1.2函数展开成泰勒级数ppt课件

1、第2节 函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、 小结一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)()ln()(111111 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 给定函数给定函数 ，是否存在幂级数，使其，是否存在幂级数，使其在收敛域内以在收敛域内以 为和函数？即为和函数？即)(xf)(xf解决的是已知幂级数，求其和函数。假解决的是已知幂级数，求其和函数。假设设若这样的幂级数存在，则称若这样的幂级数存在，则称 可以展可以展开成幂级数。开成幂级数。)(xf假设假设阶阶导导数数的的某某个个邻邻域域内内有有在在1)(0 nxxf，那么，那么.,)()!1()()(!)()()()(0

2、10)1(00)(000之间之间与与介于介于其中其中xxxxnfxxnxfxxxfxfxfnnnn 若上式中的若上式中的 趋向于无穷，则我们得到趋向于无穷，则我们得到一个幂级数：一个幂级数：n nnxxnxfxxxfxf)(!)()()(00)(000（1）)(xf时称时称1为为的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。（1式称为函数式称为函数 在在 的泰勒级数。的泰勒级数。)(xf0 x00 x当当 00021xxexfx,)(例如例如),()()(21000 nfn且且 00nnxxf的的麦麦氏氏级级数数为为)(.)(),(0 xs内内和和函函数数该该级级数数在在可见可见).()(,xfxfx处处处

3、处不不收收敛敛于于的的麦麦氏氏级级数数外外除除0 在在x=0 x=0点任意阶可导点任意阶可导, ,。满满足足：处处泰泰勒勒公公式式中中的的余余项项在在条条件件是是）的的充充分分必必要要收收敛敛到到处处的的泰泰勒勒级级数数在在则则任任意意阶阶导导数数有有的的某某个个邻邻域域在在设设函函数数定定理理010000000 )(lim)()()(!)()(,)()()(xRxRxxxfxfxxnxfxxxfxUxxfnnnnnn证明证明 设设nnnxxnxfxxxfxfxS)(!)()()()(00)(000 那么那么)()()(xRxSxfnn 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfx

4、R .,0之之间间与与介介于于xx 从而有从而有)()()(xSxfxRnn 所以所以. 0)(lim)()( xRxfxSnnn充充要要条条件件是是收收敛敛证毕。证毕。 )()(!)()(01231xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ),()(!)(21010 nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的, ,.)(的的展展开开式式是是唯唯一一的的xf 100212nnxxnaxxaaxf)()()(逐项求导任意次逐项求导任意次, ,得得注：注：Taylor展开式是唯一的。展开式是唯一的。假假设设 nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理2 如果存在常数如果存在常数

5、,使得对使得对M),(00RxRx 中的所有中的所有 及一切自然数及一切自然数 ,都有都有xnMxfn )()(那么那么 在在 内可展开为泰勒级内可展开为泰勒级数数. )(xf),(00RxRx 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤: :;!)()()(nxfann01 求求,)(lim)()(MxfRnnn 或或讨讨论论02).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收例例1 1解解.)(展开成麦克劳林级数展开成麦克劳林级数将将xexf ,)()(xnexf ),(.)()(21010 nfn nxxnxxe!121

6、12),(210 n nxxnxxe!12112),(! xxnxxenx12112几个常见函数的麦克劳林级数几个常见函数的麦克劳林级数0)!1(lim1 nnxne 容易证明容易证明例例2 2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),sin()()(2 nxxfn ,sin)()(20 nfn ,)()(002 nf,)()()(nnf1012 ),(210 n )()(xfn且且)sin(2 nx 1 ),( x )!()(!sin12151311253nxxxxxnn),( x0)!1(2)1(sinlim1 nnxnn 所以所以例例3 3.)()()(的幂级数的幂级

7、数展开成展开成将将xRxxf 1解解,)()()()(nnxnxf 111 ),()()()(110 nfn ),(210 n nxnnxx!)()(!)(112112 nnnaa1 lim1 nnn lim, 1 , 1 R若若内内在在,),(11 nxnnxxs!)()()(111 11111nxnnxxs)!()()()()( nxnnxxxsx)!()()()()(11112 !)()(!)()()!()()(nnmmmnnmmnnmm111111 利利用用)()(xsx 1 12221121nxnnxx!)()(!)( )(xs ,)()(xxsxs 1 .)(10 s且且两边积分两

