第四章圆与方程知识点总结及习题答案

1、第四章圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。2、圆的方程一 -222(1)麻推方程 x a y b r ,圆心a, b ,半径为r；222点M (xo, yo)与圆(x a) (y b) r的位置关系：当(xo a)2 (yo b)2>r2,点在圆外当( a)2 (yo b)2=r2,点在圆上当(xo a)2 (yo b)2<r2,点在圆内(2) 一般方程 x2 y2 Dx Ey F o；,D2 E2 4F当D2 E2 4F 0时，方程表示圆，此时圆心为22当DE4F o时，表示一个点；22当DE4F o时，方程不表不任何图

2、形。(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法： 先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程,需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出 D, E, F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况:(1)设直线l:Ax By C 。，圆C：x a 2 y b 2 r2 ,圆心C a,b到l的距离 为L |Aa Bbjl |.则有d rl与C相离工d r l与C相切上d rl与C相交Ta2B7k存在，设点斜式方程，用圆心到该(2)过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立直线

3、距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】11 / 8(3)过圆上一点的切线 方程：圆(x-a)2+(y-b) 2=r2圆上一点为(xo,yo),则过此点的切线方程为/、/、/， 、， ， 、2(xo-a)(x-a)+(y o-b)(y-b)= r4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆 Ci : x ai 2 y bi 2 r2 , C2 : x a2 2 y b2 2 R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距( d)之间的大小比较来确定。叁d R r时两圆外离，此时有公切线四条；4d R r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内

4、公切线一条;里R r d R r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；3d |R r|时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；宜d |R r产，两圆内含； 当d 0时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点圆的方程自主学习口基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，贝U a的取值范围是2A. a<-2 或 a> _3C.-2 <a<0D.-2 < a< 23答案 D2 . ( 2009 河南新郑模拟) 是圆 x2+y2+2x-4

5、y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0 (a、bG R)对称，则ab的取值范围A.B 0，4c ;。1,4答案3 .过点A(1, -1 ) , B (-1A. (x-3) +(y+1) =4 C. (x-1 ) 2+(y-1) 2=4 答案 C1),且圆心在直线 x+y-2=0上的圆的方程是B.( x+3)2+(y-1)2=4D.( x+1)2+(y+1)2=44 .以点(2, -1 )为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为A.( x-2) 2+(y+1)2=3C.( x-2) 2+(y+1)2=9答案 C5 . (2009 宜昌模拟)直线y=ax+b通过第一、A.第一象限B.(

6、 x+2) 2+( y-1) 2=3D.( x+2)2+(y-1) 2=9三、四象限，则圆(x+a) 2+(y+b)2=r2 (r >0)的圆心位于B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B典例剖析例1已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为()A. x2+y2-2x-3=0B x2+y2+4x=0C. x2+y2+2x -3=0D. x2 +y 2-4 x=0答案 D例2 已知圆x22例3 (i2分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+i=0. (i)求y- x的最大值和最小值；+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P

7、, Q两点，且 OP，OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆 心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20 y+12+m=0.设 P (xi, yj , Q(x2, yz),则 yy?满足条件：yi+y2=4, yiy2=12_m5丁 OPL OQ ： xix2+yiy2=0. 而 xi=3-2 yi, x2=3-2y2.xix2=9-6( yi+y2)+4yiy2.：m=3,此时。,圆心坐标为1,3，半径r =勺.22方法二如图所示，设弦PQ中点为M. OIVL PQ kOM 2 .: oM的方程为：y-3=2 x 一 ， i5- i+2 (3-

8、) -3=0, =i,m=3.二圆心为 i,3 ,半径为：. ,1 2即：y=2x+4.由方程组y 2x (2)求x2+y2的最大值和最小值.x 2y 3 0解彳导M的坐标为(-i , 2).则以PQ为直径的圆可设为(x+i) 2+ (y-2) 2=r2.,OPL OQ 点O在以PQ为直径的圆上.(0+i) 2+ (0-2) 2=r2,即 r2=5, MQ=r2.在 RtAQMQ, OC2=OM+MQ2 21 i (3-2) 2+5=i_(-6)_4m24：m=3.：半径为5,圆心为 23 . 22方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0. 由 OP,OQ口

9、，点 O (0, 0)在圆上.:m-3=0,即 m=3 .:圆的方程可化为x2+y2+x-6 y+3 + x+2 y-3 =0 即 x2+(i+ )x+y2+2( -3) y=0.:圆心M i一,2(3一) ,又圆在 PQ上. 22解(1) y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线 y=x+b与圆相切时，纵截距 b取得最大值或最小值，此时I2 0 b 产，解得b=-2 + 66.5分2所以y-x的最大值为-2+ 6 ,最小值为-2-而.6分(2) x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.8分又圆心到原点的距离为

