1.2 不定积分的计算ppt课件

1、第五节第五节 不定积分的计算不定积分的计算一一 第一类换元积分法第一类换元积分法二二 第二类换元积分法第二类换元积分法三三 分部积分法分部积分法四四 几类特殊函数的积分几类特殊函数的积分一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法 设设),()(ufuF 那那么么 CuFduuf)()(假设假设)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得不定积分的一个重要特性由此可得不定积分的一个重要特性积分积分形式的不变形。形式的不变形。 CxFxdxfdxxxf )( )()()( )()(xuCuF （1 1） )()(xuduuf )

2、(uF定理定理1 1 设设 具有原函数具有原函数 ， 可可 导，则有以下公式导，则有以下公式)(xu )(uf 2.使用公式(1)的关键在于将化为 ，进而化为 dxxg)( dxxxf)()( duufxdxf)()()( 说明：说明：1. 1. 定理定理1 1说明不论积分变量是自变量说明不论积分变量是自变量还是中间变量不定积分形式总是不变的。即还是中间变量不定积分形式总是不变的。即原来对变量原来对变量x x的积分可通过变量代换变成对的积分可通过变量代换变成对变量变量u u的积分。这种计算不定积分的方法称的积分。这种计算不定积分的方法称为第一类换元法，也称凑微分法。为第一类换元法，也称凑微分法

3、。dxxex 22例例1 1 求求解：解： 被积函数中的一个因子为 ， ；剩下的因子 恰好是中间变量 的导数，于是有uxee 22xu x22xu 2222dxedxxexx Cex 2Cedueuu 例例2 2 求求dxx 231Cu ln21解：解：)23(23121231 xxxdxx 231dxxx )23(23121Cx )23ln(21xu23 duu 121例例3 3 求求 xdx2sin解法一解法一: xdx2sin )2(2sin21xxdCx 2cos21解法二：解法二： xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd Cx 2sin解法三：解法三： xd

4、x2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd Cx 2cos一般地，对于积分一般地，对于积分 )0( )(adxbaxf总可以取总可以取 ，使之化为 baxu )()()(baxdbaxfdxbaxfbaxuduufa )(1例例4 4 求求dxxx 41)(11211244 xxxxduudxxxdxxx 222241121)()(11211CxCu 2arctan21arctan21解：解：一般地，对于积分一般地，对于积分 )0( )(2axdxbaxf总可以取总可以取 ，使之化为 baxu 2 baxuduufaxdxbaxf2)(21)(2例例5 5 求求dxxx )l

5、n51(1解：解：dxxx )ln51(1)(lnln511xdx )ln51(ln51151xdx duu151Cu ln51Cx )ln51ln(51熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行 转化了转化了)(xu 例例6 6 求求 xdxtandxxxdxxxxdx cossincossintanCxxxd coslncoscosCxxdx sinlncot类似地，类似地，解：解：例例7 7 求求dxxa 221解：解：dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111Caxa arctan1例例8 8 求求)0( 22 axadx222)(11axdxaxadx Caxaxa

6、xd arcsin)(1)(2解：解：例例9 9 求求)0( 22 aaxdxdxaxaxaaxdx)11(2122 dxaxadxaxa 121121Caxaaxa ln21ln21 Caxaxa ln21 axaxdaaxaxda)(21)(21解：解：例例10 10 求求dxex 11解法一：解法一： dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx Cexx )1ln(dxex 11dxeeexxx 11解法二解法二: :dxex 11dxeedxeexxxx 1)1(1xxxxdeexdee 11)(1)1(11xxede Cex )1ln(例例11 11 求求dxex

7、xx 12)11(解：解：2111 xxx dxexxx 12)11( )1(1xxdexx Cexx 1例例12 12 求求 xdxcsc解法一解法一: dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanlnCxx cotcscln（使用了三角函数恒等变形）类似地可推出类似地可推出 Cxxxdxtanseclnsec解法二：解法二： dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211Cuu 11ln21Cxx cos1cos1ln21（应用例（应用例9 9的结论）的结论） dxxsin1

