高中数学8.6.3平面与平面垂直应用案巩固提升新人教A版必修第二册

1、8.6.3 平面与平面垂直A 基础达标1 .经过平面a外一点和平面 a内一点与平面 a垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：选D.当两点连线与平面 a垂直时，可作无数个垂面，否则，只有 1个.2 .从空间一点P向二面角a-l- §的两个面a, §分别作垂线 PE PF, E, F为垂足，若 /EP已60。，则二面角 a-l- B的平面角的大小是（）A.60°B.120 °C.60°或120°D.不确定解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120。；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°

2、 .3 .已知直线a, b与平面a , B , Y ,下列能使a ± 3成立的条件是（）A. oc_Ly,B_LyB. a n 3 = a, b_L a, b? 3C.a "B,a"aD. a"a,a，B解析：选D.由a / a ,知a内必有直线l与a平行.而a, B ,所以l，B ,所以a ± 3 .4 .在四柱 ABCDABCD 中，已知平面 AACC,平面 ABCD 且 AB= BC, AD= CD 贝U BDf CC （）A.平行B.共面C.垂直D.不垂直解析：选C.如图所示，在四边形 ABCDL因为AB= BG AD= CD所以BDL

3、 AC因为平面 AACC平面 ABCD平面 AACCA平面 ABCD= ACBD?平面 ABCD所以BDL平面AAC1C又CC?平面AACC,所以BDL CC,故选C.5 .如图，正四面体 ABC珅，E, F分别是线段 AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则（）A.存在点G,使PGL EF成立B.存在点G,使FGL EP成立C.不存在点G,使平面EFGL平面ACD立D.不存在点 G 使平面EFG平面ABD立解析：选C.正四面体ABC珅，E, F分别是线段 AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，不存在点 G 使PGh EF成立，故 A错误；在B中

4、，不存在点 G使FGL EP成立，故B错误；在C中，不存在点 G使平面EFGL平面ACD立，故C正确；在D中，存在点 G 使平面 EFGL平面 ABD立，故 D错误.故选C.6 .已知PAL矩形ABC哧在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有 K.解析：因为 DAL AB，DAL PA 所以DAL平面PAB同理BCL平面PAB又ABL平面PAD 所以DCL平面PAD所以平面 PADL平面AC平面PABL平面 AC平面PBCL平面PAB平面 PABL平面PAD平面PDC_平面PAD共5答案：57 .如图，在三棱锥 F-ABC内，侧面 PACL底面 ABC且/ PAC= 90° , PA

5、= 1, AB= 2,则PB=W.解析：因为侧面 PACE底面ABC交线为AC, / PAC= 90。（即所以PAL平面ABC所以 PAL AB 所以 PB= pA+AB =巾，4=V5.答案：,58 .如图，直二面角 a-l - § ,点AC a , ACLl , C为垂足，BC ±l , D为垂足，若 AB= 2, AC= BD= 1,则CD的长为 W.解析：如图，连接 BC因为二面角a-l-B为直二面角，AC? a,且ACL l,所以ACL § .又 BC? B ,所以 ACL BC所以 bC= a百一aC= 3,又 BD± CD所以 CD= BC

6、 BD2= 2.答案：,129 .如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA SB SC/BSC= 90° .求证：平面 ABCL平面BSC证明：取BC的中点D,连接SD AD （图略），由SA= SB= SCPAL A。，PA?平面 PAC且/ ASB= Z ASC= 60 ,A ASB= / ASC= 60 ,得AB= AC= SA所以 ADL BQ SDL BQ所以/ ADS是二面角A-BGS的平面角.又/ BSG= 90，令 SA= 1,则 SD=乎，AD=乎，所以 SD+ AD= SA.所以/ ADS= 90° ,所以平面 ABG_平面BSG10 .如图，三棱台

7、 DEFABC, AB= 2DE G, H分别为AG BG的中点.(1)求证：BD/平面FGH(2)若GF,BG ABLBG求证：平面 BGD_平面EGH证明：(1)如图所示，连接 DG设GDP GF= M连接MH在三棱台 DEFABG43, AB= 2DE 所以 AG= 2DF因为G是AG的中点，所以 DF/ GG 且 DF= GG所以四边形GFDG平行四边形，所以 DM= MG因为BH=以 MH/ BD又BD?平面FGH MH?平面FGH所以BD/平面FGH(2)因为 G H分别为AG BG的中点，所以 GH/ AB因为ABL BG所以GHL BC又H为BG的中点，所以 EF/ HG EF

