运筹学案例研究报告

1、课程名称：管理运筹学小组案例研究报告大气污染问题的研究（修改版）小组成员:提交日期：2013年6月29日目录一、问题回顾3.二、模型建立6.2.1 问题分析.6.2.2 变量设定7.2.3 目标函数的设立8.2.4 约束条件的确立8.三模型求解及分析9.3.1 求解过程9.3.2 问题的进一步分析 10四、改进与总结24,问题回顾控制大气污染问题N&L公司是一家全球著名的钢铁制造商，位于钢铁之城。该公司目前雇用了 50, 000名员工，是当地的主要劳动力雇用者，因此整个城市都因这家公司而繁 荣与发展起来，这里人们也一直都认为凡是对公司有利的必然对整个城市有利。 但是现在人们的观点发生了一定的变

2、化：公司锅炉中排放出的气体因未加治理， 正破坏着城市的风貌并日益危及着城市居民的身体健康。最近的一次股民选举产生了一个较为英明的新董事会， 其中的董事成员正与 城市官员和居民讨论如何处理空气污染的问题， 他们一起制定出了很严格的大气 排放质量标准。所排放的污染气体中，三种主要的成分是：大气微尘、氧化硫和碳氢化合物。新制定的排放气体质量标准要求公司降低这些污染气体的排放量，具体要求如下表所示。污染气体要求每年排放减少量（百万磅）大气微尘60氧化硫150碳氢化合物125董事会已经指示公司的管理人员召集工程人员， 用最经济的方法降低污染气 体的排放量。公司的污染气体主要来自于两个方面， 一是铸生铁的

3、鼓风炉，一是炼钢的敞 口式反射炉。在这两方面，工程师都认为最有效的降低污染的方法是 （1）增加烟 囱的高度，（2）在烟囱中加入过滤装置，（3）在燃料中加入清洁的高级燃料。三 种方法都有其技术限制（例如，烟囱可增加的高度是有限的），但可以考虑在各自 的技术限制内，采取一定程度的措施。卜表显示了在技术允许的范围内，最大限度的使用各种方法可以降低两个炉子污染气体的排放量。运用各种降污方法最大限度可减少的每种污染气体的年排放量污染气体增加烟囱局度加入过滤装置加入高级燃料鼓风炉反射炉鼓风炉反射炉鼓风炉反射炉大气微尘12925201713氧化硫354218315649碳氢化合物375328242920为了

4、方便分析，假设各种方法也可以在技术允许的范围内，采取一部分程度 的实施，从而达到一定程度的减少污染气体的效果。 此外，各种方法在两个炉子 上的实施比例可以不同，且在效果上也是互不影响的。在分析了上面的数据之后，可以发现，没有一种方法可以实现全部的降污要求，而另一方面，在两个炉子上都同时最大限度的使用各种方法的组合，会超额完成降污任务，但这样做的费用是昂贵的，不利于公司的产品保持竞争力。因此, 工程师认为，应该在考虑各种方法的成本与效益的基础上， 合理的组合各种方法。 此外，因为两个炉子的情况并不相同，所以针对两个炉子的治理方法也将不同。实施分析每种方法的一年总成本，该成本包括运营和维护费用，以

5、及因为使 用降污方法而致使生产效率降低， 进而减少了的收入。止匕外，最大的成本是安装 设备的启动成本。为了使一开始的启动成本与今后的年成本可以相互比较， 必须 考虑货币的时间价值，.将年成本折现。这样可以生成下面的数据表，该表表示的是最大限度的使用各种方法估计的 年成本。并且，各种方法的使用成本与可获得的降污能力是成比例的，也就是说，要取得一定比例的降污效果，所实施方法的成本在总成本中占同样的比例。最大限度的使用各种方法估计的年成本（百万美元）污染气体鼓风炉反射炉.大气微尘810氧化硫76碳氢化合物119现在，可以制定出降污规划大致的框架了，即这一规划必须确定在两个炉子 上，使用哪几种方法，每

6、种方法的实施程度。假设，你被任命为管理科学小组的组长，管理层要求你以最小的成本实现降 低各种污染气体的年排放量要求。a.描述该线性规划问题的各个组成部分。b.在电子表格上建模。c.求得最优解并产生灵敏度报告。现在，管理层希望能在你白帮助之下，进行一些 what-if分析。因为管理 层对这几种治理方法都没有经验。 所以各种方法的成本只是一个大致的估计， 实 际值可能在10%的范围内。止匕外，第二个表格的数据也还存在一些不确定性， 尽管这些不确定性或许比第三个表格中的要小一些。 第一个表格中的数据是政策 标准，但是，这些数据是在不知道成本的情况下确定的一些暂时性的数值，公司与政府的官员都认为，应该

