1.2不定积分的概念ppt课件

1、第一节第一节 不定积分的概念及其不定积分的概念及其计算法概述计算法概述 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 基本积分表基本积分表 不定积分的计算方法概述不定积分的计算方法概述 小结小结一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念(一一)原函数原函数如果在区间如果在区间I内，内，定义定义5.1：都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，1.Ix .I)x( f)x(F内的一个原函数内的一个原函数在在为为则称则称2.原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间 I内内连连续续， 简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.问题：

2、问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C则则 f f( (x x) )在在区区间间 I内内存存在在原原函函数数)(xF， 使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1假设假设 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2假设假设 和和 都是都是 的原函的原函数，数，)(xF)(xG)(xf那么那么0C)x(F)x(G .If(x)CF(x),If(x)

3、F(x) :1 . 5Th上上的的所所有有原原函函数数在在为为则则称称上上的的一一个个原原函函数数在在为为设设 任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数(二二)不定积分的定义：不定积分的定义：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. .的的称称为为则则的的一一个个原原函函数数为为设设)x( fC)x(F,)x( f)x(F 1.定义定义例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx2.几何意义几何意义函函数数)(x

4、f的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.不定积分在几何上表示一积分曲线族不定积分在几何上表示一积分曲线族.例例3 3 设曲线通过点设曲线通过点1 1，2 2），且其上任一点处），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程程. .解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知, x2y ,Cxxdx2y2 由曲线通过点由曲线通过点1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;C|x|lnxd

5、x)3( 3.基本积分公式基本积分公式 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 例例 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式根据积分公式2）Cxdxx 11 由不定积分的定义，可知有如下性质由不定

6、积分的定义，可知有如下性质14.不定积分的性质不定积分的性质 dx)x(g)x( f )1(;)()( dxxgdxxf dx)x( fadx)x(af0a )2(例例 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C ),x( fdx)x( fdxd )3( ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的.)x(c,e20,c(0)c(x),x 4x求求边边际际成成本本为为固固定定成成本本单

7、单位位的的总总成成本本为为设设生生产产某某产产品品例例 20)0( c ,e)x(c:x 解解 dxedx)x(c)x( cxcex 20)0( c 由由19c 19e)x( cx _)x( f, cexf(x)dx 5 x22则则若若例例)x( f, 1)0( f,e1)e (f:6x2x求求且且若若例例 dx)x(f,0 xsinx 0 x xf(x) 102求求设设例例例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 计算不定积分的方法一计算不定积分的方法一:分

8、项积分法分项积分法,将复杂函数分解成将复杂函数分解成几个较简单的函数之和几个较简单的函数之和例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx dxxsin1xcos 82例例 dxxcosxsin122 dx)xsecx(tanxsecdx2xsinxdxtan22例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才

9、能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、 小结小结思考题思考题符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),( 思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在

10、原函数内不存在原函数.),( )(xf结论结论每一个含有第一类间断点的函数都每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数没有原函数.一、一、 填空题：填空题：1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(x

11、fxF 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族CxFy )( )( 是任意常数是任意常数C上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .二二、 求求下下列列不不定定积积分分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323

12、 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 三三、一一曲曲线线通通过过点点)3,(2e，且且在在任任一一点点处处的的切切线线的的斜斜 率率等等于于该该点点横横坐坐标标的的倒倒数数，求求该该曲曲线线的的方方程程 . .四四、证证明明函函数数xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都都是是和和的的原原函函数数 . .一、一、1 1、无穷多、无穷多, ,常数；常数； 2 2、全体原函数；、全体原函数； 3 3、积分曲线、积分曲线, ,积分曲线族；积分曲线族； 4 4、平行；、平行； 5 5、连续；、连续； 6 6、Cx 2552； 7 7、 Cx 2332； 8 8