8、= HG所以四边形EFGH平行四边形，所以 GF/ HE因为GFL BG所以HEL BG又 HE, GH? 平面 EGH Hm GH= H,所以BGL平面EGH又BG 平面BGD所以平面BGD_平面EGHB能力提升11.将锐角A为60。，边长为a的菱形沿BD折成60。的二面角，则折叠后 A与G之间的-8 -距离为()A.a18. 2a4a解析：选G.设折叠后点 A到A的位置，取BD的中点E,连接AE, GE则 BD，CE BDL AE.于是/ AEC为二面角 A-BDC的平面角.故/ AEC= 60 .因为AE= CE所以 AEC是等边三角形.所以 AE= CE= AC= 2-a.12 .如图

9、，在四面体 PAB，AB= AC PB= PC D, E, F分别是棱 AB BC CA的中点， 则下列结论中不一定成立的是（）A.BC/平面 PDFB.DF，平面 PAEC.平面PDFL平面PAED.平面PDFL平面ABC解析：选D.因为D, F分别为AB, AC的中点，则DF为ABC勺中位线，则BC/ DF,依据 线面平行的判定定理，可知BC/平面PDF A成立.又E为BC的中点，且 PB= PC, AB= AC则BCL PE, BCL AE依据线面垂直的判定定理，可知BCL平面PAE因为BC/ DF,所以DFX平面PAE B成立.又DF?平面PDF则平面PDI1平面PAE C成立.要使平

10、面PDF1平面ABC 已知AEL DF,则必须有 AEL PD或AEL PF,由条件知此垂直关系不一定成立，故选 D.13 .如图所示，平面四边形 ABCD AB= AD= CD= 1, BD= ® BDL CD将其沿又扪t线 BD 折成四面体 ABCD使平面ABDL平面BCD则下列说法中正确的是（）平面 ACDL平面 ABDABL CD平面 ABCL平面 ACDA.B.C.D.解析：选 D.因为BDL CD平面 ABDL平面BCD所以CDL平面ABD因为CD?平面ACD所以平面ACD_平面ABD故正确；因为平面四边形 ABCW,AB= AD= CD= 1, BD=啦，所以ABL A

11、D又CDL平面ABD所以ABL CD又 ADA CD= D,所以ABL平面ACD又因为AB?平面ABC所以平面ABCL平面ACD故正确.14 .如图，在四棱锥 P-ABCB,底面 ABC典直角梯形，/ BAD= 90。，AD/ BQ AB= BC =1, AD= 2, PAL底面 ABCD Pg底面成45°角，点 E是PD的中点.(1)求证：BEX PQ(2)求二面角P-CDA的余弦值.解：(1)证明：连接AE因为PAL底面ABCD所以/ PD蝠PD与底面ABC所成的角,所以/ PDA= 45° .所以 PA= DA又因为点 E是PD的中点，所以 AE1 PD因为PAL底面

12、ABCD AB?底面ABCD所以 PAL AB 因为/ BAD= 90° ,所以 BAL DA又因为PAHAD= A,所以BAL平面PDA又因为PD?平面PDA所以BAL PD又因为BAHAE= A,所以PDL平面ABE因为BE?平面ABE所以BE! PD(2)连接AC在直角梯形 ABCDK因为 AB= BC= 1, AD= 2,所以 AC= CD= V2.因为 aC+ cD= aD,所以ACL CD又因为PAL底面ABCD CD?底面ABCD所以PAL CD因为AS PA= A,所以CDL平面PAC又因为PC?平面PAC所以PCL CQ所以/ PCA为二面角P-CDA的平面角.在

13、Rt pw , pc= *A+aC = W2+ (啦)2=V6.AC ；23所以cos / PCA=歹港=”-.PC 63所以所求二面角的余弦值为 一. 3C 拓展探究15 .已知三棱锥 ABCDK / BCD= 90 , BC= CD= 1, ABL平面 BCD / ADB= 60 , E, AE AF分别是AC, AD上的动点，且AE= AF=入(0入1).AC AD(1)求证：不论 人为何值，总有平面 BEFL平面ABC（2）当人为何值时，平面 BEa平面ACD 解：（1）证明：因为/ BCD= 90° ,所以BC!CD 因为ABL平面BCD所以AB±CD又因为ABH BC= B,所以CDL平面ABCAE AF因为而所以EF/ CD AC AD所以EF，平面ABC又因为EF?平面BEF所以平面BEFL平面AB