7、在成本与收益分析的基础上来确定最终的决策。政府 官员估算出如果将每一张表中的政策标准增加 10%,对整个城市的价值是$3, 500万。因此，政府决定，公司每提高 10%的降7?标准（表中的所有数据，直到 50%）,将可获得$3, 500, 000的降税。最后，对政策标准中各种污染气体的相对值还存在一点分歧，如表一所示， 要求减少的大气微尘的数量还不到其他两种的一半，因此，有些人提出，是否减少这一差距。而另一些认为应该增大差距，因为氧化硫和碳氢化合物的危害比大 气微尘大得多。最后，人们同意在获得最优的成本收益平衡解之后，再对这一点探讨一下，增加一种污染气体的数量同时减少另一种，看看会有怎样的影响

8、。d .判断线性规划模型中哪些系数是敏感系数，并说明哪些系数，如果可能 的话，应该作进一步精确的估计。;.e .分析第三张表中的成本参数如果不准确的话，会造成怎样的影响，如果 实际值比计值少10%,是否会影响最优解？实际值比估计值多10%,又将如何？ 为进一步的参数估计工作提出建议。f .对于每一种污染气体，求出所要求排放减少量的微小变动会引起的成本 的变化量排放减少量在多大的范围内变动，成本变化量会保持不变？g .在保持总成本不变的前提下，政策中大气微尘标准的每一单位的变动， 可能会引起氧化硫排放标准多大的变动，又或者会引起碳氢化合物排放标准多大 的变动？如果氧化硫和碳氢化合物同时因此而变动

9、，且两者变动的幅度相同，该 变动的幅度又是多少？h .假设以8表示每一张表中标准的增加百分比，9 =10, 20, 30, 40, 50, 分别求出该修正的线性规划问题的最优解。考虑税收上的优惠，管理者将会选择 那一个9 ?i .根据上面计算出的9 ,生成灵敏度报告，并重复 f和g的分析，为污染 标准中三种气体的相对量作出最终的决策。在本次研究之后，这一方法引起了人们的争议。因为，增加烟囱的高度，只不过是通过将污染的范围扩 大而减少近距离的污染。环境专家认为，硫化物长久的留在大气中极易引起酸雨。最后，美国的环境保护 协会制定新的规则，规定不许使用增加烟囱高度的方法来减少污染。二、模型建立2.1

10、 问题分析此问题是在满足政策要求的降污标准的情况下寻找成本最小的线性规划问 题，经过对案例的分析，从中提取为建立模型的有用数据如下：降污排放量具体要求:污染气体要求每年排放减少量（白力磅）大气微尘60氧化硫150碳氢化合物125运用各种降污方法最大限度可减少的每种污染气体的年排放量:污染气体增加烟囱局度加入过滤装置加入高级燃料鼓风炉反射炉鼓风炉反射炉鼓风炉反射炉大气微尘12925201713氧化硫354218315649碳氢化合物375328242920最大限度的使用各种方法估计的年成本（百万美元）:污染气体鼓风炉反射炉大气微尘810氧化硫76碳氢化合物1192.2 变量设定设六个决策变量Xj

11、 （j=1.2 L L 6）,每一决策变量分别表示三种除污方法对应鼓风炉和反射炉的使用程度，即降污方法的应用比例（0 Xj 1）降污方法鼓风炉反射炉增加烟囱局度X1X2加入过滤装置X3X4加入高级燃料X5X62.3 目标函数的设立经过分析可知，为降低大气微尘，在鼓风炉上所需花费为(百万美元)：8/(12+25+17)*(12X1+25X3+17X5),其中8为充分使用各种方法所需花费，12、25、17分别为完全使用三种方法使得大气微尘减少的排放量。同理可得，为减少氧化硫，在鼓风炉上的花费为：7/ (35+18+56)*(35X1+18X3+56X5为减少碳氢化合物，在鼓风炉上的花费为：11/(

12、37+28+29)*(37X1+28X3+29X5)同样，为减少大气微尘，在反射炉上白花费为：10/(9+20+13)*(9X2+20X4+13X6)为减少氧化硫,在反射炉上的花费为：6/(42+31+49)*(42X2+31X4+49X6)为减少碳氢化合物，在反射炉上的花费为：9/(53+24+20)*(53X2+24X4+20X6)综上，令总成本为Z (百万美元)，为使成本最小化，建立的模型为：MinZ=8/(12+25+17)*(12X1+25X3+17X5)+10/(9+20+13)*(9X2+20X4+13X6)+7/(35+18+56) * (35X1+18X3+56X5+6/(4

