完全平方数大全

1、完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例1.例12.例23.例34.例45.例56.例67.例78.例8七、讨论题、Q定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫 平方数。1.1例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，2、标准分解式：大于1的平方数n的标准分解式如下：IllPk*2l12l2P1 P2其中 k -1, J ： P2 ： III ： Pk, Pl, P2,|l|P

2、k 是质数，h,l2,H|,lk 是自然数。2.1例如：OOOOAOOOO36 =23 ,100 =25 ,144 =23 ,900 = 235 ,l|二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下 面我们来研究完全平方数的一些常用性质：1、性质1:末位数只能是0,1,4,5,6,9.(此为完全平方数的必要不充分条件)证明：设n2(nN)为完全平方数，此是n的个位数，则n2的个位数与n

3、02的个位数相同。 利用整数同余的知识有如果 n = n0(mod10)，那么 n2 = n02(mod10)又山的全体是集合 10,1,2,3,4,5,6,7,8,9 匚 n02 的全体是0,1,4,9,16,25,36,49,64,81?，n。2的个位数全体是0,1,4,5,6,9 ?。所以平方数 末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2:奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶 数。证明奇数必为下列五种形式之一：10a 1,10a 3,10a 5,10a7,10a 9分别平方后，得(1 Oa +1) = 100az + 20a +1 = 20a(5a 4-1) -

4、F1(lOff + 3 =100/ + £0盘 + 9 二 20(5i + 3) + 9(l0i? + 5)z = 100z + 100ff + 25=20(5/iz+5 + l) + 5107 + 7)2 = lOOoTUOa + 49 = 20(5/ + 7 + 2J + 9(105 4-9)2 = lOOalSOa + Sl = 20(5o2+9 + 4l综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9 ;十位数字为偶数。3、 性质3:如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之也成立 证明 已知p/二10P + 6，证明k为奇数。因为k的个位数为6,所以m的个位数

5、为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则10k6 二(10川 + 4)2 二 100n2 + 80M + 16或10k6 = (10n + 6)3 = 100m3 + 120h + 36即fc= lOn + gHl =2(5/i3 +4h) + 1或t = 10rr2+12n+ 3 = 2(5n2 +6h) + 3k为奇数。推论1:如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是 6,则它的十位数字是偶数。4、性质4:偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。证明：这是因为5、性质5:奇数的平方是8n+1型；偶数

6、的平方为8n或8n+4型。 在性质4的证明中，由k(k+1 ) 定为偶数可得到:是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)2为8n型或8n+4型的数。 &性质6:形式必为下列两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2平方后，分别得(3m)2 = 9m2 = 3k7、 性质7:不是5的因数或倍数的数的平方为5k _1型，是5的因数或倍数的数 为5k型。证明：自然数被5除按余数的不同可以分为五类：5m,5m_1,5m 2, m为自然数。(5m)2 =5 (5m2) =5k，22(5m士 1) =5 (5m 士2m) 1 = 5k 1，22

7、(5m 二2) =5 (5m 二4m 1)-1 = 5k-1.8、 性质&形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9.证明：自然数被8除按余数的不同可以分为八类：8m,8m_1,8m_2,8m_3,8m - 4,，m为自然数。(8m)2 =16 (4m2) = 16k,(8m _1)2 =16(m2 + m) 1 =16k 1,2 2(8m _2) =16(m _2m) 4=16k 4,(8m 一3)2 =16(m2 _3m) 9 =16k 9,(8m 4)2 =16(m2 4m 1)=16k.除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位 数

8、字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13, 13叫做256的各位数字 和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4, 4也可以叫做256的各位数字的和。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得 到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面证明这个命题。证明：设自然数n =10m am 10m4 am410印理，am,am亠川，3,冼是0,1,2,3,4,567,8,9 之一，那么n -临 am4 JU '印 a。)= (10m -1) am (10m"

9、* -1) am4 丨丨1 99 a? 9 a1=9 (11 帥 am 11 MH amjlll 11 a2 ajm个 1m +个1是9的倍数。即n 三(am am 二川 q a°)(mod9)关于完全平方数的数字和有下面的性质：9、性质9:数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k ± 1,9k ±2,9k ±3,9k ±4这几种形式，而(9Jtz=9(9kz) + 0(9k±l =9(9k2±2k)¥l(9*±23 =9(9k3±4fc)+4(9Jfc

