19.9(1)勾股定理

1、LOGOC CB BA A 受台风麦莎影响，一棵树在离地面受台风麦莎影响，一棵树在离地面4 4米处断裂，树的米处断裂，树的顶部落在离树跟底部顶部落在离树跟底部3 3米处，这棵树折断前有多高？米处，这棵树折断前有多高？4米米3米米情景引入情景引入这是这是19551955年希腊曾经发行的年希腊曾经发行的纪念一位数学家的邮票。纪念一位数学家的邮票。20022002年世界数学家大会会标年世界数学家大会会标在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾勾 ，下半部分称为，下半部分称为 股股 。我国古代学者把直角三角形。我国古代学者把直角三角形较短的直

2、角边称为较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为斜边称为“弦弦”. .勾勾股股问题1 在直角三角形中，直角边与斜边之间有怎样的大小关系？为什么？。可知的性质段最短垂线。根据中，在如图ACAB,90CABCRt10BCA。类似地，可证BCAB定理：在直角三角形中，斜边大于直角边。问题2 在直角三角形中，直角边与斜边之间有没有某种等量关系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC CC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方

3、形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？A AB BC C C C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲A AB BC C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC

4、C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲a ab bc ca ab bc cA AB BC CC C图乙图乙S SA A+S+SB B=S=SC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲a ab bc ca ab bc c3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之间的关系？之间的关系？a2 +b2 =c2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a2 +b2 =c2cabcabcabcabcabcabc24ab/2+(b- a)2cabcabcabcab (a+b)

5、2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2(a+b)2c2 +4ab/2勾股定理(毕达哥拉斯定理)（gougu theorem） 如果直角三角形两直角边如果直角三角形两直角边 分别为分别为a， b，斜边为，斜边为c， 那么那么即直角三角形两直角边的即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方和等于斜边的平方.222cbaac勾勾弦弦b股股 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一

6、枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发

7、现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的

8、数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。赵爽，又名婴，赵爽，又名婴，字君卿，中国数字君卿，中国数学家。东汉末至学家。东汉末至三国时代吴国人。三国时代吴国人。他是我国历史上他是我国历史上著名的数学家与著名的数学家与天文学家。天文学家。cabcab美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。 有趣的总统证法有趣的总统证法例例1 1 如图，在如图，在RtRtABC

9、ABC中中, ,BC=24,AC=7,BC=24,AC=7,求求ABAB的长。的长。在在RtABC中中, C=90222BCACAB 解：解：B24AC762524722 25 AB如果将题目变为：如果将题目变为： 在在RtRtABCABC中中, ,AB=25, BC=24,AB=25, BC=24,求求ACAC的长呢？的长呢？2524 例例2 2 已知等边三角形已知等边三角形ABCABC的边长是的边长是6 6cmcm， (1)(1)求高求高ADAD的长；的长；(2)(2)S SABCABCABCD解：解：(1)(1)ABC是等边三角形，是等边三角形，AD是高是高在在RtABD中中, ADB=

10、90222BDABAD cmAD3327936 ADBCSABC 21)2()(39336212cm 321 BCBD如果等边三角形的边长为如果等边三角形的边长为a，那么面积，那么面积S是多少？（用含是多少？（用含a的代的代数式表示）数式表示）S=243a 例例3 3 如图，如图，ACB=ABD=90ACB=ABD=90，CA=CBCA=CB，DAB=30DAB=30，AD=8AD=8，求，求ACAC的长。的长。解：解：ABD=90，DAB=30BD= AD=421在在RtABD中中, ABD=90484822222 BDADAB在在RtABC中，中，CBCACBCAAB 且且,2222421

11、22222 ABCACAAB62 AC又又AD=8ABCD3081. 1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x、如图、如图, ,一个高一个高3 3 米米, ,宽宽4 4 米的大门米的大门, ,需在相需在相对角的顶点间加一个加固木条对

12、角的顶点间加一个加固木条, ,则木条的长则木条的长为为( )( )米米 米米 米米 米米C、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, ,则则ABAB为为( )( )ABC米米 米米 米米 米米130120?A练练习习1.1.在在ABCABC中，中，C=90C=90. .(1)(1)若若a=6a=6，c=10c=10，则，则b=b= ; ;(2)(2)若若a=12a=12，b=9b=9，则，则c=c= ; ;3.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，

13、C=90C=90，CDCD为斜边为斜边ABAB上的高，你可以得上的高，你可以得出哪些与边有关的结论？出哪些与边有关的结论？CABDmnh815(3)(3)若若c=25c=25，b=15b=15，则，则a=a= ; ; 202.2.等边三角形边长为等边三角形边长为1010，求它的高及面积。，求它的高及面积。ba 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D点在点在CBCB延长线上，延长线上，求证：求证：ADAD2 2-AB-AB2 2=BD=BDCDCDABCD证明：证明：过过A作作AEBC于于EEAB=AC，BE=CE在在Rt ADE中中,AED=90AD2=AE2+DE2在在Rt ABE中中, AE