1.2,多元函数极限ppt课件

1、邻域：邻域：),(0 PU P 0PP其其中中：, 0 是是点点、0PP 0P P ),(0 PU ),(yx 2020)()(yyxx 不不强强调调时时 简记简记)(PU去心邻域：去心邻域：),(0 PU P 00PPP设有点设有点,2R E点集点集2R 内点：内点：),(PU某某个个若若 使得使得EPU )(的的是是EPEP :开开集集由内点组成由内点组成的集合的集合),(yxE 122 yx 1)2()2(22 yx0 xy是开集是开集:)(区区域域开开连通的开集连通的开集：连通集连通集E21PP、对对 E 都可用都可用 中的中的E折线折线将其连接将其连接 ),(yxE 4122 yxx

2、yo是是开开区区域域:闭区域闭区域 区域区域边界点边界点:边界点边界点)(PU 对对EPU)(, EPU )(且且的的是是EPP ),(yxE 2214xy xyo是闭区域是闭区域：有界集有界集E某个某个若若 ),(rOU使得使得 E),(rOU无界集无界集否则为否则为41| ),(22 yxyxxyo有界闭区域有界闭区域0| ),( yxyx无界开区域无界开区域xyo聚点：聚点：),(PU 对对)(PUE ,P设定点设定点的的是是EP:维空间维空间nnR ,(1x ,2x)nx Rxi 二、多元函数概念二、多元函数概念例例1 1长方形长方形S面积面积xy 1定定义义是是设设D的的2R,一个非

3、空子集一个非空子集:f称称映映射射RD 为定义为定义上上的的在在D二元函数二元函数记为记为),(yxfz 或或)(Pfz 其中其中),(yxD DP D定义域定义域例例2 2),(yxf求求222)3arcsin(yxyx 的定义域的定义域解解223yx 11 2yx 0 得得 4222yx2yx | ),(yx 4222 yx2yx 且且D定义域定义域图形图形多元函数的多元函数的例例3 3xyzsin 例例4 4隐函数隐函数2222azyx xyzo),(yxD 222ayx 单值分支单值分支222yxaz 222yxaz 00liml m( )()i()xMMxfAxf MA 回回顾顾：

4、一一元元函函数数极极限限定定义义的的充充要要条条件件是是00,0,0|xx 若若对对使使得得当当00 | | ( ) | ( )( ,( )fAAfxMMM 时时有有二元函数的极限二元函数的极限),(yx),(00yx2020)()(yyxx 0即即M( , )x y000M (,)xy00MM注意：二元函数中注意：二元函数中 fMA 0A()f MMM那那么么称称为为二二元元函函数数当当时时的的极极限限。000(0|0|)MMM 定定义义可可例例外外 ， 若若对对， 使使得得当当时时，有有二元函数的极限定义二元函数的极限定义1: 设二元函数设二元函数 f ( x,y )= f (M) 在点在

5、点 M0 (x0,y0) 某邻域内某邻域内有有 0000000( , )()00|,|,(,)A()f x yMMxxyyx yx yf MAf MMM 设设二二元元函函数数在在的的某某邻邻域域内内有有定定义义可可例例外外 ，若若对对， 使使得得当当且且（）时时，有有那那么么称称为为二二元元函函数数当当定定义义2 2：时时的的极极限限00000( , ) (,)lim()lim ( , ),lim( , )MMxxx yx yyyf MAf x yAf x yA 记记作作：或或或或12定定义义定定义义：应用：例应用：例1 使用定义使用定义2 例例2 使用定义使用定义1例5证明证明)0,0(),

6、(limyx)(22yx 221sinyx 0 证证, 0 取取当当22)0()0( yx 0时时 即即(220)xy 01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx 2 结论成立结论成立 上相同，但他们之间上相同，但他们之间 “点邻域的具体含义不同。点邻域的具体含义不同。二元极限问题的讨论要比一元情形复杂。二元极限问题的讨论要比一元情形复杂。注意：二元与一元函数极限的定义在形式注意：二元与一元函数极限的定义在形式两者差异如下：两者差异如下：00 xxMM一维：20200yyxxMM二维：比较： 0limxxfxA0M00 xx条件条件结果结果 AxfAA（）0 x0 xf

7、AA（）f)(lim)(lim)(lim000 xfAxfAxfxxxxxxAMfMM)(lim0“途径”无穷多0 xx 直线上0MM 平面上AMfMM)(,0任意途径当确定极限不存在的方法确定极限不存在的方法*：注意：注意：例6证明证明)0,0(),(limyx22yxxy 不不存存在在证证取取kxy 21kk )0,0(),(limyx22yxxy 0lim x222xkxkxx 变化，变化，随随k故极限故极限不不存存在在例例7 7 证明证明 不存不存在在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk

