六年级同步第13讲：比的意义与性质

1、比的意义和比的基本性质是六年级数学上学期第三章第一节的内容，通过本 讲的学习，同学们需要理解比和比值的意义、能区分比和比值、熟练地求解比和 比值，同时要理清比与除法、分数等概念之间的联系和区别，也必须理解比的基 本性质，并能熟练运用这个性质进行最简整数比的化简和连比的求解.1、比和比值a、b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除，叫做a与b 的比记作a: b,或写成，其中；读作a比b,或a与b的比.a叫做比的前项，b叫做比的后项.前项a除以后项b所得的商叫做比值.2、比、分数和除法的关系比：前项：后项=比值；分数：=分数值；除法：被除数+除数=商.比的前项相当于分数的分子和除

2、式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；比值相当于分数的分数值和除式的商.3、比、分数和除法的区别比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算.【例1】 在中，5是比的, 125是比的.【难度】【答案】前项；比值.【解析 1读作，其中叫做比的前项，叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值.【总结】考查比和比值的意义.【例2】=3=:3.【难度】【答案【解析 1由题意，得，分数的分子相当于除法的被除数，相当于比的前 项，分数的分母相 当于除法的除数，相当于比的后项.【总结】考查分数、除法、以及比之间的关系.【例3】 某班有男生23人，女生22人，则男生人数与女生人数的比

3、为,女生人数 与全班人数的比为.【难度】【答案】；.【解析 1注意审题即可，女生与全班人数之比为.【总结】考查比的意义，及部分与整体的关系.【例4】 求下列各个比的比值：(1) 24:4； (2) 15:25； (3)； (4).【难度】【答案】(1)； (2)； (3)； (4).【解析】比的前项除以后项所得的商是比值，注意比值的结果可以用分数也可以用小数表示, 千万不能写成的形式.【总结】考查比值的求法.【例5】 下列各数中，与3: 2不相等的是（）A. 1.5B.C.D.【难度】【答案】B【解析】已知，由题意B是不符的.【总结】考查分数的基本性质及比值的意义.【例6】 如果甲数是乙数的5

4、倍，那么甲数和乙数的比是【难度】【答案【解析】若甲是乙的5倍，则甲：乙=.【总结】考查两数之比的表示方法.【例7】 比的前项是，比的后项是，则它们的比值是【难度】【答案【解析】由题意，得.【总结】考查比值的意义.【例8】 王奶奶买了 2斤苹果用去10.8元，买了 3斤梨用去12元，苹果与梨的单价比的 比值是.【难度】【答案【解析】苹果单价：元，梨的单价：元，苹果与梨的单价之比为.【总结】考查比的基础应用.【例9】 夏日炎炎，商店需调制一种夏日特饮：青柠雪碧，要求青柠汁与雪碧的质量之为1:200,这个比的意义是（）A.每200克饮料中含1克青柠汁B.每1克青柠汁配200克雪碧C.青柠汁比雪碧少1

5、99克D.雪碧比青柠汁多199克【难度】【答案】B【解析青柠汁和雪碧的质量之比为，是指1份青柠汁配200份雪碧，不一定指青柠 汁 一定是1克，雪碧一定是200克，另外，A选项应该是201克饮料中含有1克青柠汁.【总结】考查比的基本意义.【例10】 求下列各个比的比值：（1） 40分钟：1.5小时；（2） 16小时：5天；（3） 4千克：500 克；（4） 20cm :0.6m.【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.【解析求各项的比值，当两者单位不一样时，需要先统一单位，比如40分钟：1.5小时, 需要统一为分钟，40分钟：90分钟=,其它都需要强调单位换算的进率.【总结】考查比

6、值的意义.【例11】一个数的小数点向右移动三位，得到的数与原数的比是.【难度】【答案【解析】一个数的小数点向右移动三位，这个数扩大1000倍，与原数之比为.【总结】考查小数点移动的意义.【例12】 甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的6倍，求甲数与丙数的比值.【难度】【答案】.【解析】设丙数为1份，则乙数是6份，甲数是24份，所以甲数是乙数的24倍，甲与丙的 比值为24【总结】考查三个数之间的比的基础转换.【例13】 公园有一个湖泊，其余为绿地、建筑物和道路.已知公园面积为平方千米，绿地 面积为公园的，建筑物和道路的占地总面积是公园面积的，求湖泊面积和绿地面 积的比值.【难度】【答案1【解析】公园分

