2020年(第17届)中国东南地区数学奥林匹克高一年级第一天试题(含答案)

1、第十七届中国东南地区数学奥林匹克浙江诸暨高一年级第一天2020年8月5日 下午1:30-5:301 .已知二 次曲限 z(x) = a(3a + 2cyxl - 2b2a + c)x + b2 + (c f a)2 (q力"七/» 假设对于任ArtR那有/(幻0 1.求忖力|的量入值.2 .如田，在人BC中,AB < 4G PB和PC是AABC的外接圆。的切埃.夫是孤念上的一个点.PR与QD。的另一个文点为QJ是A/BC的内心 /。上8c于点D. Q。与QD。的另一个交点为C.过点/且与人/垂直的直线与48 MC分别相交于点 M.N.CEB小WAR/BC.划40.3四

2、点共圆.3.设多项式“八：/+乃誉次,其中qe-LO.l)记N为/a)= 0正 整数根的个数(含根).若ra)= o无交整数根，求n的最大值.4设4, 4,是1. 2.,17的一个律列,且消足("1 - atXa2 )(。16 一=力”求正整政"的最大值.第十七届中国东南地区数学奥林匹克浙江诸暨高一年级第一天2020 年 8 月 5 H 卜午 1:30 5:301 .已知二次函数/(x) = a(3a + 2c)x2 - 2b(2a + c)x + b2 + (c + a)2 (a,b,c c R).假设对于任意 xwR有f(x)Wl,求|ab|的最大值.证明：对 r(x)

3、 = a(3a + 2c)x2 一 2b(2a + c)x + + (c + «)2 关于 c 配方， f(x) = c2 + 2(ax2 bx + d)c + 3(ax)2 4abx + b2 + a2 < 1即(c + ax2- bx + a)2 4-(1- (ax-b)2 < 1 => (1 - x2)(ax - b)2 < 1.令“士苧皿| /ab <等,等号成立当H.仅当Q =±乎上=+,C =千苧. 444当°=手力=一*=一争u=乎,b=*=争寸，3 7 V3 73V3 7/(1)=一黯 十丁1 + 0=一0。一丁)+1

4、Y1oooO2 .如图，在ARBC中,48 < AC, PB和PC是ZlABC的外接圆O的切密R足弧检上的一个点，PA与圆。的另一个交点为Q. /足4BC的内心，ID ± BC 于点D, QD与恻0的另一个交点为G.过点I且与垂直的直线与AB , AC分 别相交于点M , N.证明：若AR/BC,则4G,M,N四点共同.P证明：连接 G8,GCGM,GMR8,RCQB,Q181,C7 .由PR , PC是圆0的切线知，FB_ PR _灭=而=正=&'所以££ = ?"以 CQ RC ,7 DD S/lssq IG BQ BC RB乂

5、 CD SACGQ CG CQ CG RC9由 4A8C,知，RB = AC,RC = AB,or k| RD BC AC所以方=诉' i -r BG 8D AB 从而法=下下Bl cos-sinCBl sm-p/2Cl 8s§s【nBCI sing d因为AI 1MN9所以 AMN = NANM =平，/BM1 = ZINC = 180°-竽"B/=g =孚_：= NANI - /NCI = CIC, 222因此附8/ s nN，。，从而署=翳嗡=叱由(IX (2)知.唔,CG 6又 NGBM = ZGBA = ZGCA = ZGCN,所以AG8M -

6、AGCN,lGMA = 180° - /GMB = 180- -乙 GNC =2GN A, 因此4,6,初，村四点共四.3 .设多项式/(X) = X2020 + 渭9cR,其中Ci e-1.0,1).记N 为-=0 止整数根的个数(含重根).若f(x)-0无负整数根，求N的最大值.证明:苜先，由Pq w L0/，/的根的绝对值不可能k 丁等1 2.故 仅需考虑-1,0,1三种整数根.否 虑 /(x) = (x- 1)(r一 1)(炉-l)(xn - l)(x21 - l)(x43 - l)(x85 - l)(x171 - 1)(%341 - iXx683 - 1).-56,满足条件

7、.此时f(©的次数为2020,其中 X=1的根的数目为N = io,并且-1不为f(X)的根.记 fi = -1 ,其中 qi = 1 ,q2 = 3 ,q3 = 5 ,q4 = 11 ,qs = 21 ,q6 = 43,的 85 ,仅 171,供- 341,皈 683.容易归纳证明,皿川力是一个所有 系数G (- 1,0,1)的多项式;，7 = 1,2, -,10.我们再证明M = 10即为最大值.现设N之11,于是(l 1)” IX2020+X普9c*.令x = 1,我们有2%八一 1) 由于ir(- 1)| 丰 0,故ire- 1)1 N 2口.同时，炉(-1)|<1+瞪

8、;4< 2021 < 2口，矛盾！故都的最大值为10.4 .女4,a2,，a”是L 2,，17的一个排列，且满足3 -。2)(。2 - &)316 -。17)47 - %) = /求正整数兀的最大值.证明，约定48 =。1记 S= (。1一。2)(。2。3> (。16-&7)(。17 "1)分 以下4步进行：(1)n为偶数：(2) n < 10；(3) n8；(4)构造1, 2,，17的一个排列,a17,使得S= 6”.第(1)步，由于Q, 02,47中有9个奇数和8个偶数，故必存在iw L2,，17,使得力与a+1均为奇数，于是4 Q,x为偶

9、数.从而，为偶数.第(2)步，设 = ii e t 2，17,q > 4工卜/ = ji u 1, 2,17,、< ,+J.显然均不为空为,设|/|=p.|/| = 17-p.其中p/LZ “； 16).由的定义知S = J"! (a, - a-+i) |-J (a;+i - a7) (1) 也闫记 u =工日(ac - dx+1), V =工涧(a/+i - %)易知叼,Q,。口在U中的系'却只可能为1, 0. -1,门系数为1的项数等 系数为- 1的项数.乂Qi.g.，为7为L2. ;17的排列，故U竺(17 1)十 C16-2) + - + (10-8) =

10、 72.同理可知V£72.结分与基本不等式知WP ( V f72p( 72 17-p7217，二(pl 17 p) k /; /17 - p) pp(17 p)l7p令9a)= AJnx + (17 - x)n(17 T)(0<：xv 17),则x ( < 0, 0 < x < 85(px) = 1 + Znx - 1 - Zn(17 -x) = In<=0, r = 8.5,i r - x IV > 0, 8.5 < x < 17.从而3。)在(0, 8.5)上单调减，在(85 17)上单调增.因此，当pe (1.2.，16时,犷(1

11、7 0)】7/=/3)的最小值为8°99.十足 S 4 = 89 98 < 10°,故 n<10.第(3)步：设 t e 1, 2, 3, 4.显然Q>。2,.(1"模乃的余数遍历0, 1.2' - 1.对i = L2,，17,当&与%+1模乃的余数不同时(这样的i至少有2t个), 2斗(七-0d1).因此，至多有17-2泠ic(l, 2, ,171使得2斗3一%J特别地，af- %(i = 1, 2,，17)中至多有15个偶数,其中至多有13个为 尸的倍数，至多方9个为23的倍数，至多行1个为24的倍数.因此，S = 1.31(4 一 4*)含素因子2的次数不超过15 + 13 + 9 + 1 = 38.假如8,则S-8“-25i,矛盾.因此几声8.第(4)步：令为,Q”依次为1, 9, 17, 8. 7, 16"% 5. 1