8、其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 二元函数的极限运算法则与基本性质 定理定理1000000000000( , )(,)( , )(,)( , )(,)( , )(,)( , )(,)( , )( , )(,)lim(),lim( , ),(1)lim ()( , );(2)lim ()( , );()(3)lim,( , )x yxyx yxyx yxyx yxyx yxyf x yg x yxyf xyAg x yBf xyg x yABf xyg x yA Bf xyABg x

9、yB设设，在在的的空空心心邻邻域域有有定定义义，且且，则则，其其中中0.注意：运算法则成立的前提条件：极限存在注意：运算法则成立的前提条件：极限存在结论：在极限点附近邻域函数满足某不等式关系，结论：在极限点附近邻域函数满足某不等式关系，则函数极限也满足此关系则函数极限也满足此关系00000000( , )(,)( , )(,)000( , )(,)( , )(,)lim( , ),lim( , ).0,(, ),( , )( , ),.lim( , )lim( , )x yxyx yxyx yxyx yxyf x yAg x yBxUxyf x yg x yABf x yg x y 定定理理2

10、 2：设设若若有有则则即即00000000(, )(,)(, )(,)(, )(,)()( , ), ( , ), ( , )(,)( , )( , )( , )lim( , )lim( , ),lim( , )xyxyxyxyxyxyf x yg x yh x yxyg x yf x yh x yg x yh x yAf x yA ，夹夹定定理理3 3 设设在在的的某某空空心心邻邻域域内内有有定定义义，定定且且逼逼则则理理例例8 8求求 .lim222)0 , 0(),(yxyxyx 解解由基本不等式由基本不等式, |222xyyx 知知xyyxyxyx22222 2x 00 )0 , 0(

11、),(yx由夹逼定理，由夹逼定理，.0lim222)0 , 0(),( yxyxyx (1)( ),( ),( , )( ( ), ( )一一元元函函数数xg tyh tf x yf g t h t1212(2)( , ),( , ),( , )( ( . ), ( , )( ,),( ,),( , )nnxg u vyh u vf x yf g u v h u vxg u uuyh u uuf x yn为为二二元元函函数数为为 元元函函数数(3)( , ),( )( ( . )xg u vf xf g u v为为二二元元函函数数二元函数的复合：二元函数的复合：二元复合函数的极限二元复合函数的

12、极限注意：求复合函数极限的方法注意：求复合函数极限的方法000000000000( , )(,)( , )(,)0000( , )(,)( , )(,)( , ),( , )lim( , ),lim( , ).( , )lim( , ), )(, ),( ( , ), ( , )lim( (u vu vu vu vx yx yu vu vxg u vyh u vuvxg x y yg u vf x yxyf x yAu vUu vf g u v h u vf g 0 0设设函函数数定定义义在在（, , ）的的空空心心邻邻域域，且且设设函函数数定定义义在在（, , ）的的空空心心邻邻域域, ,且

13、且当当（有有定定义义，则则00( , )(,), ), ( , )lim( , )x yx yu v h u vf x yA定理定理4 4 注意：求复合函数极限的方法注意：求复合函数极限的方法0000000000( , )(,)( , )(,)( )lim( );( , )lim( , ),lim( ( , )lim( )uux yx yx yx yuuzf uuf uAug x yxyg x yuf g x yf uA 设设函函数数定定义义在在 的的空空心心邻邻域域，设设函函数数定定义义在在（, , ）的的空空心心邻邻域域, ,且且则则定理定理5 5 例例9 9 求极求极限限 .)sin(l

14、im22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 定理定理4,5应用：应用：例例10：求：求220220lim11xyxyxy 解：记解：记22(0)(0)xy 220lim11 原原式式2220( 11)lim(1)1 20lim (11) 2 定理5应用：例例11 11 求求证证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx原结论成立原结论成立22

15、220001sin1lim()lim0 xyxy 22222200011lim()sinlimsin0 xyxyxy 22xy 2 2令令：例例1212.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 0000( , )( , )lim( , )( ),lim( )limlim( , )( , )固固定定二二元元函函数数中中变变量量 ，则则变变为为一一元元函函数数，假假定定则则为为的的累累次次极极限限。xxyyyyxxf x yyf x yf x yA yA yf x yf x y 累次极限累次极限 11( , )sin()lim ( , )sin()limlim ( , )lim sin()sin(1)例例如如： xyxyf x yxxyf x yyf x yy 实质：累次极限是沿着实质：累次极限是沿着x轴方向和轴方向和y轴方向取极限轴方向取极限220000( , )limlim ( , )limlim ( , )0例例如如： 但但由由例例6