7、3部分，一是湖泊，二是绿地，三是建筑物和道路，绿地占总体的，建 筑物和道路占总体的，所以湖泊占总体的，所以湖泊与绿地面积之比为，比值为.【总结】考查比的基础应用.【例14一根绳子长米，若按3: 4分成两段，其中长的一段是多少米?【难度】【答案】米.【解析】一根绳子按分成两段，其中较长的一段占总体的，长为米.【总结】考查按比例分配的基础应用.1、比的基本性质比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变2、最简整数比比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比.注：题目中比的结果都必须化成最简整数比.3、三连比的性质1、如果,，那么；2、如果，那么.【例15化简下列各比：（1

8、） 6: 10；（2）;（3）0.7:0.9;（4）.【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.【解析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个数（0除外），比值不变， 运用于比的化简，比如要化简，第一步是将比的前项和后项乘以分母的最小公倍数, 化为整数比，第二步将前项和后项的最大公因数约掉，化为最简整数比.【总结】考查比的基本性质.【例16】 把10克盐完全溶解在90克水中，则盐与盐水的质量之比是（）A. 1 : 10 B. 10:1 C. 1:9 D, 9:1【难度】【答案】A【解析】注意审题，盐水是盐和水的总和，盐比盐水为.【总结】考查经典的盐和盐水的问题.【例17】

9、 甲数除以乙数的商是1.5,则甲数与乙数的最简整数比是.【难度】【答案【解析】甲数除以乙数的商就是甲数与乙数的比值，因为，所以甲乙两数的最简整数 比为.【总结】考查比值与最简整数比之间的关系.【例18】 两个数的比值是，则它们的最简整数比是；如果比的前项与后项同时乘以 3,它们的最简整数比是.【难度】【答案】；.【解析】比值是一个最简分数时，分子就是比的前项，分母是比的后项，前项和后项同时乘 以3,比值不变，最简整数比也不变.【总结】考查比值与最简整数比之间的关系，以及比的基本性质.【例19】 把下列连比化成最简整数比：（1） 20:25: 50；（2）.【难度】【答案】（1）;（2）.（1）

10、每一项都除以三项的最大公因数5,结果为；（2）每一项都乘以分母的最小公倍数，结果为. 【总结】考查三项比的化简.【例20 比的前项扩大2倍，后项缩小2倍，这个比的比值（）A.扩大4倍B.缩小4倍C.比值不变D.以上说法都不正确【难度】【答案】A【解析前项扩大2倍，比值扩大2倍，后项缩小2倍，比值也扩大2倍，综合起来，比值 扩大4倍.【总结】考查比的前项和后项与比值的变化关系.【例21】 以下说法中，正确的个数是（）（1）比的前项和后项乘以一个相同的数，比值不变；（2）女同学占全班人数的，则女同学和男同学的人数之比为4: 5；（3）把20克糖溶解在100克水中，糖与糖水的质量比为1:6；（4）

11、25厘米和15米的比值是； （5）在4:8中，如果前项加上8,要使比值不变，后项应加上8.A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个【难度】【答案】B【解析】理解比的基本性质，要强调乘以（或除以）同一个不为零的数，所以（1）不对；女生占全部人数的，则男生占全部人数的，则女生与男生之比为，所以（2）是对的； 把20克糖溶解在100克水中，糖与糖水之比为，所以（3）是对 的；25厘米和15米单 位不一样，所以比值不是，所以（4）不对；的前项加上8, 增加了 2倍，要使比值不变， 后项也要增加2倍，也就是应该加上16,所以（5）是不 对的.【总结】考查比的意义及基本性质的相关概念.【例22】化简下列

