概率论与数理统计习题册要点

1、第六章样本及抽样分布17'、选择题1.设X,X2 ,Xn是来自总体X的简单随机样本,则X,X2 ,Xn必然满足()A.独立但分布不同；B.分布相同但不相互独立；C独立同分布； D.不能确定2 下列关于“统计量”的描述中，不正确的是().A 统计量为随机变量B.统计量是样本的函数C.统计量表达式中不含有参数D估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是()1A.若 F F (口，压),则 F (n2,nJB若 T t(n),贝UT2 F(1, n)C.若 X N(0,1),则X2 X2(1)D 在正态总体下n、(Xi)2V 2x2( n_1)cr4.设Xi,S2表示来自总

2、体 N(7,2)的容量为ni的样本均值和样本方差 (i =1,2)，且两总体相互独立，则下列不正确的是(寻S2A. 4|2F(n1 -1小2 -1)-1S2B (X1 壬)-(岂-鳥) N(0,1)C.X1 二 t(nJS / ： nD.(n-1)Sx2(n1)5.设X1,X2/ ,Xn是来自总体的样本，则n(Xj -x)2 是(n-1).A.样本矩B.二阶原点矩C.二阶中心矩D.统计量6X1,X2/ ,Xn是来自正态总体 N(0,1)的样本,X,S2分别为样本均值与样本方差,则( ).A. XN(0,1)B. nX N(0,1) C.Xj2x2(n)D. t(n-1)S27.给定一组样本观测

3、值X1,X2，X9且得v Xi =45 Xi -285,则样本方差S2A. 7.58设X服从t(n)分布,2065C.D.32P| X | = a，则 PX ： - 为().B.601A. a2B. 2a1C. a21D. 1 a229设X1,X2，,xn是来自正态总体 N(0,2 )的简单随机样本，若Y = a(X1 2X2)2 b(X3 X4 X5)2 c(X6 X7 X8 X9)2 服从 x2 分布，a, b, c的值分别为(1 1 1A JJ8 12 16111B.,2012161 1 1D.-,-2 3 4N(0,32)，设 X1,X2, ,X9和9 、Xi 丫1,丫2,，丫9分别是

4、来自两总体的简单随机样本，则统计量U二 号 服从分布是(10设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布).A. t(9)B. t(8)C. N(0,81)D. N(0,9)】、填空题1.在数理统计中,称为样本.2 .我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特占八、4.设随机变量X1,X2，Xn相互独立且服从相同的分布，EX，DX Y2 ,n_Xi ,则 EX = n v;DX =(X1,X2，X10)是 来自总 体 X N(0,0.32)的个样本，的观测值为().10p瓦 Xi2 >1.445.已知样本Xi，X2,，乂佗取自正态分布总体 N（2,1） , X为样本均值，已知PX

5、_，=：0.5 , 则-.10. 6设总体XN（7；2） , X是样本均值，Sn是样本方差，n为样本容量，则常用的随2机变量（n乎服从分布.CF第七章参数估计'、选择题1.设总体X NOV-2），Xi, ,Xn为抽取样本，则1V (Xj -X)2 是( n i 4（A） J的无偏估计（B）；2的无偏估计（C）的矩估计 （D）二2的矩估计2设X在0，a上服从均匀分布，a 0是未知参数，对于容量为n的样本X-,Xn，a的最大似然估计为（）（A）maxX1,X2, ,Xn(B)Xi(C) maxX1,X2, ,Xn - minX1,X2, ,Xn1 n(D)1v Xi n im3设总体分布为

6、N（，；2），J2为未知参数，则 二2的最大似然估计量为（(A)U (Xj _X)2 n i仝(B)二 (Xi -X)2 n1 i 吕4设总体分布为)2N（,；2）,已知，则二2的最大似然估计量为（(A)S21 n 2(C) (Xj)2 n i $n 12(B) Sn1 n(D)丄区)2n -1 id5 X1,X2,X3设为来自总体X的样本，下列关于E（X）的无偏估计中，最有效的为（）(A)(C)1 / 、(X1 X2)21(X1 X2 X3)41(B)(X1 X 2 X 3)3221(D) X1 X 2 X 3 )333Xi,X2,Xn(n _2)是正态分布N（»；2）的一个样本，