13、2+31+49)*(42X2+31X4+49X6)+11/(37+28+29)*(37X1+28X3+29X5)+9/(53+24+20)*(53X2+24X4+20X6)2.4 约束条件的确立排放减少量的政策约束：.12X19X225X320X417X513X66035X142X218X331X456X549X615037X153X228X324X429X520X6125技术约束：Xj 1, j=1,2 , L L , 6非负约束：Xj 主 0, j=1,2 , L L , 6三模型求解及分析3.1 求解过程将模型化简后，利用EXCEL寸该线性规划问题进行求解，过程如下:鲤揖越情般型1&34

14、5目瓦 3233Bfi6l9.乳羽&整驾9LBM2379. 3Z32B17. 3GDTM帝件里6q4的措触129年2fln13鼠i =60故疏3542tasiSB有150 =:50T后七片利及532aM四20125 =12S遮空自居1112赛 融15xt用展度0. M7S25S5B110, 661253L.32H306fi- = =-=$J$12到达限制值0$E$15降污程度S10. 057329353 1B$15=$B$17未到限制值CL 942670547$C$15降污程度121 $C$15DI15=D$17未到限制值0. 0。8 To3132$E$15降污程度140 $E$15=$E$L

15、7未到限制值1$F$15降污程度751 JF*15-$F$17到达限制值0IGS15降污程度工60. 656125082 1GJ15=tTtl0的大限制情0酒氧牝流弑少的排预量165 1H!(11=；JF11到达限制值0SKSL2破氢叱言物不少的排我量137. 5 iH512 -EJH2到达限制值0SB51 j的3110. 601272015 3Bil5=5BH7未到限制情Q392用”5C$L5除污程度130. 328277386 ?C515 =1C$L7未到限制节0. LT17Z2LU3DL5降污理度X31 W516-FDtL7到达限制情0$E$1.口隧污理废工士0lEJ15-SEtl7未到

16、眼午,苜13K?L5理活厚度151 3F$13C=IHLT到达旗去谊LI$C$L5暨污程度IS0, 7177L0372 SGtl5-CGtL7未刎迪利情0.282285628当8 =20时，利用EXCEL寸更改后数据进行求解所得结果如下:目标单兀格（最小值】隼兀格名字初值一整值3工$15隆污程度目标值36,6207002638. 8207C026可变单元格里元格名字初脩法脩$E$L5睥污程度n111C$15脩另程度12k 7337373040. r33787304修污程度江1_L$E$15降污程度工电口.062474293_Q,既2好42比_1_1SGS15陛沔程度169. T80494493

17、CL T80494493单元福名字单元格值 公式横亮 整数精$口$10 大气微土 洞少的M砂量72$H$1G灯缸。到达限制值。$H$L1弱化硫：底少的科顼圭180 $的11=打 $11到达限制篁($H$12送食化合物项少的排放量ISO 粗$1D=/J$12到达限利砥Q$B$15降污程度111阳$1型=挺$17到达限定10$C$第降污程度12X 733737304 $窝1些=概$17未到限带0, 26&2L26%林$15降污程度131 $D$17到达限带道0$E$15降污程度工上X 062474293 $自13。地$17未到限定值 0. 337rmm丁Q：$F$in属污程度151 4Fn5-$F

18、$17到达限制谊。JG$15悭河程度100. T80494493 3GS15=$J310 建达限利情0轴中氧化疏减少的排放鬓195百达阻制情Q4HS12龈毒化合物激少的排前量162.5 $H$L2MJ?12到达限制值0网1E降再程度XI1粗$1 一期17到达限制情口$门降污荐度X2U, 05Q623E29 $CSL5=$CS17 末到限制俏11493781$D$1W降亏程度履1 $D$L5=$D317到这限制值($E$15降丐程度K4?. 2S5312L2B |E$L5-$E$1?市到限时值C.74tGS7L72tn 15降再程度X51 $F$L5斗F$17到达眼出值Csens修污程度施0 3