10、7;3)29(9fc2±6k) + 9(9Jl±4)2 = 9(9k2 ±+ 1)+7除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：10、 性质10： a=bc2( c是自然数)为完全平方数的充分必要条件是 b为完全 平方数。证明 充分性：设b为完全平方数，则有b=b|2, b|是那么a =bc2二b|2c2 = (be)2是 完全平方数。必要性：若a为完全平方数，则有a=aj2，则有aj是c2的倍数，从而印是c的倍数，设a =kc，则有a = aj = (kc)2二k2c2 = bc2，推出b = k2是完全平方数。11、性质11：如果质数p能整除a,但p的平方不能整

11、除a,则a不是完全平方 数。证明 由题设可知，a有质因数p,但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方 为1,而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见 a不是完 全平方数。性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。即若rt2 < A:2 < (fl + l)2则k 一定不是整数。13、性质13： 一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是 n有奇数个正因数 (包括1和n本身)。证明一：设完全平方数 n= 口 1p2 2pk k，由初等数论知识得，n的正因数的个数匚(n )=(2h 1)(212 1)川(2lk 1)是奇数。反之，自然数n =詁p；

12、2川p/的正因数的个数匚(n)二(t1)(t2 1川|仇1)是奇数， 则 tjUHtk 均为偶数。从而 n = p1tl p2tMIpkt Pi211 p22b III pk2lk 是完全平方数。证明二：设完全平方数 n =a2，那么每个小于a的正因数a，都有一个大于a的正因数-与之对应，这样的正因数就有偶数个，最后还有1个正因数a，从而n有奇数个正因q数。三、重要结论1. 个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。由性质1得到。2. 个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。由性质2得到。3. 个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。由性质3得到4. 形如3n+2型的整

13、数一定不是完全平方数；5. 形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；6. 形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；7. 形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；8. 数字和是2,3,5,6,8 的整数一定不是完全平方数。9. 四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和10. 完全平方数的因数个数一定是奇数。11. 如果m,n自然数，且m_n是10的倍数，那么m2的个位数与的n2个位数相同。 或者更一般的有：女口果m,n自然数，且m_n是10k的倍数，那么m2的末尾k位数与的n2的末尾k位数相同。或者如下书写：如果 m n =

14、0(mod10k),那么 m2 = n2(mod10k)证明1 (由整数同余式的性质立即可以得到)k22k22kkk证明 2：已知 m=10 _n，那么 m -n =(10 一 n) -n =10(102 n)是 10 的倍数,从而m的末尾k位数与的n的末尾k位数相同。四、平方式和完全平方数的区别完全平方式分两种：1、完全平方和公式(a b)2 =a2 2ab b2， (a - b)2 =a2 -2ab b22、完全平方差公式2 2a -b =(a b)(a -b)区别：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数五、特殊的完全平方数1、雷劈数，或名卡布列克数定义为：若正整数X(在n进位下)的平方可

15、以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X,那么X就是(n进位下的)卡布列克数。例如 55八2=3025,而30+25=55印度数学家卡普列加(Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986 )在 一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半：一半上写着30,另一半写着25。这时，卡布列克忽然发现 30+25=55, 55A2=3025,把劈 成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。 按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”。卡氏数可以指平方

16、后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。求法人们容易找到其他的数也具有这样的性质。例如，易知2025具有该性质：20+25=45, 45八2=2025。求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。以下是两种最简单的 办法(以两位数+两位数为例)：方法一设该数的前两位为x，后两位为y,根据定义，有(x + y)A2 = 100x + y即 xA2 + 2(y - 50)x + yA2 - y = 0。该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数，而y本身也必须是平方数 的尾数，故可求得y等于1或25,从而求得四个结果2025, 3025, 9801和0001(舍去)。方法

17、二同样设该数的前两位为x,后两位为y。于是有(x + y)A2 = 100x + y = x + y + 99x(x + y)(x + y - 1) = 99x从而看出x + y与x + y - 1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数(当然依照位数不同，也可能是别的因数)，从而找出候补者44, 55和99。下略。用以上方法，亦可找到其他位数的雷劈数，如7777八2 = 60481729; 6048 + 1729=7777。目前最小的雷劈数是81简单性质一般而言，考察雷劈数时，一般不考虑分割后的一部分全部为 0的情况(如 10+0)。 亦不考虑由0开始的数字(如0+1)。最小的奇雷劈数是9A2

18、 = 81 o最小的雷劈偶数是100:10+0=10 102=100如果MA2是雷劈数，那么(10.0 - M)A2 也是雷劈数.证明：设皿八2是雷劈数，可以分割成x和y两部分，且M=x+y y为n位数，则MA2=10An*x+y (雷劈数定理)然而(10a n-MF2=10A(2 n)-2M*10A n+MA2=10A(2 n)-2M*10A n+10A n*x+y=10A(2 n)-2M*10A n+10A n*(M-y)+y=10A n*(10A n-M-y)+y同样满足雷劈数方程。在二进制下，所有的完全数都是卡布列克数(同雷劈数)。雷劈数表以下用x|y表示一个平方数N可以分割为x和y两