8、 xdxcsc例例13 13 求求xdxx35sectan 解：解：xdxx35sectan xdxxxxtansecsectan24 )(sec)secsec2(sec246xdxxx x7sec71 31sec525 xx3secC )(secsec1sec222xxdx 例例14 14 求求 xdxx52cossin当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分。凑微分。解：解： )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxxCxxx 753sin71sin52sin31 xdxx52cossin )

9、(sincossin42xxdx例例15 15 求求 xdxx2cos3cos解：解：)cos()cos(21coscosBABABA )5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cosCxx 5sin101sin21二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法 dxxf)(凑微分法是通过中间变量凑微分法是通过中间变量 将积分将积分 化成化成 , ,下面要下面要介绍的换元积分法是通过变量代换介绍的换元积分法是通过变量代换 将积分将积分 化为积分化为积分)(xu dxxxf)()( duuf)()(tx dtttf)()( 证：证： 设设 为为 的

10、原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxF 那那么么dxdtdtdxF )()()(ttf )(1 t )()()()(xtdtttfdxxf 定理定理2 2 设设 是单调的、可导的函数是单调的、可导的函数, ,并并且且 ，又设，又设 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式)(tx 0)( t )()(ttf )(t )(tx 其中其中 是是 的反函数的反函数（2 2式为第二类换元积分公式式为第二类换元积分公式 CxFdxxf)()(Cx )( ）（2 )()()()(xtdtttfdxxf )(tf )(xf 这说明这说明 为为 的原函数。的原函数。)(xf)(xF

11、t22xa xa例例16 16 求求)0( 22 adxxa解解:22 sin ttax设设tdtadx cos tataaxa cossin22222 tdtatadxxa cos cos22dttatdta 22cos1cos222Cttata cos sin2222Cxaxaxa 22221 arcsin2axtarcsin 例例17 17 求求)0( 122 adxaxtax22ax 解：令解：令taxtan dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(secCaaxax 22lntdtadx2sec 2,2 t 122lnCaxx aCCln1 其中

12、其中例例18 18 求求)0( 122 adxaxtax22ax 解解: 令令taxsec 2, 0 ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(secCaaxax 22ln122lnCaxx aCCln1 其中其中说明说明以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换. .三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令taxsin 22)2(xa 可令可令taxtan 22)3(ax 可令可令taxsec Cxxdxcoslnt

13、an)14( Cxxdxsinlncot)15( Cxxxdxtanseclnsec)16( Cxxxdxcotcsclncsc)17(Caxadxxa arctan11)18(22基本积分表Caxdxxa arcsin1)20(22Caxxdxax 2222ln1)21(Caxaxadxax ln211)19(22例例19 19 求求 dxxx2211解解: dxxx2211 2)1(2)1(xxdCx 21arcsin例例20 20 求求 942xdx解解: 942xdx 223)2()2(21xxdCxx )942ln(212例例21 21 求求 1224xxxdx解解: 1224xxx

14、dx 2122)x(xdx 222221121)()x()x(dCxx 2222)2()1(1ln21Cxxx 121ln21242)(xu)(xv定理定理3 3 设设 ， 具有连续导数，那么具有连续导数，那么 vdxuuvdxvu 三、分部积分法三、分部积分法（3 3式为分部积分公式式为分部积分公式 vduuvudv或或 （3 3）证明：证明： 由乘积的求导公式由乘积的求导公式 vuvuuv )( vu得得vuuv )(故故vdxuuvdxvu 或写成或写成 vduuvudv例例22 22 求求 xdxxcos如果令如果令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxs

15、in2cos222显然，显然， 选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行vu ,解解: 令令,xu dvxdxdx )(sincos xdxxcos)(sin xxd xdxxxsinsinCxxx cossin那么那么 dxdu xvsin 容易积出。容易积出。要比要比(2) vdu udv要容易求得；要容易求得；(1)v一般要考虑下面两点：一般要考虑下面两点：和和选取选取udv 例23 求 dxexx2解：解：,2xu dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22Cexeexxxx )(22（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结 若被积函数是幂

16、函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 ,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)。uxuln )41(43xddxxdv 例例24 24 求求 dxxx ln3dxxdu1 441xv dxxx ln3 xdxxxln41ln4144Cxxx 44161ln41解：解：例例25 25 求求 dxx arctandxxdu211 xv dxx arctandxxxxx 21arctan 221)1(21arctanxxdxxCxxx )1ln(21arctan2xuarctan dxdv 解：令解：令例例26 26 求求 dxxx arccos2解解: : dxxx arc

