必刷提高题114等腰三角形与最短路径问题解析版

1、2020-2021学年八年级数学上册同步必刷题闯关练（人教版）第十三章轴对称13.3-13.4等腰三角形与最短路径问题三角形的判定与性质【例1】（2020春盐湖区期末）如图，在AABC中，必平分ZABC, AG丄BF,垂足为点D,交BC于 点G, E为AC的中点，连接Q£DE = 3.5cm, AB = 4cm9则BC的长为（）A. 8cmB lOc/fiC 1 Is?【解答】解: BF平分ZABC, AG丄BF, .ZABD = ZGBD, ZADB = ZGDB = 9QP , .BD = BD, WBD 三 HGBD(ASA),AB = GB = 4cm AD = GD .E为

2、AC的中点，.QE是AAGB的中位线./. CG = 2DE = 1cm .BC = BG + CG = 4 + 7 = llm故选：C【变式1-1 （2020-河北模拟）嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点3出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30。方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏四60。方向上.若嘉嘉行走的速度为1”£,则淇淇行走的速度为（）A 0.5 mlsB 0.8 m / sC 1 mlsD 1.2 m / s【解答】解：由图可得：/043 = 90。一60。= 30。 ZABC = 9O° + 3O° = 12O%. ZA = 180

3、6; -120° - 30° = 30° >J. AB = BC,嘉嘉行止的速度和淇淇行走的速度相同，H|. bn/s »故选：c.【变式12】（2020春沙坪坝区校级期末）如图所示，在等腰AABC中，AB = AC, ZB = 50°, D为BC的中点，点£在皿上，ZAED = 73°,若点P是等腰MBC的腰上的一点，则当AEDP为以£>£为腰的等腰三角形时，ZEDP的度数是【解答】解：.AB = AC, ZS = 50% ZA£D = 73% ZEDB = 23。v -I ADE

4、P是以Z£DP为顶角的等腰三角形， 当点P.AB上，DE = DR， ZDE = ZAED = 73。,./EDP、= 180。一 73° 一 73° = 34° , 当点P在AC上，/ AB = AC . D为BC的中点，：.ZBAD = ACAD .过D作DG丄AB于G, DH丄AC于H , :DG = DH ,在 RtAEEG *j Rt A DP2H 中，、戈=巴 DG = DH RtADEG = Rt A.:.ZAD = ZA£D = 73°> Z&4C = 180°-50o-50o = 80o ,.

5、ZED巴=134。, 当点P在AC上，同理证得 RtADEG = RtADPH(HL) >. ZEDG =牛 DH , ZED/ = ZGDH = 100° , 同理可得，ZEDP = 53.5°：故答案为：34。或53.5。或100。或134。DEI I AC【变式13】（2019秋镇原县期末）如图，在中，AD平分ZBAC, AD丄BD于点D,交AB于点、E，若AB = 8，则DE =n】计：十決戈,：CAD = ZBAD,DEIIAC,：.Z.CAD = ZADE.:ZADE = BAD.AE = DE， BD 丄 AD. I ZADE + ZBDE = ABAD

6、 + ZABD = 90° ,.ZABD = ZBDE,.DE = BE，.DE = -AB.2. AB = 8,.DE = -J-x8 = 4 2故答案为：4.【变式14】(2020春岱岳区期末)如图，在AABC中，AB = AC,点£、E、F分别在初、BC、AC 边上，且BE = CF , BD = CE(1) 求证：ADEF是等腰三角形；(2) 当厶=40°时，求ZDEF的度数.【解答】证明:AB = AC/. ZABC = ZACB,在SDBE和ACEF中rBE = CFAABC = ZACB,BD = CE:.SDBE = HCEF ,.DE = EF,

7、皿卜§腰三角形：(2)3BE三HCEF， .Z1 = Z3， Z2 = Z4, -.ZA + ZB + ZC=180°,.ZB = 1(180°-40°) = 70° 2.Zl + Z2 = 110°/.Z3 + Z2=110°.ZDEF = 70°【变式15】 （2019秋刑家庵区期中）如图，AABC中，AB = AC.厶、ZC的平分线交于O点，过 O点作EFHBC交朋、AC于E、F（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由.（2）如图，若MhAC,英他条件不变，图中还有等腰三