19、64471459 5CS1.5-1JS10到达限制值Dmu氧化腺减少我排抽量210到达限制情D阳匚2糕氢也含物面少的啡放蚩1T5 EH512MJS12到达限制值$EFL5号污程累XI1/也5=$/17到达限制值0$cQ陛污程度X20*967463354 fC315MC:17市到限制值0.032539G46$Df .5爵方柱薄X31 $D$15=$D$1到达限制佰0$曰5睹历程意X40. 4481513A4 ffSI5=|ES17未到限制值0.551848636琳也6整污程磨跖1 BFS15f1FI17到达阳前值D$GEL力瑙河秆盅X6J. 948444:26 JGS1S17未到限制值_ 0*0

20、51551574当8 =50时，利用EXCEL寸更改后数据进行求解所得结果如下:目标单元格（最小值）单元将名字:咕终值$工15除另程度目显官45. H7(i44hHl50. 421 处1配可变革方格里元格名字初情终值$蹄比蹿污程度XI11祝后蟀污程度X20lG74603G41$D|L5降污程度X311$E$L5降污程度笈40. 449151364C. 354166667狎$L5降污程度咫11$C3L5降污程度X60. 91344E4261约弗单元格名字里五格伯公式状本型都值$的 1.U人气撤里雇少的用池量y3,$H$lU=iJtl J未到国刹值匕UH驼3宓窕$的口氧比硫叔少的排放里2Z& 士侬

21、BBT SBSlLAUtll未到限制1L1, -179166666IHJL2碳氢化合物捕少的排放量18L5 $H$L2=|J(12到达帐制g相结院污程度XI1 $璘1=箕$1 7至1达阪径0KM5降污程度X21 $C$15=K?1|达限制0$DfL5降污程度K31 $D$ 15 =：$1 7创达限制值0fEflE降污程度X4Ol 354166667 $E$1523B3t210510, 6851351$对于每一种污染气体，影子价格：大气微尘为0.314699976 ,氧化硫为0.026988062, 碳氢化合物为0.097361478,即排放减少量的微小变动会引起的成本的变化量。单元格名字终 值

22、才出侨咯拗荣允僧的 增星允许的ridsio大工谢上减安的排放MI5S0,1. 6Z3SQ097e1.103773566IfHpllpM域J的押放员16502的的面2165工 0975109745. iO1125?3TF】1H侬氢比自物 潮少的井成量137.50. CS?t361470137. 59. 2366431051C.6B51DE19可芟单元格鲜就旗耳标式 色许的 允许的单元格晶字 1 东左 笨效 培- 看量B，15降后超度KL口，601,丁骸1口工32随5时40。2514盹710,同印时1针杠“占 降警程度120, B233TTSB60 9.12;1986&=帕-3日？13-山。4Hs

23、i凿1加5降污程度星21-之一观的23a13配65丁乳2,刘1T+30$”jj降巧栩g K40- PT6921g驷虫3铤22的刊13口必口啊:止115降西猩度 K51.貂 L4!3326T以 3232日0 E 30lW614 相%F1-30|G$” 一区程度疑：LTWMTg口 3s强心7 2酊我也.,4917肺1使得成本变化量保持不变的排放减少量变化范围：见下表，例如 x1从可以减少 0.558450147至IJ可以增力口 0.025129671; x2可以减少0.047451923至U可以增力口 1.065387133。变量值允许的增量允许的减量X10.0251496710.55845014

24、7X21.0653871330.047451923X32.9431431231E+30X41E+300.076921994X50.3614332671E+30X62.8596015080.405917361影子价格：大气微尘为 0.314699976,氧化硫为0.026988062,因此大气微尘每一单位的变动，氧化硫排放标准变化0.026988062/0.314699976=0.085758 单位；影子价格：大气微尘为0.314699976 ,碳氢化合物为0.097361478,因此大气微尘每一单位的变动，碳氢化合物排放标准变化 0.097361478/0.314699976=0.309379

25、 单位;如果氧化硫和碳氢化合物同时变且幅度相同，则变动的幅度为：(0.026988062+0.097361478 ) /0.314699976=0.395137 单位。因为求得的最优解为：名字终值大气微尘减少的排放量66氧化硫减少的排放量165碳氢化合物减少的排放量137.5而大气微尘增加一单位， 在总成本不变的前提下， 氧化硫和碳氢化合物同时变且幅度相同为减少0.395137单位，因此如果考虑相对值，可以减少大气微尘与其他二者的差距，让大气微尘增加，同时氧化硫和碳氢化合物减少。我认为可以以50单位调整，结果为:名字终值大气微尘减少的排放量66+50=116氧化硫减少的排放量165-0.395137*50=145.2432碳氢化合物减少的排放量137.5-0