考点25几何法解空间角(讲解)(解析版)

1、公众号：高中逆袭墙免费分享考点25几何法解空间角【思维导图】空间角几何法【常见考法】线线角饯面m定义® 空间两条异面百线所成的第(090 法£找平行线使两百线相交，可通过构造中位线或平行四边形©平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 注、锐角叫做这条百线和这个平面所成的角090角范围一条直线垂直于平面，所成的角等于90° ；一条亘线和平面平行或在平面内，所成的角等于0、方中构造过直线上一点且与平面垂直的直线，根据题中的垂直关系作出或构造此垂线后证明定义-从一条百线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角作出平面角方法©证明所作的角满足定义，即为所

2、求 二面角的平血角将作出的角放在三角形中，计算HI 平面角的大小垂面法：由二面角的平面角的定义却，作与棱垂百的平面 则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角.平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线， 然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角考法一线线角1.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱-"中，M =2/15 = 2,则异面直线4避与AD,所成角的余弦值为.4【答案】-【解析】连接pc,AC.则异而宜线AB所成角为。5AD1所成角即40。< DA = D1C = Ji： +2?=/、AC =+ 4 = y/2 -5+5-2 44故cosNA&

3、#163;)Q=三,故答案为：-2x5552 .已知正四棱柱ABCO - AMGQ中，AA=2A8, E为A%中点，则异面直线BE与CR所成角的余弦值为【答案】迎 103a/1010【解析】平移成三角形用余弦定 或建立坐标系解，,线线角不大于900.取DDi中点F,则ZFCD)为所求角，cos ZFCD, = " 十步 2V2V53 .如图，已知圆柱的轴截而A84A是正方形，。是圆柱下底而弧A8的中点，G是圆柱上底面弧44的中点，那么异而直线AC1与8C所成角的正切值为.【答案】V2【解析】取网柱卜底而叔A3的另一中点O,连接GD，4，则因为c是圆柱I：底而弧A8的中点，所以ADBC

4、,所以直线ACJj AO所成角等于异面直线4G叮5。所成珀.因为Ci是圆柱上底面弧A瓦的中点，所以G。，圆柱下底面，所以gola。-因为圆柱的轴截面A88出是正方形，所以G。=应AD ,所以直线AGbAD所成角的正切值为V2所以异而直线AGb8C所成角的正切值为应.故答案为:、万.4 .如图，A8是圆。的直径，点C是弧A3的中点，DE分别是V8,T/C的中点，求异而直线OE与A8所成的角一【答案】45°【解析】fAB是圆。的直径，:4C_LAC.,点C 是弧 AB 为中点，. BC = AC,/. XABC = 45°.在V8C中，.DE分别为的中点，.£七8C,

5、DEn AB所成的角为NABC = 45。.故答案为：45°5 .己知三棱柱48C-4耳G的侧棱与底而边长都相等，A在底而ABC上的射影为的中点，则异而直线A8与CC,所成的角的余弦值为-3【答案】一4【解析】如图,设的中点为0,连接析。、AD.邛,易知ZA.AB即为异而直线AB ' j CG所成的角（或其补角）设三棱柱ABC-4与G的侧棱与底面边长均为1，U1 AD =» 4。=大，A.B =»22121+1-1 Q由余弦定理,J cosNA AB =2 _32x1x14考法二线面角1 .如图，在正方体中，44与平面A4C所成角的余弦值是【答案】叵 2【

6、解析】如图，连接与已交4£ 丁。,则AG_L4R,又正方体中AAL平面与乌£平面 AB£D,工明,而A41cAe1=A，q/_L平面例C，4 Ao是直线与平面 A4G所成角，此角大小为45。，余弦值为它.2 .如图，在直三棱柱ABC -A4G中，。为AC的中点若AB = 8C = 8A，乙48c = ?，求CG与平面 8Go所成角的正弦值 0【答案】正 3【解析】过点。作C -L CXD J . h .如图,;三棱柱ABCAB£为直. CC11平面 ABC.8。=平而48。，。6,8。V AB = BC,。为 AC的中点，又cgHac=c,平面acc又

7、CH tC、D , CiDBD = D9. NCG。为 CCJ J T-Ifii BC】D 所成的用设 A3 = 2。，则CZ) =g，CQ =瓜,sin ZCCD =3.如图，已知四棱锥P A3CQ的侧棱底面A3CQ，且底面A3CO是直角梯形，ADLCD.AB/CD > AB = 2AD=4, DC = 6, PD = 3 ,点、M 住棱 PC 上,且 PC = 3CM.（1）证明：8"平面PAO.（2）求直线尸8与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析：（2） 拽9.29【解析】（1）证明：取尸。的三等分点N,且PD = 3DN,连接AN, MN ,因为尸C =

