2004年高考.北京卷.理科数学试题及答案

1、A. 一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆2004 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 9 页。共150 分。考试时间 120 分钟。第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项：1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公

2、式1s i n cossin（:;亠l-） - sin（：；- I1）21cos：sin：= sin（、； I ） -sin（：；-11）1 cos：cos cos（二 -）cos（：-）21 sins in c o s（亠 J - cos（：-）2正棱台、圆台的侧面积公式1S台侧=2（cc）l其中 c c 分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长2球体的表面积公式S球=4二R其中 R 表示球的半径 一.选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。（1）设全集是实数集 R，M二x|-2乞x岂2，N二x|x：1，则M N等于A

3、.x|x：-2B.x|2：x : 1C.x|x : 1D.x|-2 - x : 1（2） 满足条件|z - i|=|3 4i |的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是(3)设 m、n 是两条不同的直线，.工，：，是三个不同的平面，给出下列四个命题:1若m丨,n III，贝y m_n2若II -，-II,m_:，则 ml 3若m /，n II】,则m 11 n4若，则II -其中正确命题的序号是A.和 B.和 C.和 D.和(4)如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，P 是侧面BB1C1C内一动点，若 P 至煩线BC 与直线C1D1的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是A.直线 B.

4、圆 C.双曲线 D.抛物线2(5) 函数f(x) =x -2ax-3在区间1, 2上存在反函数的充分必要条件是A.a,1B.a 2/:)C.a 1,2D.a (-二,1一2,二)(6) 已知 a、b、c 满足c: b a，且ac : 0,那么下列选项中一定成立的是2 2A.ab acB.c(b - a)：0C.cb : abD.ac(a -c) 0(7)从长度分别为 1, 2, 3, 4, 5 的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种。在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则-等于n 1132A.B. - C.D.-105105x X乏P(8)函数f(X)=，其中

5、P、M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定1一x,x E Mf (P)二y|y二f (x),x P,f (M)二y|y二f (x),x M，给出下列四个判断:若PM =一，贝y f ( P厂f ( M )二记2若P一M =,贝 Uf ( P)一f ( M) =._3若PM二R，则f ( P)f ( M ) =R4若PM = R，则f ( P)一f ( M ) =R其中正确判断有A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个第 II 卷（非选择题 共 110 分）二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。（9）_ 函数f （x）=cos2x-2

6、 J3sinxcosx的最小正周期是 _（10）_ 方程lg（4x+2） = Ig2x+Ig3的解是_（11） 某地球仪上北纬30纬线的长度为12兀cm，该地球仪的半径是 _cm，表面积是_ cm2x =cos日（12） 曲线 C :（日为参数）的普通方程是 _ ，如果曲线 C 与直y =-1 +s in日线x+y+a=0有公共点，那么实数 a 的取值范围是 _-（13） 在函数f （x）二ax2bx c中，若 a，b，c 成等比数列且f=-4，则f （x）有最_值（填“大”或“小”），且该值为 _（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫

7、做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a2，公和为 5，那么a18的值为_ ，这个数列的前 n 项和Sn的计算公式为 _ 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分 13 分）（16）（本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱AB A1B1C1中，AB = 3,AA4, M 为AA1的中点，P 是 BC 上在二ABC中,sin A cos AAB = 3，求tgA的值和ABC的面积一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱CC1到 M 的最短路线长为.29,设这条最短路线与CC1的交点为 N，求：(I)该三棱柱的侧面展

8、开图的对角线长(II)PC 和 NC 的长(III )平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)(17)(本小题满分 14 分)如图，过抛物线y2= 2px(p 0)上一定点P(x0,y0)(y0 0)，作两条直线分别交抛物线于 A(xi, yi)，B(X2, y2)(I)求该抛物线上纵坐标为-的点到其焦点 F 的距离2(II)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求必一吐的值，并证明直线 AB 的斜率(18)(本小题满分 14 分)x函数f (x)是定义在0, 1 上的增函数，满足f(x) = 2f ()且f=1，在每个区间21 1(=,一口(i=1,

9、 2)上,y = f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。是非零常数NBX2 2111(I)求f (0)及f ( ),f ()的值，并归纳出f()(i=1,2,)的表达式242i11(II)设直线x - , x - ,x 轴及y = f(x)的图象围成的矩形的面积为ai(i=1,2i2i-L2)，记S(k) =lim(aL a2an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值(19) (本小题满分 L2 分)某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上， 规定列车 8 时整从 A 站发车，8 时 07 分到达 B 站并停车 L 分钟，8

10、时 L2 分到达 C 站，在实际 运行中，假设列车从 A 站正点发车，在 B 站停留 L 分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误 差。(I) 分别写出列车在 B、C 两站的运行误差(II) 若要求列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求V的取值范围(20) (本小题满分 L3 分)给定有限个正数满足条件 T :每个数都不大于 50 且总和 L = L275。现将这些数按下列要求 进行分组，每组数之和不大于L50 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得L50 与这组数之和

