广义积分的收敛判别法

1、第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算 , 在实际应用中，我们将发现大量的积分是 不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工 作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近 似值 . 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫 无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理(Cauchy收敛原理)f(x) 在 a, +)上的广义积分f(x)dx收敛的充分必a要条件是：0, 存在 A0, 使得 b, b A 时，恒有证明：对 lim f (x)dx 0使用柯西收敛原理立即得

2、此结论bb同样对瑕积分f (x)dx( b为瑕点),我们有a定理(瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在a, b)上有定义，在其任何闭子区 间a, b-上常义可积，则瑕积分a f(x)dx收敛的充要条件是：0 ,0, 只要 01,那么积分f(x)dx收敛，如f(x)xpaCauchy判别法:,p 1,则积分a f (x)dx发散.定理如 lim xpf(x) l (0 lx,P1),则积分af (x)dx收敛.如bimxPf(x) |,P 1,f (x)dx发散.例 判断下列广义积分的收敛性。1ln(1-)xdxmx .dx1 xn(m0, n0)解：(1)因为0 ln(1 -)x1/

3、dx收敛推出!ln(1dx收敛.(2)因为limxmn m xx n1 x1,所以当nm1时，积分1m+dx收敛.当n-m 1时，积分对于瑕积分，使用m1- n dx发散.11 xnb 1- pdx作为比较标准，我们有下列柯西判别法.a (x a)p定理 设x=a是f(x)在a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积，那么Cb(1) 如 0 f(x)p (c0), p0) p h 则ba f (x)dx发散.瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理设 lim (x a)p f (x) kx a如 0 kv , p1,则 bf(x)dx收敛f (x)dx 发散.1,那么如 0vk,p判别下列瑕

4、积分的敛散性。(1)1dx0 (1 x2 *)(1 k2x2)(k20)2 dx0- pqsin xcos x解:(1)1是被积函数的唯一瑕点因为 lim (1 x) 0与 都是被积函数的瑕点. dx )2(1 k2)x J(1x2)(1k2x21由p 知瑕积分收敛.2散.dx先讨论 4,由lim0 sin xcos x x 0当p1时，瑕积分dxp再讨论dx2pq4 sin xcos xxp11-pqsin xcos x04r厂收敛；当p 1时,瑕积分04 p dx q发sin xcos x0 sin xcos x因limx 2(2 x)p1 pqsin xcos x_ dx所以当q1时，瑕

5、积分p dx q收敛，pq4 sin xcos x当 q 1时，瑕积分 2dx 发散.pq4sin xcos xdx综上所述，当p1且q1时，瑕积分01 当 -时发散.pdx q收敛；其他情况发散.sin xcos xi例 求证：若瑕积分f (x)dx收敛，且当x 0时函数f (x)单调趋向于+ ,则lim x0x 0证明：不妨设已知f (x)=0.x (0,1, f(x) 0,且 f(x)在(0, 1)上单调减少。1 f(x)dx收敛，由柯西收敛准则，0,0( 1),从而x0 f(x)2xx f (t)dt200),1v-时收敛31/证明：.Timx 0x3x(1 cosx)=lim x 0

6、3xx31 cosxlim2x 01 cosx2 x2 x1所以当3 1时，即 丄时，瑕积分收敛.当31,即卩-时，瑕积分发散.3 3前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果.定理(积分第二中值定理)设g(x)在a,b上可积，f(x)在a, b上单调，则存在Ea, b使ba f (x)g(x)dx = g(a) a f (x)dx g(b) a f (x)dx为了证明定理，我们先讨论下列特殊情况.引理设f (x)在a, b上单调下降并且非负，函数g(x)在a, b上可积，则存在c a, b，使bcf (x)g(x)dx=f (

7、a) g(x)dxaax证明：作辅助函数(x)二f (a) g(t)dt,对a, b的任一分法aP:a=xoxix2 A时，有 xg(x)|4M于是，对 A, AA有I=2 2由Cauchy收敛原理知f(x)g(x)dx收敛a例讨论广义积分1叱dx的敛散性,1 xg(x)二cosx1解：令 f(x)=-,x则当x时,f(x)单调下降且趋于零,AF(A)= 1 cosxdx=sin A sin1 在a,)上有界.由Dirichlet判别法知1 co空dx收敛,1 x另一方面 因1 ldx发散1讐dx收敛从而非负函数的广义积分-讐dx发散 由比较判别法知1 妙$dx发散,1 x所以-竽dx条件收敛

8、 例讨论广义积分1如xdx的敛散性.解：由上一题知，广义积分cosxdx收敛，而arctanx在a, + )上单调有界,1 x所以由Abel判别法知-coarctanxdx收敛。另一方面，当x 3,)时，有前面已证-宁dx发散cosxarctanxdx 条件收敛.判别法由比较判别法知|cosxarctanxl dx发散，所以1对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichletb定理若下列两个条件之一满足，则f (x)g(x)dx收敛：(b为唯一瑕点)一b(1) (Abel判别法) f(x)dx收敛，g (x)在a, b)上单调有界 ag( x)在b (Dirichlet 判别法) F(

9、) = f(x)dx在a, b )上有界, a(0, b a上单调，且 lim g(x) 0.x b证明：(1)只须用第二中值定理估计2)的证明. 12)的敛散性1si n 例讨论积分一 dx (0 p0 xp解：对于0p1 ,因为1 1由0-dx收敛知绝对收敛敛对于0 p2,因为函数f (x)=x2 p，当x 0时单调趋于0,而函数满足所以积分 1sin1_x0 xpdx但在这种情况下,1 sin x xp事实上g(x)=1sin x2x.1 sinp于dx收敛.xdx是发散的,11 sin x xp.2 1sin xxp2cosx2xp(6)dx发散2cos10云占dx收敛，1 1因0dx

10、发散，从而当0 p2时，积分条件收敛.最后我们讨论p=2的情形,因为.1 sin10时，上式无极限，所以积分0一 dx发散.0 x值得注意的是，两种广义积分之间存在着密切的联系设：f (x)dx 中 x=a 为f(x)的瑕点，作变换1y=,贝廿有x aba f (x)dx =f(a-)2 dy,而后者是无限 y区间上的广义积分.习题1、论下列积分的敛散性(包括绝对收敛,条件收敛，发散)(1)In In x sin xdx ；In x sin x2dx ；-dx ；2 . 2 UA， cos xsin x(5)1 In x , dx;0x211xp 1(101xp 10 In xx)q 1 In

11、 xdx ；xq 1dx (p,q 0)；(8)- dx ； p q x xp 1 xx e dx;(9)(10)(11)p 1xp .2 dx;1 x2sinxe sin2x , p dx ； xq -x sinx厂dx (p 0);1 xpsin(x -) 严 dx (p 0).xp12.证明：若瑕积分0f(x)dx收敛，且当xlim x f (x)=0 .x 0(12)0时,函数f(x)单调趋于+,则3.若函数f(x)在a,)有连续导数flx),且无穷积分 f(x)dx与a *a4.f/(x)dx都收敛，则 lim f (x)=0 .x设f(x)在a,)上可导，且单调减少,limxf (x)=0,求证:5.6.7.f (x)dx收敛aa证明：若函数f(x)在a,xf/(x)dx 收敛.)上一致连续,且无穷积分af (x)dx收敛，则lim f (x)=0.x求证：若无穷积分1 f(x)=o().xf (x)dx收敛,函数f(x)在a,)内单调，则计算下列广义二重积分的值.(1