7、若统计量n A2 2（Xi 1 -Xi）为二的无偏估计，则i 4K的值应该为（(A)丄(B)2n2n112n -21(D)-n 17. 设二为总体X的未知参数，哥门2是统计量,宀门2为二的置信度为1 -a（0 ： a ：1）的置信区间，则下式中不能恒成的是（A. P片：v : v2 = 1- aB.Pv . -2PQ ：刊 = aC. Pp 十2 _1 - aD.Pp切Pp: 6二空2n,且分位数均指定为“上侧分位数”时, C7A. (X U0.025)Jn8设X N（，；2）且二2未知，若样本容量为则）的95%的置信区间为（B. (X _ C. (X 二10.025 (n)勺n t°

8、;.05(n -1)v nSD. (X 二一t°.025(n-1)V n9设X N（ = ；2）,2均未知，当样本容量为 n时，匚2的95%的置信区间为（22 )X0.025 (n -1)A( -1)' (n -1)SX0.975 (n 1)B( (n-1)S2 , (n-1)S2)X0.025 (n-1) X0.975C.(4t°.025(n -1)(n-1)S2 )t0.975(n -1)D. (X ±孕怙025(n 1)Un】、填空题1点估计常用的两种方法是:2.若X是离散型随机变量，分布律是PX =x =P（x；r），（二是待估计参数），则似然函数

9、是，X是连续型随机变量，概率密度是f（X；“，则似然函数是3. 设总体X的概率分布列为：X 02 2P p 2 p(1-p) p 1-2p其中p (0 ： p ：1/2)是未知参数.利用总体X的如下样本值：1, 3, 0,2,3, 3, 1, 3则p的矩估计值为 _，极大似然估计值为 .4. 设总体X的一个样本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75则该样本的数学期望 E(X)和方差D(X)的矩估计值分别 .5.设总体X的密度函数为:0 : x : 1其他设X1,Xn是X的样本,则的矩估计量为，最大似然估计量为2 16假设总体X N(j；10某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠

10、的直径服从正态分布，且直径的方差为 :二=0.04 ,从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定=0.05则滚珠的平均直径的区间估计为 .(Z0.05 = 1.645 , Z0.025 = 1.96)11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.615.114.914.815.215.1已知原来直径服从N (J0.06)，则该天生产的滚珠直径的置信区间为,(a =0.05 , Z°.05 二1*645, Z0.025 =1.96).12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得)，且XXi，XX2,，Xn为

11、总体X的一个样本,n i 二则X是的无偏估计.27设总体X NC1 ,； )，XX2,Xn为总体X的一个样本，贝帰数k=,使n k送Xj -X为cr的无偏估计量.i 18从一大批电子管中随机抽取 100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为S =40.设电子管寿命分布未知，以置信度为0.95，则整批电子管平均寿命J的置信区间为(给定 Z°.05 =1.645 ,Z°.025 = 1.96).9设总体X N("，二2),"，二2为未知参数，则 的置信度为1的置信区间为S =0.2，则匚的置信区间为 (:. =0.1 ,2 (11) =19.

12、68 ,2 . (11) = 4.57)_ 12 2第八章假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域 W,置信水平：，及所谓的“小概率事件”，下列叙述错误的是（）.A.:的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述B 事件（X1,X2，Xn），W|Ho为真即为一个小概率事件C.设W是样本空间的某个子集，指的是事件（X1,X2，Xn）|H 0为真D .确定恰当的 W是任何检验的本质问题2.设总体XN（»；2）f2未知，通过样本X1,X2 ,Xn检验假设H。：要采用 检验估计量（）.X - J0X - J0X _X - 1A. :B. :C. :-D. / . nS/ . nS/ n；/

13、 . n3.样本X1,X2/ ,Xn来自总体N（122）,检验H。： 乜100,采用统计量（）.A.X -10012/ . nC.X -100S/、n -1D.224设总体X NC'S ）,；未知，通过样本X1,X2，,Xn检验假设H。：一0,此问题拒绝域形式为A.X二 100S/ .10CB.X-100 : Cs/如X -100C. S/J10CD. X C5设X1,X2/ ,Xn为来自总体N（=32）的样本，对于H。：丄=100检验的拒绝域可以形如（ ）A . X 卩 >CX -100B. X100AC C. >C D. X100VCS/V n6、样本来自正态总体N（&

14、#39;,；2）,未知要检验H°:；2=100,则采用统计量为（).A.(n -1)S2B.(n -1)S2C.100100D.nS21007、设总体分布为 N（ 7匚2）,若已知，则要检验H 0 :匚2 _ 100，应采用统计量（）.X -4A S/、n、填空题B.(n -1)S22CT' (Xi 1)C. i4100D.2-X)1001.为了校正试用的普通天平 行称量，得如下结果：,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进99.3,98.7,100.5,101,2,98.399.799.5102.1100.5,99.2假设在天平上称量的结果服从正态分布,为