12、各比：（1）；（2）；（3） 125毫升：0.6升；（4）1.2米：40厘米：8分米.【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.【解析】比的化简，运用的是比的基本性质，比如第（2）题，有分数有小数，可以统一为小数，也可以统一为分数,，当比的各项单位不一样时，需要给学生强调统一单位再化简，以及注意结果是最简整数比，比如第（4）题，1.2米：40厘米：8分米= 120厘米：40厘米：80厘米=3： 1： 2.【总结】考查比的基本性质.【例23根据已知条件求（1）a : b = 2 : 3, b:c = 3:4；（2） a : b = 2 : 3, Z>: c = 6 : 5；（3

13、） a : b = 3 :2, b c=.【难度】【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】三项连比的化简，先确定两个比是最简整数比，再确定哪一项是关联项，关联项统 一为最小公倍数，这样三项连比才是正确的结果；a）,在两个比中都是占3份，所以三项比的结果直接写；（2）,在第一个比中占3份，在第二个比中占6份，利用比的基本性质统一第一个比，所以；（3）第二个比不是最简整数比，化简，在两个比中，一个占2份，一个占3份，统一为6份，第一个比化为，第二个比化为，所以.【总结】考查三项连比的化简方法，这是一个教学重难点.【例24】 写同样多的作业，小智用12分钟，小方用15分钟，那么小智与小方速度的最

14、简 整数比是.【难度】【答案【解析 1小智的时间12分，效率为，小方的时间为15分钟，效率为，效率就是速度， 所以小智与小方的速度之比为，也可以给学生拓展相等的工作量，速度比是时间的 反比.【总结】考查行程（工程）问题中速度比的求解.【例25】 甲数的等于乙数的，甲乙两数的比为.【难度】【答案【解析】这一题考查比例的应用，由题意，得，所以.【总结】考查等积式与比例式之间的转换.【例26】一项工程，甲队单独做3天完成，乙队单独做5天完成，丙队单独做6天完成, 那么甲、乙、丙三队的工作效率之比为.【难度】【答案工【解析 1甲单独完成一件工作，3天，所以甲每天完成，同理，乙每天完成，丙每天完成, 三

15、个工作队的效率之比为.【总结】考查工程问题中效率之比的求法.【例27） 5克盐完全溶解在100克水中.（1）求盐与水的质量比；（2）求盐与盐水的质量比；（3）要配制520千克这样的浓度的盐水，需要盐多少千克？【难度】【答案】（1）；（2）； （3）千克.场那斤】（1）盐：水=；（2）盐：盐水=；（3）盐占盐水的，要配置520千克这样浓度的盐水，需要盐千克.【总结】考查“盐水”问题中的相关比的求解.【例28 如图，阴影部分的面积是正方形面积的，是圆面积的，求正方形与圆的面积之比.【难度】【答案【解析】方法一：阴影面积是正方形面积的，是圆面积的，所以，所以；方法二：利用分数基本性质，将统一分子，即

16、，所以【总结】本题综合性较强，考查比的综合应用，注意分析条件.【例 29：b:c=l :3 :4, +。= 20,求 + b + c 的值.【难度】【答案【解析】设，因为，即，所以.【总结】考查比的综合应用，利用设太法求值.【例30】 甲、乙、丙三人去书店买书，共带去54元，甲用去了自己钱的，乙用去了自己 钱的，丙用去了自己钱的，各买了一本相同的书，三人用去的钱数正好相等，问 这本书的价格是多少？【难度】【答案】元.【解析 1由题意，得，；，利用连比的化简方法得，又因为甲、乙、丙共带了 54元，所以甲带了 54 的，即甲带了元，这本书的价钱是甲带的钱的，所以这本书的价钱为元.【总结】考查比和比