10、J( 2 0)2 ( 0 0)2 =2,所以x2+y2的最大值是(2+质)2=7+4点，x2+y2的最小值是(2- £) 2=7-4招.12分圆与直线方程例 1 已知圆 x2+y2-6 mx2 (ml ) y+10m-2 m24=0 (m R).(1)求证：不论 m为何值，圆心在同一直线 l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.(1)证明配方得：(x-3nj)2+ y- (m1 ) 2=25,设圆心为(x, y),则x 3m，消去m得 y m 1l : x-3 y-3=0 ,则圆心恒在直线 l : x-

11、3y-3=0上.(2)解设与l平行的直线是L: x-3y+b=0,则圆心到直线l1的距离为d=m 3(m 1) b |3 bv10,10二圆的半径为r=5, :当d<r,即-5 710-3 <b<5x/10-3时，直线与圆相交;当d=r,即b= + 5<10-3时，直线与圆相切;当d>r,即b<-5 -0-3或b>5410-3时，直线与圆相离(3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线li： x-3y+b=0,由于圆心到直线li的距离d=l3J ,10(4)弦长=2卜 d2且r和d均为常量.:任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2

12、 从点A (-3 , 3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解方法一如图所示，设l与x轴交于点B (b,0),则kAB=_，根据光的反射定律,b 3反射光线的斜率k反=.:反射光线所在直线的方程为 y=(x- b), 即3x-(b+3)y-3 b=0. b 3b 3,已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C (2,2), 半径为1,J6(b 3)2 3b =1,解彳Ib1=-3,b2=1.,.-9 (b 3)24kAB=- 3或 kAB=- -3 .l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0

13、.34方法二 已知圆C: x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为 C : ( x-2) 2+( y+2) 2=1,其圆心 C的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C相切.设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则15k 5 =1, 即 12k2+25k+12=0. .12 k2:k尸-4 , k2=- 3 .贝U l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. 34方法三设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且3 3k b k k2k 2 b 、1 k2后者与已知圆相切.即 1

14、2k2+25k+12=0, ; k1=- - , k2=-.34则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.例 3 已知圆 C： x2+y2-2 mx+4y+m-5=0,圆 G： x2+y2+2x-2 my+m3=0, m为何值时, (1)圆C与圆Q相外切；(2)圆C与圆C2内含？解 对于圆G与圆。的方程，经配方后Ci：( x-m) 2+(y+2)2=9; C2：( x+1) 2+( y-m) 2=4.(1)如果 C 与 G外切，则有 J(m 1)2 (m 2)2 =3+2.(n+1)2+( n+2) 2=25.M+3m10=0,解彳# m=-5 或 m=2.(2)如果C与C

15、2内含，则有 (m 1)2 (m 2)2 <3-2.(mb1) 2+( m+2) 2< 1, mi+3m+2< 0,得-2<m<-1,:当m=-5或m=2时，圆C与圆G外切；当-2<mv-1时，圆C与圆C2内含.例 4 (12 分)已知点 P (0, 5)及圆 C: x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线I过P且被圆c截得的线段长为4v3,求I的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB=4j3, D是 AB 的中点，CD, AB, AD=2 J3 ,圆 x2+y2+4x-12y+24=0 可化为(x+2) 2

16、+ (y-6) 2=16,圆心 C (-2, 6),半径 r=4,故 AC=4, 在RtACD中，可得 CD=2.设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为y-5= kx,即 kx- y+5=0.由点C到直线AB的距离公式： 2k 6 5 =2 ,得k=_3. k2 ( 1)24此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时，此时方程为 x=0.则 y2-12y+24=0,¥=6+2 73 »=6-2 户，:yz-yi=4 73 ,故x=0满足题意.;所求直线的方程为 3x-4 y+20=0或x=0.方法二 设所求直线的斜率为k,则直线的方程为 y-5=kx,即

17、y=kx+5,联立直线与圆的方程y kx 5,x2 y 4x 12y 24 0消去 y 得(1+k2) x2+(4-2 k)x-11=0 xi设方程的两根为x1,x2,由根与系数的关系得2k 4x21 k24分6分8分2分4分11 x221 k由弦长公式得1 k2 | x1-x2|= .'(1 k2)(x1 x2)2 4x2 4 3,将式代入，解得k=-,此时直线的方程为 3x-4y+20=0.4又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.;所求直线的方程为 x=0或3x-4y+20=0.8分(2)设过P点的圆C的弦的中点为 D (x,y), 则CD,PD,即CD - PD =0,

18、(x+2,y-6) (x, y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11 y+30=0.3.求过点P (4,-1)且与圆C: x2+y2+2x-6y+5=0切于点M (1, 2)的圆的方程.解 方法一 设所求圆的圆心为 A (mn),半径为r,则AMC三点共线，且有|MA=|AP|=r,因为圆 C: x2+y2+2x-6y+5=0 的圆心为 C (-1 , 3),n 22 3则 m 11 1,(m 1)2 (n 2)2(m 4)2 (n 1)2 r解彳导 m=3, n=1, r = 5 ,所以所求圆的方程为(x-3) 2+( y-1) 2=5.方法二 因为圆C: x2+y2+2x-6y+5=0过点M (1, 2)的切线方程为 2x