17、cos23arccos31dxx dxxxxx 233131arccos31当分部积分公式比较熟练之后，就不必再把当分部积分公式比较熟练之后，就不必再把 和和 写出来了，只要把被积表达式凑成写出来了，只要把被积表达式凑成 的形式，的形式，便可使用分部积分法。便可使用分部积分法。udvudv)1(11161arccos312223xdxxxx )1(161arccos31223xdxxx 221)1(61xxdCxxxx 22323131)1(91arccos31总结 如果被积函数是幂函数与对数函数的乘积或幂函数与反三角函数的乘积，可设 为对数函数或反三角函数.u例例27 27 求求 dxxex

18、 cos2 dxxexexdexxx222sin2sinsin xdexexxcos2sin224cos2sin22 xexexxdxxex cos2dxxex cos2Cxxex )cos2(sin512dxxex cos2解：解：又解：又解：dxxex cos2xdex2cos21 xdxexexxsin21cos2122 xxxdexe22sin41cos21 xdxexexexxxcos41sin41cos21222dxxex cos2Cxxex )cos2(sin512总结总结 若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，那么那么 可任选，但应注意接连

19、几次应用分部积分公可任选，但应注意接连几次应用分部积分公式时所选的式时所选的 应为同类型函数。应为同类型函数。uu例例28 28 求求 xdx3sec解：解： xdx3sec xxd tansec xdxxxx2tansectansec dxxxxx)1(secsectansec2 xdxxdxxxsecsectansec3xxxdxxxtanseclnsectansec3 xdx3sec Cxxxx tanseclntansec21四、几类特殊函数的积分四、几类特殊函数的积分mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(两个多项式的商表示的函数。两个多项式的商

20、表示的函数。有理函数的定义有理函数的定义其中其中都是非负整数；都是非负整数；及及都是实数，并且都是实数，并且0000 b ,anm、naaa,10mbbb,101.1.有理函数的积分有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式。这有理函数是假分式。有理函数有以下性质有理函数有以下性质 1 1利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式可以化成一假分式可以化成一 个多项式和一个真分式之和。个多项式和一个真分式之和。例如，我们可将例如，我们可将化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和1

21、123 xxx112 xx其中其中 都是待定的常数。都是待定的常数。042 qpk为正整数，为正整数，qpaBA,2 2在实数范围内真分式总可以分解在实数范围内真分式总可以分解 成几个最简式之和。成几个最简式之和。最简分式是下面两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式kaxA)( kqpxxBAx)(2 特殊地：, 1 k分解后为分解后为axA 3 3有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：,)()(121axAaxAaxAkkk （1 1分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( 其中其中都是待定的常数都是待定的常数kAAA,2, 1（

22、2 2分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是待定的常数都是待定的常数), 2 , 1(ki 特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为qpxxNMx 2例例29 29 )5)(2(32103322 xxxxxx52 xBxA)5)(2()2()5( xxxBxA方法一比较系数法方法一比较系数法) )2()5(32 xBxAx)25()(32BAxBAx 3252BABA 11BA 方法二赋值法）方法二赋值法） )2()5(32 xBxAx令令

23、得得2 x1 A令令5 x得得1 B两种方法都能得到两种方法都能得到5121)5)(2(32103322 xxxxxxxx 10202CACBBA,51,52,54 CBA2151522154xxx )1)(21(12xx )21)()1(12xCBxxA ACxCBxBA )2()2(122121xCBxxA )1)(21(12xx 例例3030例例31 31 求求 dxxx)1)(21(12dxxxdxx 2151522154解解: dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52Cxxx arctan51)1ln(51)21ln(522 有理真分式的积分归

24、结为求下面四种类型的部分分式的积分：(1) (1) dxaxA (3) (3) )04(2 qpdxqpxxCBx 2(2) (2) dxaxAn )( 1 n(4) (4) dxqpxxCBxn )(204(2 qp)1 n下面逐一给出他们的求法下面逐一给出他们的求法(1) (1) CaxAdxaxA lnCaxnAaxaxdAdxaxAnnn 1)(11)()()(2) (2) 当当1 n时时, ,(3) (3) 042 qp当当时时, ,dxqpxxBpCBpBxdxqpxxCBx 222221dxqpxxBpCdxqpxxpxB 2212222 qpxxqpxxdB22)(2dxpqp

