y2dy e)y=3y ey2dy y3dxxy 2 x3dy-223dx2( xyx )令y2zdz3dx2( xz x

22、 )P(x)2x,Q(x)2xp x2xdxx2两边除以y33eee方程的通解为:p xp xz=e dx( edxQ(x)dxc)=ex ( e x ( 2x3)dx c)=x2x2 dce 1故方程的通解为：2y2(x2 cex1) 1,且 y0也是方程的解。9.dy ay dx解：Rx)P(x)dx eL,a为常数x xa,Q(x)x?dxe x方程的通解为:=xP(x)dx P (x)dxy= e (e Q(x)dxa,1 x+1 .、(a dx+c)x x0时，方程的通解为10.x-y dx3y x解:巴dx1 y xP(x),Q(x)xP(x)dx2dxxc)1方程的通解为:3 x

23、x3当ay=x+In /x/+c当a 1时，方程的通解为y=cx+x ln/x/-1当a 0,1时，方程的通解为1y=P(x)dx eP(x)dxe Q(x)dx c)y=cxa x+ -1-a1-(x3xx* x3dx c)方程的通解为:x3x c y=4 x解:空dxxy25c 2 In x12.( yl nx 2)ydx xdy-x42解型哑y2 2y dx xx两边除以y2dy In x 2y 1 y2dxx x1 1In xxP(x)dxc)dy In x 2y1272dxe * * * * * * x ( ec)x2( ( M)dx c)x xc 2In x1x424?dx x (

24、方程的通解为:y（cx2 也 丄）1,且y=0也是解。4241322xydy (2 y x)dx dy 2y2 x y 丄 dx 2xy x 2y这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以1 ,yydy 1y dx x 2令y2 zdzdxdx x2zP(x)= 2xQ(x)=-12_dxz e x (由一阶线性方程的求解公式2dxe x dx c)2=x x c2 2y x x cy14 dy e dx3x2 x两边同乘以eyy dy e dx(ey)2x23xey令ey zdzdxey屯dxdz z2 3xz3z2 z这是n=2时的伯努利方程。dxx2x2 x两边同除以2 z1 dz 3 z2

25、 dx xz4令1 TxzdT1 dzdT3T 1dxz2 dxdx2xxP (x) = 3xQ(x)=1x由一阶线性方程的求解公式33hdx1 dxe x ( e x dx c)xc)1 i-x cx2z(1 1x2ey(1 1x2lx2ey2cx 3)1cx3)1ceyx329115dydx33xy x ydxdyyx y3x3这是n=3时的伯努利方程。两边同除以x31 dxx3 dy令x2zdz dy2x3生dydzdy2y2 x2y3 =2yz 2y3 P(y)=-2y Q(y)2y31由一阶线性方程的求解公式2 ydy32 ydyz e ( 2y e dy c)22=e y (2y3

26、ey dy c)=y2 1 ce y22x2( y21 cey )1x e ( y 1 ce ) ee (1 x x y ) cxx16 y= ex+ °y(t)dtdy x .e y(x)dxdy xy edxP(x)=1Q(x)=ex由一阶线性方程的求解公式1dx x 1dxy e ( e e dx c)x x x=e ( e e dx c)=ex(x c)35ex(x c)xo ex(x c)dxc=1y= ex(xc)17设函数(t)于 oo <t<'(0)存在且满足关系式(t+s)二(t)(s)试求此函数。令 t=s=0 得(0+0)=(0)(0)即(0

27、)= (0)2 故(0) 0 或(0) 1(1)当(0) 0时(t)(t 0)(t) (0)即(t) 0oo, oo )当(0) 1时(t)lim(t t) (t)_.(t) ( t) (t)t=limtlimt 0(t)( ( t) 1)=limt 0(t 0)(0) (t)于是dr'(0) (t)变量分离得-(0)dt 积分(0)t ce由于(0)1，即t=0时 1 仁0 cec=1故(t) e(0)t20.试证:2.3 )(1) 一阶非齐线性方程(2 .28 )的任两解之差必为相应的齐线性方程(之解；2.28)(2) 若y y(x)是(2.3 )的非零解，而y y(x)是(2.2

28、8 )的解，则方程的通解可表为y cy(x) y(x)，其中c为任意常数.（3）方程（2.3 ）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3 ）的解.证明:dydxP(x)y Q(x)(2.28)学 P(x)y(2.3 )dx(1)设yi , y是(2.28 )的任意两个解贝 S塑 P(x)yi Q(x)( 1)dx学 P(x)y2 Q(x) (2) dx(1) - (2)得d y y2dxP(x)(yi y2)即y yi y是满足方程（2.3 ）所以，命题成立。（2） 由题意得：警 P（x）y（3）dx警 P（x）y（x）Q（x）（4）1）先证y cy y是（2.28 ）的一个解于是c

