1.2.多元函数微分学ppt课件

1、 第八章第八章 *二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用应用 第三节第三节一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分)( xoxAy xxfy )(d 近似计算近似计算估计误差估计误差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 本节内容本节内容:一、全微分的定义一、全微分的定义 全微分全微分一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义: 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在定义域在定义域 D 的内点的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )( oyBxAz 其中其中 A , B 不依赖于不依赖于 x ,

2、 y , 仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数),(yxf在点在点 (x, y) 的全微分的全微分, 记作记作yBxAfz dd若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,22)()(yx 则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微，可微，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 处全增量处全增量则称此函数在则称此函数在D 内可微内可微.yBxA(2) 偏导数连续偏导数连续),(),(yxfyyxxfz )()(lim0 oyBxA 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数可

3、微函数函数 z = f (x, y) 在点在点 (x, y) 可微可微),(lim00yyxxfyx 由微分定义由微分定义 :得得zyx 00lim0),(yxf 函数在该点连续函数在该点连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即定理定理1(1(必要条件必要条件) ) 若函数若函数 z = f (x, y) z = f (x, y) 在点在点(x, y) (x, y) 可微可微 , ,则该函数在该点偏导数则该函数在该点偏导数yzxz ,yyzxxzz d), (), (yfyfzx xz 同样可证同样可证,Byz yyzxxzz

4、 d证证: : 由全增量公式由全增量公式, )( oyBxAz ,0 y 令令)(xoxA 必存在必存在, ,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量xx x因此有因此有 xzxx 0lim A机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 反例反例: 函数函数 ),(yxf易知易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但但)0, 0()0, 0(yfxfzyx 因而因而,函数在点函数在点 (0,0) 不可微不可微 .)( o 注意注意: 定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立 .22)()(yxyx 22)()(yxyx 22)()(yxyx 0偏导数存在函数偏导数存在函数

5、 不一定可微不一定可微 !即即:0,2222 yxyxyx0, 022 yx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ),(yyxxf 定理定理2 (充分条充分条件件)yzxz ,证：证：),(),(yxfyyxxfz )1,0(21xyxfx ),( y)yy, x(f2y xyyxxfx),(1),(yyxf ),( yxf ),(yyxf yyxfy ),(若函数若函数),(yxfz 的偏导数的偏导数,),(连连续续在在点点yx则函数在该点可微分则函数在该点可微分. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 0lim00yx,0lim00yx z y

6、yxfxyxfyx ),(),(yyxfxyxfzyx ),(),( yx所以函数所以函数),(yxfz ),(yxyx 在点在点可微可微. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 0lim00yx,0lim00yx注意到注意到, 故有故有)( o xxu 推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如, 三元函数三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作记作uxd故有下述叠加原理故有下述叠加原理uuuuzyxdddd 称为偏微分称为偏微分.yyud zzud

7、 xxud uyduzd的全微分为的全微分为 yyu zzu 于是于是机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 uuuzyxd,d,d例例1. 计算函数计算函数在点在点 (2,1) 处的全微分处的全微分. yxez 解解:xz222)1 , 2(,)1 , 2(eyzexz yexezd2dd22)1 , 2( 例例2. 计算函数计算函数的全微分的全微分. zyeyxu 2sin解解: ud xd1y yd)cos(221 zeyzyd yz,yxeyyxex)d2d(2yxe zyez机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 可知当可知当*二、全微分在数值

8、计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义由全微分定义xy)(),(),( oyyxfxyxfzyx ),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及及有近似等式有近似等式:),(yxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 (可用于近似计算可用于近似计算; 误差分析误差分析) (可用于近似计算可用于近似计算) 半径由半径由 20cm 增大增大解解: 知知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003

9、例例3. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到到 20.05cm , 那那么么 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm ,体积的近似改变量体积的近似改变量. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 求此圆柱体求此圆柱体例例4.4.计算计算的近似值的近似值. 02. 204. 1解解: : 设设yxyxf),(, ,那么那么),(yxfx取取, 2, 1yx那那么么)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021

10、),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 分别表示分别表示 x , y , z x , y , z 的绝对误的绝对误差界差界, ,2. 误差估计误差估计利用利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令令z 的绝对误差界约为的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 那那么么特别注意特别注意时，时，yxz )1(yxzyxz ,)2(时时xyz yxyx

11、类似可以推广到三元及三元以上的情形类似可以推广到三元及三元以上的情形. .xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的结果相对误差变大乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数很小的数不能做除数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例5. 利用公式利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故绝对误差约为故绝对误差约为又又CbaSsin21所以所以 S 的

12、相对误差约为的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计算三角形面积计算三角形面积. .现测得现测得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 bbSccS例例6.6.在直流电路中在直流电路中, , 测得电压测得电压 U = 24 伏伏 ,解解: 由欧姆定律可知由欧姆定律可知4624IUR( 欧欧)所以所以 R 的相对误差约为的相对误差约为IURIUR0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为的绝对误差约为 RR0.8 0.3;定律计算电阻定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差时产生的相对误

13、差和绝对误差 .相对误差为相对误差为 测得电流测得电流 I = 6安安, 相对误差为相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧欧 )= 0.8 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 求用欧姆求用欧姆内容小结内容小结1. 微分定义微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 3. 微分应用微分应用 近似计算近似计算 估计误差估计误差 z yyxf

14、xyxfyx ),(),( ),(yyxxf yyxfxyxfyx ),(),( 绝对误差绝对误差相对误差相对误差 ),(yxfyyxxzyxfyxf),(),( yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 思考与练习思考与练习函数函数),(yxfz 在在),(00yx可微的充分条件是可微的充分条件是( );),(),()(00连连续续在在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在在 的某邻域内存在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx ),(),()( 0)()(22 yx 当当时是无穷小

15、量时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx 0)()(22 yx 当当时是无穷小量时是无穷小量 .1. 选择题选择题D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0( 2. 设设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf .d)0 , 0 , 0(f求求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,( 0cos3)0 , 0 , 0( xxxfx41 利用轮换对称性利用轮换对称性 , 可得可得41)0 , 0 ,

16、 0()0 , 0 , 0( zyff)dd(d41zyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ( L. P245 例例2 )注意注意: x , y , z 具有具有 轮换对称性轮换对称性 .d,arctanzyxyxz求求 答案答案: 22dddyxyxxyz 3. 知第四节 目录 上页 下页 返回 完毕 在点在点 (0,0) 可微可微 .备用题备用题在点在点 (0,0) 连续且偏导数存在连续且偏导数存在,续续,),(yxf而而 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22 yxyxyx)0 , 0(),(, 0 yx证证: 1) 因因221sinyxxy 0),(

17、lim00 yxfyx)0 , 0(f故函数在点故函数在点 (0, 0) 连续连续 ; 但偏导数在点但偏导数在点 (0,0) 不连不连 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 证明函数证明函数xy 222yx 所以所以),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时时当当 yx,)0 , 0(),(时时趋趋于于沿沿射射线线当当点点xyyxP ,0)0 ,( xf;0)0 , 0( xf. 0)0 , 0( yf同理同理y221sinyx 3222)(yxyx 221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在极限不存在 ,),(yxfx在点在点(0,0)不连续不连续 ;同理同理 ,),(yxfy在点在点(0,0)也不连续也不连续.xx(lim0