8、角形吗？如果有，分别指出它们.在第（1） 问中EF与施、CF间的关系还存在吗？（3） 如图，若MBC中的平分线BO与三角形外角平分线8交于O,过O点作OE/BC交AB于E , 交AC于F这时图中还有等腰三角形吗？ EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由.【解答】解:（1）图中有5个等腰三角形，EF = BE + CF、.ZEO三HCFO,且这两个三角形均为等腰三角形,可得 EF = EO+FO = BE + CF：（2）还有两个等腰三角形，为ABEO、'CFO, 如下图所示：EF / /BC、.Z2 = Z3,又 Z1 = Z2.Z1 = Z3,3EO为等腰三角形，在ACFO中，同理

9、可讣.EF = BE+CF存住.（3）有等腰三角形：ABEO、'CFO.此时£F = BE-CF，如下图所示：OEUBC. /.Z5 = Z6>又 Z4 = Z5 , /.Z4 = Z6,：.SBEO是等腰三角形，任ACFO中，同理可证CFO是等腰三角形， BE = EO, OF = FC ,.BE = EF + FO = EF + CF,.EF = BE-CFA知识点2：等边三角形的判定与性质【例 2】（2019 秋龙岩期末）如图，AB = AC AE = EC = CD, ZA = 60°> 若EF = 2,贝ij" = （）BCDD6A.

10、 3B 4C 5【解答】解：如图，过点E作EG丄BC,交BC于点G. AB = AC, ZA = 60°,.A4BC是等边二角形，/.ZACB = 60°EC = CD. ZCED =乙CDE = IzACB = 30° 2/.ZAEF = 30°,/.ZAre = 90°,即 EF丄AB,AABC 是等边 J AE = CE，.BE 平分 ZABC,EG = EF = 2,在 RtAEEG 中，DE = 2EG = 4,：.DF = EF +DE = 2+4 = 6方法二、/AB = AC. ZA = 60°,.AABC是等边三角形

11、，ZACB = 60°: EC = CD. ZCED =乙CDE = ZACB = 30。2/ SABC是等边三角形，AE = CE,:.BE 平分 /ABC.:.ZABE = ZCBE = 30° = ZCDE, .BE = DE ZBFD = 90°.BE = 2EF = 4 = DE，.DF = DE + EF = 6；故选：D.【变式21】 （2019春杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A. 等边三角形中，各边都相等B. 等腰三角形是特殊的等边三角形C. 两个角都等于60。的三角形是等边三角形D. 有一个角为60。的等腰三角形是等边三

12、角形【解答】解：A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确：3、等边三角形是待殊的等腰三角形，此选项错误：C、两个角都等于60。的三角形是等边三角形，此选项证确；D、有个角为60。的等腰三角形是等边三角形，此选项正确；故选：B.【变式2-2 （2017秋巢湖市期末）已知如图等腰MBC, AB = AC, ZBAC = 120°, AD丄BC于点D，点P是3A延长线上一点，点O是线段Q上一点，OP = OC,下而结论：ZAPO+ZDCO = 30°：OPC是等边三角形；= +$帥=尙边机心：其中正确的有（填上所有正确结论的序号）【解答】解：如图,pD 连接OB，-AB = AC

13、. BD = CD,.AD是BC垂直平分线，OB = OC = OP,:.ZAPO = ZABO. ZDBO = ZDCO, ZABO + ZDBO = 30°. ZAPO + ZDCO = 30° 故正确： 5OBP 中，/BOP = 180°- ZOPB - ZOBP ABOC 中，ZBOC =嘶 一 ZOBC - ZOCB /. ZPOC = 360° - ABOP - ZBOC = ZOPB + ZOBP+ZOBC + ZOCB /OPB = ZOBP, ZOBC = ZOCB ,:.ZPOC = 2ZABD = 60P,PO = OC.:.gp

14、c是等边三角形，故正确： 在AB I：找到Q点使得AQ = OA,则AAOQ为等边三角形，则 Z3QO = ZE4O = 120。，在MQO和40中，乙 BQO = ZPAO< ZABO = ZAPO ,OB = OP SBQO = APAO(AAS).PA = BQ, AB = BQ + AQ，:.AC = AO+AP.故正确; 作CH丄BP D AHCB = 60° ZPCO = 60°,.ZPCH = /OCD、在ACDO和ACHP中,ZODC = ZPHC = 90°< ZOCD = ZPCHoc = CP(等边三角形边长相等)：.CDO =