29、34得cdy dxd y dxcP(x)yP(x)y Q(x)d(cydxy)P(x)(cyy) Q(x)故ycyy是（2.28 ）的一个解2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y的形式设y1是（2.28）的一个解贝 Sdyi P(x)yi Q(x)(4')dx于是 (4') - (4)得d(y, y) P(x)(% y) dx从而y- y ce Pax cy即yiy cy所以，命题成立。(3) 设y ,纸是(2.3 )的任意两个解则dy33 P(x)y3dx(5)乎 P(x)y4(6)dx于是（5)c 得型3 cP(x)y3dx即d(cy3)P(x)(cy3)dx其中c为任

30、意常数也就是y cy3满足方程（2.3 ）(5)（6）得dy3dx字 P(x) y3 P(x)y4dx即哑严 p（x）（y3 y4）dx也就是y y3 y4满足方程（2.3 ）所以命题成立。21. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解：设p（x, y）为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为Y y y'(X x) 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x丄,0),(0, y xy')y'即横截距为x丄,y'纵截距为y xy'

31、;。由题意得：(5)y xy' x2方程变形为237于是x色dxy2 xdy1yxdxxIdx(-)dxy ex (x)e x dx c)e1叫(x)e 叫xdx c)x ( ( x) x dx c)1 x( ( x)dx c) xx( x c)2x cx所以,方程的通解为yx2 cx。(6)y xy'方程变形为dyX 一dx 业 dx于是 y ey212?丄dx2x (I)e()dx2x dx c)-1n x|e2(2)e 列"dx c)12(c)11 2 -)x dx 2139ix2(1 1gx 2 )dxc)1x2(1x2 e)1ex2所以，方程的通解为yex2

32、2. 求解下列方程。(1) (x21)y' xy 0解：y'学Ax 1x dxy e x 1 (1x211xee)2ee丿x 11121 dx ex1 2/x21/2dx3e/x21/21=/x2 1/午1=/x2 1/可= e . /1 x2/ x(2) y sin x eosx y sin3 x 0dyy sin2xdx sin xeosx eos xP(x)=1sin xeosxQ(x)=.2sin xeosx由一阶线性方程的求解公式sin xeosxdx.2 sin x e1sin xeosxdxdxeosxe)=sinxdx e)eosxsin x(cos x c)c

33、osx=tgxc sinx习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1. (x2 y)dx (x 2y)dy 0解： 巴1，卫=1 .y x则卫卫y x所以此方程是恰当方程。凑微分，x2dx 2ydy (ydx xdy) 0得：lx3 xy y2 C32. (y 3x2)dx (4y x)dy 0解:则卫JNy x所以此方程为恰当方程。凑微分，ydx xdy 3x2dx 4ydy 0 得x3 xy 2y2 C3丄皿 J Tldy 0 (x y) x y (x y)解：卫 2y(x y)2 2y2(x y)( 1) 2xyy(x y)4(x y)3412x(x y)2 2x2(x y

34、)(x y)42xy(x y)3则卫x因此此方程是恰当方程。(Xy21y)2 x(1)2x(x y)2(1)做X的积分，25xVx1dx (y)x(3)做y的积分，d (y)则dy(y)1(1)dy y故此方程的通解为4、2(3xy2 2x3)dx 3(2解:2丄inxx y(1)y2(x2xy y2(x y)2y(x2 y2xy1(xy)2yIn yyIn yy InyxnyxyCxx y2x y2y)dy0N12xy12 yxyx yM 12xy ,2丄inxx y2x(x y)2x2xy)2(y)(X y)2yy)2d (y)dyx2 2xy y2y)2(y)dyxyx y47则此方程为

35、恰当方程。凑微分,6xy2dx4x3dx 6x2 ydy 3y2dy3d(xd(x4)d(x3)0x42 23x yy3 c5.( 1sinycossin)dy=0yxx1M= 1sinxy2 xcosyym =-1xx2sin” ,3 yyyyN1xx2sin1xyyyx2解:y+ixcos- ycos-yy cos - +1)dx+(-xmyNxN=cossin所以,因为1sinycos 丫+爲 sinx xcos 上+耳 sinx x故原方程为恰当方程x dx- 当 cos - dx+dx+1 cos - dy- y x xx xsin-dy+ y4 dy=0yd(-cos -)+d (