19、部分，(x + yF2 = N 。y 是一位数：10x + y = (x + y)A2N=0|0, 10|0, 0|1,8|1有意义的数只有9A2 = 81 oy 是两位数：100x + y = (x + y)A20A2 = 0|00, 100A2 = 100|0045人2 = 20|25, 55人2 = 30|2599A2 = 98|01, 1A2 = 0|01其中有意义的数是 45八2=2025, 55八2=3025。0|0.0, 0|0.1, 10.0|0.0这三种属于平凡解，下略。根据上节的性质，雷劈数必然成对存在；但 9.98|0.01是比较特殊的一类，与其成对的0|01属于平凡解。

20、y 是三位数：1000x + y = (x + y)A2297A2 = 88|209703A2 = 494|209999A2 = 998|001y 是四位数：10000x + y = (x + y)A22223A2 = 494|17297777A2 = 6048|17292728A2 = 744|19847272A2 = 5288|19844950A2 = 2450|25005050A2 = 2550|25009999A2 = 9998|0001 y 是五位数：100000x + y = (x + yF2 9512M2 = 90480|04641 4879八2 = 238|04641 8265

21、6A2 = 68320|14336 17344A2 = 3008|14336 77778A2 = 60494|17284 22222八2 = 4938|17284 99999A2 = 99998|00001 y 是六位数：1000000x + y = (x + yF2 994708A2 = 989444|005264, 5292八2 = 28|005264 961038A2 = 923594|037444, 38962八2 = 1518|037444 857143A2 = 734694|122449, 142857八2 = 20408|122449 851851A2 = 725650|1262

22、01, 148149八2 = 21948|126201 818181A2 = 669420|148761, 181819八2 = 33058|148761 812890A2 = 660790|152100, 187110八2 = 35010|152100 791505A2 = 626480|165025, 208495八2 = 43470|165025 681318A2 = 464194|217124, 318682八2 = 101558|217124 670033A2 = 448944|221089, 329967八2 = 108878|221089 648648A2 = 420744|22

23、7904, 351352八2 = 123448|227904 643357A2 = 413908|229449, 356643八2 = 127194|229449 609687A2 = 371718|237969, 390313八2 = 152344|237969 538461A2 = 289940|248521,461539八2 = 213018|248521 533170A2 = 284270|248900, 466830八2 = 217930|248900 500500A2 = 250500|250000, 499500八2 = 249500|250000 999999A2 = 9999

24、98|0000012、对称的完全平方数 例如(1) 121 =112,484 =222,676 =242(2) 10201 =1012, 12321 =1112, 40804 =2022,44944 =2122(3) 1002001 =10012,4008004 =20022 , 口3、完全平方数与自反数 例如：(1) 144 =122,441 =212,(2) 169 =132,961 =312,2 2(3) 12544 =112 ,44521 =211 ,(4) 12769 = 11于,96721 =3112, 14884 = 122得 ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,b

25、f+ce=-2,cf=1 ，解得 a=d=e=b=1,c=f=-1故(1)可被分解为 (川2 + h- I)2 =m(« + 1) - if因为n与n+1是连续两个整数，故n(n+1)为偶数，所以n(n+1)-1为奇数，即(n-1) n(n+1)( n+2)+1为一个奇数的平方。,221 =48841,4、由0,1,2,3,4 五个连续自然数组成的五位平方数23104 =1522,32041 =1792六、范例1、例1一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m2 2x+44=n (m,n为自然数)-可得：n2 - m2 = 89

26、e-+=89因为 n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。代入得。故所求的自然数是 1981。2、例2求证：四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛 题)。解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.这时，(n -1)n(n 1)(n 2) 1 = n4 2n例3 n2 _2n 1 (1)易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为(cn3 + /)求证：11,111,1111 , 11111这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞 赛题)。解：易知该串数中若存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方。当该串

27、数中存在末尾为1的数的平方时，贝U="(10*+13,其中n、k为正整数。但料= 100以 + 2恥“，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。当该串数中存在末尾为1的数的平方时，贝U以二10斤+ 9尸，其中n、k为正整数。但n2 二(10k+9)2 二 100k2+ 180k + 81 = 100k(lt + l + 161，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。4、例4用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为6003|600 二 3|A此数有3的因数，故9|A。但9|600 ,二矛盾。故不可能有完全平方数。5、例5试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字 也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。解：设该四位数为1000a+100a+10b+b则1000a+100a+10b+b=110