8、边积分,)()(dxxdxxsxsxx 001 ),(11 x得得),ln()(ln)(lnxsxs 10 即即,)ln()(ln xxs 1,)()( xxs 1)1 , 1( x nxnnxxx!)()(!)()(1121112 ),(11 x牛顿二项展开式牛顿二项展开式注意注意: :.的的取取值值有有关关处处收收敛敛性性与与在在 1 x);,(111 收收敛敛区区间间为为 ;,(1111 收收敛敛区区间间为为 .,111 收收敛敛区区间间为为 有有时时当当,211 ),()(11111132 nnxxxxx,!)!(!)!()(11232164231421211132 nnxnnxxxx

9、,(!)!(!)!()(11212164253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘2.2.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, , 利用常见展开式利用常见展开式, , 通通过变量代换过变量代换, , 四则运算四则运算, , 恒等变形恒等变形, , 逐项求导逐项求导, , 逐项积分等方法逐项积分等方法, ,求展开式求展开式. .例如例如)(sincos xx )!()(!cosnxxxxnn2141211242),( x )!()(!sin12151311253nxxxxxnn xxdxx021arctan 12151311253nxxxxnn)(,11 x xxdxx011

10、)ln( nxxxxnn 13213121)(,(11 x 002nxndxx )( 00nxndxx)(例例4 4的幂的幂展开成展开成将将)1(341)(2 xxxxf解解级数。级数。(书）书）3412 xxxf)(11 x,)( 02121nnx31 x因为因为311121 xx)(121 x)(211121 x121 x)(141 x)(411141 x141,)41(410 xxnn所以所以341)(2 xxxf 0)21(2121nnx)41(410 nnx21,) 1(2121) 1(0322 xxnnnnn例例5 5.cossin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxxf2

11、解解xxxf2cossin)( sinsinxx 321 )!()(!sin12151311253nxxxxxnn)!()()!()()(12121123121120120 nxnxnnnnnn.)!()()(121201213121 nnnnxn x例例6 6处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将141 xxxxf)(解解).()()(11nfx并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成 x 41,)(31131 x)()( nxxx313131131231 x)(131 xxx 41 nnxxxx3131311313322)()()()(31 x.!)()(nnnf31 ,n31 ()(1)!

12、nfnxx 411)(故故于是于是例例7 将将3)1(1xx 展开成麦克劳林级数。展开成麦克劳林级数。解解 由由1,110 xxxnn求两次导数得求两次导数得1112223 xxnnxnn,)()(所以所以3)1(1xx )()( 21221121nnnnxnnxnn1112 xxnnn例例8(060107) 将函数将函数 展开成展开成 的幂的幂级数级数.2( )2xf xxx x解解(1)(2)AxBxx 令令)()(xxxxf 12xBxA 12, 2 x, 23 A.32 A, 1 x, 13 B31 Bxxxf 131232)(xx 1131211310011()( 1)323nnnn

13、nxx1011( 1),13 2nnnnxx 例例9 求幂级数求幂级数 012)!12(nnnx的收敛域及和函数。的收敛域及和函数。解解 因为因为nnnuu1 lim所以收敛区间为所以收敛区间为).,( 又因为又因为),(!1! 2112 xxnxxenx),(!1)1(! 2112 xxnxxennx),()!12(2012 xnxeennxx所以所以212012xxnneenx )!(222321xnnn)(lim 0 ),( x三、欧拉公式三、欧拉公式),(!1! 2112 xxnxxenx由由定义定义 niiniie)(!1)(! 2112 )!( 6426141211 其中其中12

14、i ie称称 sincosi 为欧拉公式。为欧拉公式。2111,2!znezzzzxiyn )!( 753715131 i sincosi 四、小结四、小结1.1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数; ;2.2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件; ;3.3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法. .思考题思考题nnxaxaxaaxf 2210)(的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。求求一、一、 将下列函数展开成将下列函数展开成x的幂级数的幂级数, ,并求展开式成立并求展开式成立的区间的区间: : 1 1、xa； 2 2、)xln()x( 11; ; 3 3、xarcsin； 4 4、311)x(x . . 二、二、 将函数将函数3x)x( f 展开成展开成)x(1 的幂级数的幂级数, ,并求展并求展开式成立的区间开式成立的区间 . . 三、三、 将函数将函数2312 xx)x( f展开成展开成)x(4 的幂级数的幂级数 . . 四、四、 将级数将级数 112111221nnnn)!n(x)(的和函数展开成的和函数展开成)x(1 的幂级数的幂级数 . . 练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln xxnannn0； 2 2