25、xBpC 222)24()2(122CpqpxpqBpCqpxxB 22242arctan42)ln(2(4) (4) 当当 且且 时时, ,042 qp1 ndxqpxxBpCBpBxdxqpxxCBxnn )(2221)(22 nnqpxxdxBpCdxqpxxpxB)(22)(2222duauBpCqpxxnBnn )(122)(1)1(22212这里这里 2pxu 242pqa 记记 那么那么duauInn )(122duauuauaInn )(1222222 1222)(1nauduaduauuan )(12222121 nIa)(11211222nauudna nnauauudaI

26、a)()(2112222212121 nIanauuna 1222)()1(21)(122 naudu121 nIa()1(2111222 nnIauuna）)32()1(2111222 nnInauuna） nI)32()1(2111222 nnInauuna）)1( n即即CauaduauI arctan11221而而结论结论 有理函数的原函数都是初等函数。有理函数的原函数都是初等函数。虽然从理论上讲，有理函数总可以分解为部分分虽然从理论上讲，有理函数总可以分解为部分分式然后再积分，但是实际上，不能机械地套用这式然后再积分，但是实际上，不能机械地套用这个原理，而要根据情况，把积分尽量简化。

27、个原理，而要根据情况，把积分尽量简化。例例32 32 dxxx 1003)1(求求解：解： dxxx 1003)1(dxxx 1003)1(1)1(dx 97)1(1x98)1(3 x99)1(3 x)1(1100 x96)1(961 x97)1(973 x98)1(983 xCx 99)1(991解解: )2(10 xxdxdxxxx)21(21109 xln21 2)2(2011010 xxdxln21 Cx )2ln(20110Cxx 2ln2011010例例33 33 求求 )2(10 xxdx例例34 34 求求 222)22(xxdxx解解: 222)22(xxdxxdxxxxxx

28、 222)22()22()22( 222xxdx 22)22()22(xxdxx 1)1()1(2xxd 222)22()22(xxxxdCxxx 221)1arctan(2三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数。一般记为构成的函数。一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sin xxx 2sec2tan22xx 2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 2. 2. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 2sec2tan1cos22xx

29、x 2tan12tan122xx 令令2tanxu uxarctan2 （万能置换公式）（万能置换公式）,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 解解:212sinuux ，2211cosuux duudx212 由万能置换公式由万能置换公式例例35 35 求求 dxxxx)cos1(sinsin1Cuuu )ln22(212Cxxx 2tanln212tan42tan2 dxxxx)cos1(sinsin1duuuu 12212例例36 36 求求 dxx4sin1解法一：解法一：,2tanxu ,12sin2uux duudx212 dxx4sin1duuuuu 46

30、428331Cuuuu 333318133Cxxxx 332tan2412tan832tan832tan241解法二：解法二： 修改万能置换公式修改万能置换公式, ,令令xutan ,1sin2uux duudx211 dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313Cxx cotcot313解法三：解法三： 可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式 dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )cot(xd Cxx 3cot31cot结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, , 便知万能置换不一定是便知万能置换不一定是

31、最佳方法最佳方法, , 故三角有理式的计算中先考虑其故三角有理式的计算中先考虑其它手段它手段, , 不得已才用万能置换。不得已才用万能置换。例例37 37 求求 dxxxxx cos2sincossin解解: 设设 )cos2(sin)cos2(sincossin xxbxxaxxxbaxbaxxcos)2(sin)2(cossin 即即 1212baba 5351badxxxxx cos2sincossindxxxxx )cos2sinsin2cos(5351x51 53 xxxxdcos2sin)cos2(sinx51 Cxx cos2sinln53 例例38 38 求求 dxxx 22cos5sin1xutan 解解:uxarctan 那么那么 duudx211 2221sinuux 2211cosux 52ududxxx 22cos5sin1Cu )5arctan(51Cx )5tanarctan(51首先讨论类型首先讨论类型),