17、例的综合应用，难度较大.【习题1】下列说法中，不正确的是（）A. 5与3的比值是B.除法中的被除数相当于比的前项、分数中的分子C.若，则a = 3, b = 5D.前项和后项是互素的，那么它们的比是最简整数比【难度】【答案】C【解析】若，的取值可以有无数种情况，所以c选项是错误的.【总结】考查比的相关概念辨析.【习题2】六（2）班春游时，有1人请事假，2人请病假，实际45人参加，缺勤人数与全 班人数的比是（）A. 1:15 B. 3:45 C. 1:16 D. 3:48【难度】【答案】C【解析】由题意，得缺勤人数是3人，全班人数是48人，所以缺勤人数与全部人数之比为【总结】考查比的基础应用.【

18、习题3】一段绳子，原长14米，一次用去了 2.8米，余下的绳长与原来的绳长的最简整 数比是.【难度】【答案【解析】由题意，得剩下11.2米，所以余下的与原长之比为.【总结】考查比的基本性质.【习题4】一个比的前项是15,比值是，则这个比的后项是【难度】【答案【解析】比的后项=比的前项除以比值，即.【总结】考查比的前项、后项和比值之间的相互转换.【习题5】求下列各比的比值：(1)；(2)3 小时：150 分.【难度】【答案】(1)； (2).KWt1(1)； (2).【总结】考查比值的求解方法，注意结果不能写成的形式.【习题6】化简下列各比：(1)；(2)2平方米：4320平方厘米；(3)(4)

19、 120分：1.2小时：1小时20分钟.【难度】【答案】(1); (2)； (3)； (4).【解析】利用比的基本性质，化简比，注意结果的最简性即可，比如第(3)题， 比如第(4)题，.【总结】考查比的基本性质及比的化简.【习题7】比的前项是2.5,比的后项是5.25,如果比的前项增加1.5,那么比的后项增加 时，比值不变.【难度】【答案】3.15.【解析】首先这个比是，比值为，设比的后项增加，根据 比值不变，列方程，解得.【总结】结合方程思想考查比的应用.【习题8】根据已知条件，求下列各比.(1)已知,，求；(2)已知,，求.【难度】【答案】(1)；(2).邮折】(1)统与母,，所以(2)

20、V,即,V 人 , 【总结】考查比和比例的基本性质，以及三项连比的化简方法.【习题9】现有黄沙、水泥、石子各12吨，根据施工要求，将黄沙、水泥、石子按2:3:5 拌成混凝土，当水泥用完时，黄沙用了几吨？石子还缺几吨？【难度】【答案】黄沙用了 8吨，石子还缺8吨.【解析】水泥12吨正好用完，按的比例，黄沙需要吨，石子需要 吨，所以黄沙用了 8 吨，石子还缺8吨.【总结】考查比的综合应用.【习题10 某中学460名学生分成三组参加植树活动，第一组与第二组人数比是3 : 4, 第一组与第三组人数比是2: 3,第三组比第二组多多少人？【难度】【答案】人.【解析】根据连比化简规律，三队人数之比为，每一份

21、有人，第三组比第二组多一份，所以 第三组比第二组多20人.【总结】考查比的综合应用，难度较大.【作业1】6和9这两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的比是（）A. 1: 12 B. 12:1 C. 1:6 D. 6: 1【难度】【答案】C【解析】6和9的最大公因数是3,最下公倍数是18,两者之比为1： 6.【总结】考查最大公因数和最小公倍数的求解.【作业2】一个比的前项是最小的素数，后项是最小的合数，这个比的比值是【难度】【答案【解析】最小的素数是2,最小的合数是4,两者比值为.【总结】考查素数、合数的概念及比值求解.【作业3】小正方形与大正方形的边长之比为2 : 5,则小正方形与大正方形的面积之比为【难度】【答案【解析】正方形面积之比是边长平方之比，所以面积比为.【总结】考查正方形的面积之比与周长之比的关系.【作业4】如图，甲、乙两个三角形的面积之比为【难度】【答案】.【解析】甲、乙两个三角形等高，所以面积比是底之比，【总结】考查共底等高型三角形的面积比问题.(2) 2.4 m : 30 dm.【作业5】求下列各比的比值：（1）1.2 : 1.8;【难度】【答案】（1）； （2）.【解析】比的前项除以后项所得的商是比值，求比值可以灵活变通，将比化为最简整数比,