15、检验普通天平与标准天平有无显著差异,H02.设样本X1,X2，,X25来自总体N（,9）,未知.对于检验H。=讥，H1取拒绝域形如 X 卩0 Xk，若取a =0.05，贝u k值为第六章样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2. (C) 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3. ( D)X 卩2对于答案D,由于 N(0,1),i =1,2，n，且相互独立，根据2分布的定义有n、(Xi)2空 2X2( n)CT4.(C) 注:X1芒7( ni 1)才是正确的5. (D)6C) 注:1 XXN(0,)，l t(n-1)才是正确的 nS JnHX -12 兰 1=2PX 12 兰 11

16、= 2PX12.；2 ,52 “5 ；1 =2：(T)17.(A)S29 - 2迟(Xi X )二 一 919_v X2-9 X2ii咼91285 -9 25“=7.588. (A)9. (B)由题意可知X1 +2X2 N(0,20)，X3 +X4 +X5 N(0,12)，X7 X8 X9 N(0,16)，且相互独立，因此2 2 2(X1 +2X2 ) +(X3 +X4 +X5 ) +(X6 +X7 +X8 +X9 ) 20 12111即 a ,b ,c =201216解:X61610(A)999解：' Xi N(0,92)= x Xi 9 N 0,1Y2i =1i =1i=1Z Xi

17、 9由t分布的定义有 身t 9J 81二、填空题1. 与总体同分布，且相互独立的一组随机变量2. 代表性和独立性CT23，n4. 0.15.26. 2（n-1）第七章参数估计一、选择题1.答案：D.1 n解因为二2 二 E（x2）e2（x），E?（X2）=A2Xi2，n 7n_所以，；?2 二E?（x2）_E?2（x）二丄、（Xi _x）2.n y2. 答案：A.L(a)最大,1 1 、， 解因为似然函数L（a） -，当a = max Xi时,a （maxXi）ii所以，a的最大似然估计为 maxVXX?,，Xn.3答案A .2 n 1" 121解似然函数L（丄，二）exp 2区-丄

18、），二.由 rlnL"y斗2兀 2yin L = 0，得二2 二 A2. P224.答案C.解在上面第5题中用取代X即可.5答案B.6答案C.7答案D.8答案D.9答案B.二、填空题:1.矩估计和最大似然估计;2丨【p(x)，丨I f(X；R ；ii13,0.2828;48解(1) p 的矩估计值 X =Xi =16/8=2，令 E(X)=3-4p = X ,id：得p的矩估计为 0=(3-X)/4=1/4.(2)似然函数为824L(p) = 一P(X 二 xj 二 P(X =0)P(X =1) P(X =2)P(X =3)=1= 4p(1-p)2(1-2p)4In L(p) =1

19、n4 6ln p 2ln(1 - p) 4ln(1 2p)628令I nL(p)0，二 12p2 -14p 3 = 0p 1 -p 1-2p二 p =(7 一 .13)/12.由 0：p：1/2，故 p=(7.13)/12 舍去所以p的极大似然估计值为0 = (7 - 13)/12二0.2828.4、1.71，0.00138 ；_送 X2解由矩估计有：E?(x)二x,E?(x2)= ，又因为 D(X)二 E(X2)-E(X)2，n所以 (XX= 17 1-75 1-7 1-65 175 =1.715:n且 3（x）二= 0.001385 (Xi -x)2 n i $5、？ = 2X 11 -X

20、n ' In Xii -4n；'二 In Xii=123解(1)的矩估计为:>'21E(X)=x (，-1)xdx =o样本的一阶原点矩为:所以有:？ = 2X 121 -X(2)的最大似然估计为:nnL(X1，Xn； ' W.I T)X乂 1)n(i【Xi)7id：nIn L = n ln(1) r In | X in二 In Xi =0i =1nn - 二 In Xi得：？=iTn' In Xii =16、1 nn解 E(X)E(Xi).n imn7、；712n(n -1)解注意到X1,X2,，Xn的相互独立性, 1Xi -XX1 -X2 (n- 1)Xi -XnnE(Xi -X) = 0,D(Xi -X)二n -1n所以，Xi -X N(0,n -1E(|Xi -X|)=z|z22 5n dz因为：Ek、|Xi -X|.i 1n -1Qn,2Fj2cyn dzZ'22一 2:厂nkL E|Xi2-X| =knn -1<7n所以，k二”2n(n _1)8、. 992.16，1007.84；解这是分布未知，样本容量较大，均值