8、 3CM, PD = 3DN,2所以 MNDC,且 A/N =二。C = 4, 3因为 AB/CD, A8 = 4,所以 A8 = MN,且 AB/MN .所以四边形A8WV为平行四边形，所以BM/IAN ,因为ANu平而PAO，平而PAO，所以3M平面尸AO:（2）过点3作垂足为，连接尸”，因为尸£>_L平而48CD，所以PDLBH，所以BH _L平而PC。，则ZBPH为宜线PB叮平面PC。所成的角, 由题意可得8H = AO = 2,= V4+16 = 2>/5 .所以尸8 = ,9 + 20 =用，故”=也=坦PB 29即直线Mb平面PCD所成角的正弦值是拽目.29

9、产为4c的中4.如图，平面48CD，平面住，且4BCQ为正方形，AE = 2AB = 29 NB4E = 60。,点.（1）求证：AC_L平面B律：（2）求直线4。与平面ACE所成的角的正弦值.【答案】（1）详见解析：（2） 亘.7【解析】（1）因为AE = 2A3 = 2,N84E = 60 ,由余弦定理得BE = >1 AB2 + AE2 - 2 AB - AE - cos 60 = 73 所以 AB?+朋小=AE?，所以由于平而ABCD1 TifiiABE，且两个平面相交叮A8,所以班：！平面A3CO,所以跖_LAC，乂因为AC上BF,BEcBF = B ,所以AC _L平而跳广1

10、 2)根据匕)TC£ = %-ACD, SmC7)=不，AC =应,= EC = 2，她 S*CE = ,因为 D-ACE E-ACD， 22设D到平而ACE的距离为h，则、Su-.=1SmcdBE，解得人=叵.设直线AD与平面ACE所成的角为。，则sin 6 =4一=叵.所以直线40。平而4CE1所成的角的正弦值为叵.AD 77考法三二面角1.已知正三棱锥S-ABC的所有棱长均为2,则侧面与底面所成二面角的余弦值为-【答案】-3【解析】如图所示，过点S作SO_L底而ABC,点。为垂足，连接。4。比。，则。4 = 08 =。，点0为等边三角形A8C的中心一延长A0交8C于点。，连接S

11、Z).则 AO_18c,8CJ_SO./.ZODS为侧面SBC与底而ABC所成二面角的平面角.正三棱锥S - ABC的所有棱长均为2,1 n：.sd = God =ad = J33八OD 1在 RtZkS。中，cos NODS =一.SD 32.在矩形A8CD中，A8 = 3,A0 = 4, P为矩形48。所在平面外一点，且R4L平面A8CD，PA二处,那么二面角A 瓦） 尸的大小为5【答案】30。【解析】连接班），作垂足为“，连接尸M，则ZAMP为二面角A 3DP的平面角.在RAA3Q中，AM = AB AD =. BD 5所以tanNAMP = . =正，得N/M = 30。，AM 3所以

12、二面角A一 P的大小为30° .3,三棱锥P力BC中，忆4 = VB = AC = BC = 2，AB = 2®VC = 1,则二面角P力B 。等于 【答案】60。取18中点。，连结P。,。,三棱锥P -4BC 中，VA = VB = AC = BC = 2fAB = 2圾 VC = 1， lABfCO 1AB NVOC是二面角V-AB-C的平面角,vo = Jim? _ (")=V4 - 3 = i*CO = JbC2 - (")2 = V4- 3 = 1'"八一 VO2-¥CO2-VC2 1+1-112V0 CO2X1X12 coszVOC =-VOC = 60°,二面角V -AB- C的平而角的度数为60，4.如图，四棱锥PA5CD中，底面A8CD为四边形，AAM是边长为2的正三角形，BC1CD,BC = CD, PD 上 AB，平面 P3Z）J_平面 ABC。（1）求证：电），平面A3CQ：（2）若二面角。一夕8 。的平面角的余弦值为正，求尸。的长.6【答案】（1）证明见解析：（2） 1【解析】（1）如图所小：E为BD中点,连接AE，是正三角形，则4后_1_8。平面平而ABCD.平而尸8£>n平面A8C£）= BQ.故AE_L平面P8OPDu平面PBD,