15、ACHP(AAS),OCD °、CHPCH = CD,: CD = BD.：.BD = CH,在 RtAABD 和 RtAACH 中,AB = ACBD = CHSABC = SOC +、MBD + '、OCD. RtAABD = RtAACH(HL),四边形OAPC而积=Sqc + Sgc + Sgp， 四边形OAPC血枳=眈故钻氏.故答案为：.【变式23】（2016东丽区一模）如图，在AABC中，AB = AC D、E是A4BC内的两点，平分ABAC.ZD = ZDBC = 60°，若 BD = 5em, DE = 3cm,则 BC 的长是cm BC【解答】解：

16、延长加交BC于延长AE交BC于 AB = AC A£平分ABAC,./W 丄 BC, BN = CN、ZDBC = ZD = 60°,为等边三角形，.BD = DM = BM=5,DE = 3,.EM = 2,3DM为等边三角形，./DMB = 60/W丄BG.ZEM/=90。.ZN£M=30%.N.BN=4,.BC = 2BN = 8(c/n),【变式24】（2019春市中区期中）如图，在等边A4BC中，AB = 9cm点P从点C出发沿CB边向点B 点以 WS的速度移动，点0从3点出发沿边向A点以Semis速度移动.P、0两点同时岀发，它们 移动的时间为/秒钟.

17、（1）你能用/表示BP和BQ的长度吗？请你表示岀来.（2）请问几秒钟后，WBQ为等边三角形？（3）若P、0两点分別从C、两点同时岀发，并且都按顺时针方向沿比4BC三边运动，请问经过几秒钟 后点P与点0第一次在SABC的哪条边上相遇？A【解答】解:(1)VA4BC是等边三角形,BC = AB = 9cm ,点P的速度为2cm/ s，时间为ts , .CP = 2t、则 PB = BC-CP = (9 - 2t)cm :点Q的速度为Semis,时间为ts ,.BQ = 5f ；（2）若PBQ为等边三角形，则有BQ = BP，即9一2/ = 5八9解得7所以当/号时，APB0为等边三角形；（3）设s

18、时，Q与P第一次相遇，根据题意得：5/-力=18解得f = 6,则“时，两点第一次相遇.-'1 t = 6s时，P走过得路程为2x6=12cm»而9<12<18,即此时P在边上，则两点在汕上第一次相遇.知识点3：含30度角的直角三角形【例3】（2020春新邵县期末）如图，在 WC中，ZC = 90。，AC = 2, ZB = 3O。，点P是BC边上一动点，连接廿，则AP的长度不可能是（）A. 2B3C4D5【解答】解：根据垂线段最短，可知抄的长不可小于2： A4BC中，ZC = 90% AC = 2, Zfi = 30°,.AB = 4,-AP的长不能大

19、于4,故选：D.【变式31】（2020-安徽四模）如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，ZBAC = 120°,分别以点C，A 为圆心.大于丄CA的长为半径画弧两弧交于点M, N,作直线MN分别交CB, C4于点E, F,则线段BE 2与线段EC的数量关系是（）BA. BE = 3ECB 5BE = 3ECC 3BE = 2ECD BE = 2EC【解答】解：在A4BC中，AB = AC山C = 120°,. ZB = ZC = 3O° 如图,连接£4,由尺规作图可知直线MN是线段C4的垂直平分线，：.EA = EC:ZEAC = ZECA = 3

20、OQ，:ZBAE = ZBAC-ZEAC = 90° 在 RtABAE 中，ZB = 3O%.BE = 2EA, :.BE = 2EC 故选：D.MB【变式3-2 （2020春市南区校级期中）如图，在AABC中，AB = AC = 3cm> ZA = 12O°> AB的垂直平分线分别交BC于D, E,则EC的长为 【解答】解:AB = AC = 3cm> ZA = 12O% ZB = ZC = 1(180°-120°) = 30° ,2连接AE，£D垂宜平分AB， .AE = BE, ZEAZ) = 3O°

