间接证明１ppt课件

1、1直接证明概念2 直接证明的普通方式：直接证明的普通方式：本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件直接从原命题的条件逐渐推得命题成立直接从原命题的条件逐渐推得命题成立一、知识回想：一、知识回想：直接证明方法有几种？直接证明方法有几种？都是直接证明都是直接证明综合法：从知条件出发，以知的定义、公综合法：从知条件出发，以知的定义、公理、定理为根据，逐渐下推，直到推出要理、定理为根据，逐渐下推，直到推出要证明的结论为止证明的结论为止一样不同不同 分析法：从问题的结论出发，追溯导致结分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐渐上溯，直到使结论成论成立的条件，逐渐上溯，直到使结论成立的条件和知

2、条件吻合为止立的条件和知条件吻合为止证法有什么异同？有两种：综合法、分析法综合法、分析法直接证明综合法和分析法的推证过程如下：综合法和分析法的推证过程如下：综合法综合法知条件知条件结论结论分析法分析法结论结论 知条件知条件 问题情境问题情境是异面直线”与中，命题“在长方体如何证明（必修）第三章中，在数学CAABDCBAABCD111112共面与假设CAAB1平面只能有一个的与直线由于经过点ABC都应该在底面内和直线ABCA1在底面内，与条件矛盾1A上述证明不同于直接证明上述证明不同于直接证明这种证明通常称为间接证明这种证明通常称为间接证明间接证明根本概念间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法

3、.反证法是一种常用的间接证明方法. 否认结论否认结论 导致矛盾导致矛盾 否认命题不成立否认命题不成立 原结论成立原结论成立 合理的推理合理的推理 思索？思索？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B扯谎，扯谎，B B说说C C扯谎，扯谎，C C说说A A、B B都扯谎。那么都扯谎。那么C C必必定是在扯谎，为什么？定是在扯谎，为什么？分析分析:假设假设C没有扯谎没有扯谎, 那么那么C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假;由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. .那么假设那么假设C C没有扯谎不成立没有扯谎不成立; ;那么那么C C必定

4、是在扯必定是在扯谎谎. . 反证法：反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的假设命题结论的反面成立，经过正确的推理推理, ,引出矛盾，因此阐明假设错误引出矛盾，因此阐明假设错误, ,从而从而证明原命题成立证明原命题成立, ,这样的的证明方法叫反这样的的证明方法叫反证法。证法。反证法的思想方法：反证法的思想方法：正难那么反正难那么反间接证明根本概念反证法的过程包括以下三个步骤：反证法的过程包括以下三个步骤：1 1 反设反设假设命题的结论不成立，即假定假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；原命题的反面为真；2 2 归谬归谬从反设和知条件出发，经过一系从反设和知条件出发，经过一系列正确的

5、逻辑推理，得出矛盾结果；列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；3 3 存真存真由矛盾结果，断定反设不真，从由矛盾结果，断定反设不真，从而一定原结论成立而一定原结论成立. .反证法的思想方法：反证法的思想方法：正难那么反正难那么反运用反证法的情形：运用反证法的情形：(1)(1)直接证明困难直接证明困难; ;(2)(2)需分成很多类进展讨论需分成很多类进展讨论(3)(3)结论为结论为“至少、至少、“至多、至多、“有无穷多个有无穷多个 类命类命题；题； (4)(4)结论为结论为 “独一类命题；独一类命题；例例1 1：用反证法证明：用反证法证明：假设假设ab0ab0，那么，那么a a b b证证：假假设设

6、a a b b不不成成立立，则则 a a b b若若 a a = =b b，则则a a = = b b, ,与与已已知知a a b b矛矛盾盾, ,若 a b，则a b,若 a b，则a b b矛矛盾盾, ,故故假假设设不不成成立立，结结论论 a a b b成成立立。例例2 2 知知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只需一有且只需一个根。个根。证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x1 12 2则则a

7、 ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0与与已已知知a a 0 0矛矛盾盾, ,故故假假设设不不成成立立，结结论论成成立立。间接证明例题1.2 小的正周期求证：正弦函数没有比先求出周期 思绪 用反证法证明 是最小正周期.2间接证明例题1假设假设T T是正弦函数的周期是正弦函数的周期那么对恣意实数那么对恣意实数x x都有都有: :解解xT

8、xsin)sin(令令x=0,x=0,得得0sinT即即.,ZkkTTT故假设最小正周期20从而对恣意实数从而对恣意实数x x都应有都应有xxsin)sin(这与这与2sin)2sin(矛盾矛盾. .因此因此, ,原命题成立原命题成立. .间接证明习题11.1.求证求证: :假设一个整数的平方是偶数假设一个整数的平方是偶数, ,那么这个数也是那么这个数也是偶数偶数. .假设这个数是奇数假设这个数是奇数, ,可以设为可以设为2k+1,2k+1,.Zk证证: :144) 12(22kkk那么那么有有而而）（Zkkk1442不是偶数不是偶数这与原命题条件矛盾这与原命题条件矛盾. . 2 求证： 是无

9、理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m m = =2 2n n2 22 2 m m= = 2 2n n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2从从而而有有4 4k k = = 2 2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n n 也也是是偶偶数数，这这与与m m，n n互互质质矛矛盾盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。间接证明回想小结间接证明 反证法反证法 同一法同一法 枚举法枚举法 完全归纳法 2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均为为实实