11、的差rL与所有可能的其他选择相比是最小的，rL称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、.，直至第 N 组(余差为rN)把这些数全部分完为止。(I) 判断 九血,，的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数(II)当构成第 n(nN)组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明-n T(III )对任何满足条件 T 的有限个正数，证明：N乞LL(1)2004 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案.选择题：本大题主要考查基本知识和基

12、本运算。每小题5 分，满分 40 分。（1）A（ 2）C（ 3）A（ 4）D（5）D（ 6）C（ 7）B（ 8）B.填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分 30 分。（9）二 （10）x|= 0,x2= 1(11)4、3192二（12）x2（y 1）2=11 -一2 _ a _ 1. 2（13）大 -3551（14） 3 当 n 为偶数时，Sn=5n;当 n 为奇数时，Sn-5n丄222三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。满分13 分。解法一：s i

13、 nA c o sA = . 2 c o sA - 45 )口1 c o sA _ 45 )：2又0: A：180A-45 =60 , A = 105=1AC AB sin A =1232 2解法tg A=tg(4560 )口131 -、3si rA=si n05” = si n4(5+60 )=s i n45 cos60 cos45 sin 60二S.ABC2-2一64si nA cos A21.(sin A cos A) =1.2 sin A cos A二20 : A : 180 sin A 0,cos A：02(si A -cos A) =1-2 si nA cos A72 -V6cos

14、 A =4si rAtgf（以下同解法一）（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻 辑思维能力和运算能力。满分14 分。解：（I）正三棱柱AB A1B1C1的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形，其对角线长为.9242二、97（II）如图 1，将侧面BBQQ绕棱CC1旋转120使其与侧成AA1C1C在同一平面上，点P 运动到点P1的位置，连接MR，则MR就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱CC1到点 M 的最短路.si nA -cosA=16-2(2)(1) + (2)得:sin A(1) ( 2)得:=-2 -一3设PC二x，贝y RC = x，在Rt

15、 MAP1中，由勾股定理得（3 x）2229求得x = 2PC =RC =2NC _ RC _ 2MA一R A一54NC -5（III ）如图 2,连结PP1，贝V PP1就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线，作NH_PR于 H,又CCi_平面 ABC，连结 CH，由三垂线定理得,NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）1CH_PR=60在Rt PHC中，PCHPCP12PC.CH12NC在Rt NCH中，tg NHC二-CH4 arctg -（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解 决问题的能力。满分14 分解：（I）当y =p时

16、，x =p2 8又抛物线y2=2px的准线方程为xp2由抛物线定义得，所求距离为 卫-（-卫）=宝8 2 8故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小为所以yi y2= -2yo故yiy2 =_2yo设直线 AB 的斜率为kAB2 2由y22 px2，yi2 pxi相减得厲yJ(y2yJ =2p(x2-xi)所以kAB二上吐22(Xi=X2)(2)设直线 PA 的斜率为kpA，直线 PB 的斜率为kpB2 2由2 pxi,y2 px相减得(yi-y)(yi y) = 2p(xi-xo)故kpA二二壬(X/Xo)Xi xoyi+y同理可得kpB =2p(X2=Xo)y2 + yo由

17、 PA, PB 倾斜角互补知 kpA- -kpB2p2pyiyoy2yoX2 Xiyi十y2将yi y-2yo(yo- 0)代入得7kAB = 2p =，所以kAB是非零常数yi+y2yo（18）本小题主要考查函数、 数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分 分。解：(I)由f(0) =2f (0)，得f (0) =01111由f (1) =2f(二)及f(1) =1，得f(二)f (1)=-22221111同理，fH) f(;)=;422411 .归纳得f( )厂(i=1,2,.)221 1(II)当：:：x -y时221 1f(x)二尹k(x-尹)ak :二（1（i=1,2,）4

18、 21k1所以an是首项为一（1），公比为一的等比数列2441S（k）的定义域为0 - k 1，当k = 1时取得最小值 一2（19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分 12 分。解：（I）列车在 B，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是（300工480|7|和|11|vv（II）由于列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过2 分钟，所以I300一7| I480-11| 2vv14所以S(k lm(a1an)(*)1 1 1 11-14/ 3003001480一当0：v时，（* ）式变形为711 - 27vv”,300解得39乞v乞综上所述，V的取值范围是39 ,1954（20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问 题的能力。满分 13 分。150解：（I）r1 ma二-rN。除第 N 组外的每组至少含有3个数50（II）当第 n 组形成后，因为n：N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差rn，余下数之和也大于第 n 组的余差rn，即L-（150-r1）（150-D厂（150-&）山由此可得1 2 十4150nL150n L因为（n - 1）n_|1狂亠亠 4，所以环n -1（III）用反证法证明