21、, vZA = 120°， /.ZE4C = 90%CE = £cos30°2故答案为：20【变式33】（2020春徳阳期末）如图，在RtAABC中，ZABC = 90% ZACB = 30% 初=2,点E为AC 上任意一点（不与点A、C重合），连结仞，分别过点A、B作BE、AE的平行线交于点F,则EF的最小值为BC【解答】解：如图，过点3作阳丄AC于在 RtAABC 中，.ZABC = 90。，AB = 2. ZC = 90° ,.AC = 2AB = 4> 眈=丛心30。= 20.ZBHC = 90°bh='bc = 

22、4;2: BEIIAC.当EF丄AC时，EF的值最小，最小值=8/=石，故答案为的【变式3-4 （2018春碑林区期中）已知：如图，在RtAABC中，ZC = 90°, BC = -AB 求证：ZA = 3O°.【解答】证明：取M的中点连接仞，-.ZC = 90°，点D是初的中点，:,CD = AD = BD = AB2.ZA = ZDC4 ,bcJab,2.CD = BD = BC、s.ABCD是等边三角形，.ZBDC = 60°.ZA = ZDC4 = 30° 【变式3-5 (2017秋乐陵市校级期中)如图，是等边三角形，3D是角平分线，过

23、点D作必丄仙 于E交边延长线于F，AE = .(1) 求证：DC = CF；(2) 求的长.【解答】证明： AABC是 9三角形,ED是中为 .SZ4S6。，心眈，AD = CD = -AC DE丄初于E,ZADE = 9O°-ZA = 3O。，.CD = AD = 2AE = 2,ZCDF = ZA£）E = 3O。， ZF = ZACB - ZCDF = 30° , ZCDF = ZF, DC = CF ,（2） DC = CF.BF = BC + CF = 2AD + AD = 6 知识点4：轴对称最短路线问题【例4】（2020春抚远市校级期末）如图，ZAO

24、B = 30°,点M、N分别是射线03、OA上的动点，点P为ZAOB内一点，且OP = 4,则APMN的周长的最小值为（）【解答】解：分别作点P关于°4、03的对称点6 D,连接CD,分别交OA、OB于点MJ NS连接OC、OD、PM9. PN'BD.点P关于Q4的对称点为C, PM，= CMU OP = OC, ZCOB = APOB ;点P关于OB的对称点为D，:PN = DN、OP = OD, ZDOA = APOA, .OC = OD = OP = 4, /COD = ZCOB + /POB + APOA + ADOA = 2ZPOA + 2许OB = 2Z

25、AOB = ©、. MOD是等边三角形， .CD = OC = OD = 4 当M、N分别与M'、M重介时，SPMN的周长的最小值= PM, + M,Nt + PNf = DNf + MfNt + CM, = CD = 4.故选：B.【变式41】（2019秋石台县期末）如图，SABC的而积为12, A5 = AC，BC = 4, AC的垂直平分线EF 分別交初，AC边于点E, F ,若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则APCD周长的最小 值为（ ）【解答】解：连接加力VMBC是等腰三角形心D是BC边的屮点,. Sg = 1 BC.AD = lx4xAD = 12,2 2解

26、得AD = 6 ,EF是线段AC的垂宜平分线，点C关于直线EF的对称点为点A，二AD的长为CP+PD的最小值，.CDP 的周长最短= (CP+PD) + CD = A£> + lBC = 6 + lx4 = 6 + 2 = 8 2 2故选：B.【变式42】(2020春郸都区期末)如图所示，ZAOB = 60°，点P是"OB内一定点，并且OP = 2,点M、N分别是射线Q4,03上异于点O的动点，当APMV的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为【解答】解：作点P关于08的对称点PS点P关于04的"称点严，连接PF与04, OB分別2点M与N则P严的

27、长即为周长的最小值，OP = 2， ZAOB = 60°>.4 = " = 30。 OP = OP9 = 2.0C = 1oP = h2故答案为1【变式4-3）（2019秋九龙坡区校级期末）已知A4BC为等腰三角形，AB = AC = O. BC = 8, BD为ZABC 的平分线，点P为线段3Q上的一动点，过点P作线段的垂线，垂足为点M,连接AP，则PM + PA的最小值为【解答】解：如图，过点P作PK丄BC于K,过点A作AH丄BC于.BH = CH=4,.ZAHB = 90° ,:.ah = Jab? - bW = io2-42 = 2V2T > BD 平分 ZABC，PM 丄 AB, PKkBC, :PM = PK.PA + PM = PA + PKAH,:PA + PM2y/2A./. PA