36、sin -)+dx+d(- 1)=0yxy所以，d(sin Y-cosx+x- -)=0x y y故所求的解为sin 乂 -cos -+x - 1 =Cx y y求下列方程的解：2 26. 2x(y ex -1)dx+ ex dy=0解：=2x ex2 , =2xex2所以，卫=卫，故原方程为恰当方程y x又 2xyex dx-2xdx+ ex dy=0所以，d(yex -x2)=02故所求的解为yex-x2=C7. (e x+3y2)dx+2xydy=0解：ex dx+3y2dx+2xydy=0exx2 dx+3x2 y2 dx+2x3ydy=0所以，d e x( x 2-2x+2)+d(

37、x 3y2)=0即 d e x( x 2-2x+2)+ x 3y2=0故方程的解为ex( x 2-2x+2)+ x 3y2=C8. 2xydx+(x 2 +1)dy=0解：2xydx+ x 2 dy+dy=0d( x 2y)+dy=0即 d(x 2y+y)=0故方程的解为x2y+y=C9、ydx xdy x2 y2 dx解：两边同除以x2 y2得ydx xdy dxx y即，d arctg dxy故方程的通解为argtg - x cy10、ydx x y3 dy 0解：方程可化为：叫型ydyy即，d - ydyy故方程的通解为：-y2 c即：2x y y2 cy 2同时，y=0也是方程的解。1

38、1、y 1 xy dx xdy 0解：方程可化为：ydx xdy 1 xy dxd xy 1 xy dx 即卩：dx1 xy故方程的通解为：In 1 xy x c12、y x2 dx xdy 0解：方程可化为：班浮dxxd y dxx故方程的通解为：-c x即：y x c xx13、x 2y dx xdy 0解：这里M x 2y, N x ,M N1 x 1方程有积分因子e严xNx两边乘以 得：方程x x 2y dx x2dy 0是恰当方程349故方程的通解为:x2 2xy dxx2 一 x2 2xy dx dy c y即：x3 3x2y c14、 xcos x y sin x ydx x c

39、os xy dy 0解：这里M x cos x ysin x y , Nx cos x yMN因为cos x yxsin x yy x故方程的通解为：x cos x ysin x y dxxcos x yyxcos x y sin x y dx dy c即：xsin x yc15、 ycosxxsin x dxysin x xcosx dyo解：这里Mycosxxsin x, N ysin xxcosx MNy xM N丿 -1方程有积分因子：edy ey 两边乘以 得:M方程 ey ycosx xsin x dx ey ysinx故通解为：ey ycosx xsinx dx即：ey sin

40、xy 1ey cosx c16、x 4ydx2xdyy3 3ydx 5xdy解：两边同乘以x2y 得：xcosx dy 0为恰当方程N 一 ey ycosx xsinxdxdy c y0324.4x y dx 2x ydyc 2533x y dx 5x ydy 0d x4yd x3y5故方程的通解为：x4y2 x3y5 c17、试导出方程M(X,Y)dx N(X,Y)dy 0具有形为(xy)和(x y)的积分因子的充要条件53解：若方程具有（x y）为积分因子,(M)y(N)(xy）是连续可导）MM NNyyxxMN (MN)yxyx令z xydzddxdz xdz，y dzMdM dN dz

41、dz(NxM),y(MdN) d dzN (xM)， yNMdx ydz(xM N方程有积分因子（xy）的充要条件是:此时，积分因子为(x y)(z)dz e令zx ydz yxdx dzdz ' yMx Ny dzdz(NMxy(Mx Ny)ddz(N M) x yy)dz)ddzJM 丄是xNdx dzy的函数,NMd x yMx Ny此时的积分因子为(xy)xMxyNydz5518.设f(x, y)及丄连续，试证方程dy f(x,y)dx 0为线性方程的充要条件是它有仅依y赖于x的积分因子.证：必要性若该方程为线性方程，则有巴P(x)y Q(x),dx此方程有积分因子(x) e

42、P"dx,(x)只与x有关.充分性若该方程有只与x有关的积分因子(x).则(x)dy (x) f(x, y)dx 0为恰当方程，从而(x)f(x, y)d (x)fJ(x)ydxy(x)f(x)dy Q(x)()y Q(x)(x)P(x)y Q(x).其中P(x)罗于是方程可化为dy (P(x)y Q(x)dx 0(x)即方程为一阶线性方程，试证方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=O20.设函数f(u) ，g(u)连续、可微且f(u)有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy)1证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 两边同乘以u得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0y 丄x(f g) xy 二 xyA则皿二uf+uy 丄+yf二一f+J-yf门yy y xy(f g) xy(f g)x y (f g)ydf g