近世代数期末考试试卷及答案(正)

1、近世代数期末考试试卷及答案（正）近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集(C )是子群。33A a B、a,e C、e，a D、e,a,a2、下面的代数系统(G *)中，()不是群A、G为整数集合，*为加法B 、G为偶数集合，*为加法G G为有理数集合，*为加法 D 、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？()A a*b=a-b B a*b=maxa,b C、a*b=a+2b

2、 D 、a*b=|a-b|4、设 1、2、 3是三个置换，其中 1= (12)(23)(13),2= (24)(14), 3 =(1324),则 3=().22A 1 B 、1 2 C、2 D、2 15、任意一个具有2个或以上元的半群，它()。A、不可能是群B、不一定是群G 一定是群D是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上 正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-变换群- 同构。2、一个有单位元的无零因子的-交换环一称为整环。43、已知群G中的兀素a的阶等于50,则a的阶等于-25-。4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-模n

3、乘余类加群-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AH B=-2-。6、若映射 既是单射又是满射，则称为-一一映射。7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-不都等于零的元-a°,a1, ,an使得 a0 a1an n°。8、。是代数系统（40）的元素，对任何力均成立.= 则称。为-右单位9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、一-消去律成立O10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是一交换环 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=

4、I, （1 2）,写出H 的所有陪集。解：H 的 3个右陪集为：I, (1 2), (1 2 3), (1 3), (1 3 2 ), (2 3 )H 的 3 个左陪集为：I, (1 2) , (1 2 3 ), (2 3), (1 3 2), (1 3 )2、设E是所有偶数做成的集合，是数的乘法，则是E中的运算，（E, ）是一个代数 系统，问（E,）是不是群，为什么？ 答：（E, ）不是群，因为（E, ）中无单位元。3、a=493, b=391,求（a, b）, a, b和 p, q。解：方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3X 102+85102=1X85+17由此得到(

5、a,b)=17, a, b=aXb/17=11339o然后回代：17=102-85=102-(b-3 X102) =4X 102-b=4X (a-b) -b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若3, *是群，则对于任意的a、b£G,必有惟一的x£G使得a*x=b。证明：设e是群G, *的幺元。令*=l*b,贝！Ja*x=a*（al*b) = (a*al)*b=e*b=bo 所以，x=al*b 是 a*x=b 的解。若 x 6 G也是 a*x = b 的解，则 x = e*x = (a 1*a)*x

6、= a 1*(a*x )=a1*b = x。所以，x = a1*b 是 a*x = b 的惟一解2、设m是一个正整数，利用 m定义整数集Z上的二元关系：a? b当且仅当m| a - b 0证明：容易证明这样的关系是 Z上的一个等价关系，把这样定义 的等价类集合Z记为Zm每个整数a所在的等彳介类记为a= x6Z; ml x- a或者也可记为a,称之为模m剩余类。若m| a- b也记为a三 b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

7、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是()。A、2阶B、3阶 C、4阶 D6阶2、设G是群，G有()个元素，则不能肯定 G是交换群。A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。A、偶数 R奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格()A (N, )B、(Z,)G (2,3,4,6,12,|(整除关系)D、(P(A),)5、设 S3= (1) , (12) , (13) , (23) , (123) , (132)，那么,在 S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1) , (123) , (132) B

8、、12) , (13) , (23)G (1) , (123)、S3中的所有元素二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上 正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-唯一-的，每个元素的逆元素是-唯一-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f 1 f a -a。3、区间1 , 2上的运算a b min a,b的单位元是-2。4、可换群 G中间=6,|x|=8,则|ax|= 24。5、环Z8的零因子有24后 。6、一个子群H的右、左陪集的个数-相等。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的一商群-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶

9、数称为R的-特征。9、设群G中元素a的阶为m ,如果an e ,那么m与n存在整除关系为mnI 0三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？解：在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1种，四白一黑1种，三白二黑2 种，等等，可得总共8种。2、Si, &是A的子环，则Si A&也是子环。S+S2也是子环吗？证：由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b S1n S2有a-b, ab e sipS2:因为 S1, S2 是 A 的子环，故 a-b, ab CS1 和 a-b, ab CS2 ,因而a-b, ab CS1AS2，所以S1AS2是子环。S1+S2一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：；,.小2卜=1:.必C，曷见瓦与跖均为子环.但瓦-跖=：:卜危。仁Z卜是子环3、设有置换(1345)(1245)(234)(456) S601 .求 和.、_12,确定置换 和的奇偶性。-1-(1243)(56)(16524).52,两个都是偶置换四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。证明：假定 是R的一个理想而 不是零理想，那么a 0,由理想的定义1a a