三种常用方法处理实验数据不确定度评定的讨论

1、第26卷第4期阜阳师范学院学报(自然科学版 V ol. 26, N o. 42009年12月Jo urnal of F uy ang T eacher s Colleg e (N atur al Science Dec. 2009三种常用方法处理实验数据不确定度评定的讨论范士民, 赵晓云(阜阳师范学院物理与电子科学学院, 安徽阜阳236041摘要:以伏安法测电阻为例, 分别用作图法、逐差法、最小二乘法对实验数据进行了处理, 并比较了这三种常用的处理实验数据方法的不确定度的评定.关键词:不确定度; 实验数据处理; 作图法; 逐差法; 最小二乘法中图分类号:O4-33文献标识码:A 文章编号:10

2、04-1069(2009 04-0049-04Discussion on assessment of the uncertainty in dealingwith experimental data in three methodsFA N Shi -min , ZHA O Xiao -y un(School of Phy sics and Electronics , Fuyang T eacher s College , Fuy ang A nhui 236041, China Abstract :T ake Vo lt-A mpere law used to measur e a resi

3、stance in physical ex per iment as an ex ample, it is calculatedw ith g raphical so lution, g r adual deduction metho d and least squar e method r espectiv ely. I n additio n, it is discussed o n t he assessment o f the uncer tainty on these methods .Key words :uncerta inty; data pro cessing of the

4、exper iment; g ra phical so lution; g radual deductio n m ethod; lea stsquar e method0引言大学普通物理实验中一个重要的环节是实验数据处理及实验结果评定. 传统的实验结果评定是分析结果的“测量误差”. 所谓测量误差, 即测量值与真实值之间的差值, 但由于真实值是被测量量的真实的理想值, 永远也无法测量到1, 所以, 测量误差也是一个不可知量. 目前, 国内和国际的科学文献交流已广泛采用不确定度的概念, 用不确定度表示体系进行误差分析和实验结果的评定.诸多大学普通物理实验教材中2, 3都介绍了不确定度的概念和分类

5、. 测量不确定度是与测量结果相关联的参数, 它表示由于测量误差的存在而使被测量值不能确定的程度. 测量不确定度包括A 类标准不确定度和B 类标准不确定度. 不确定度的大小反映测量结果的优劣. 不确定度越小, 表示测量结果越接近真值, 越能反映被测对象的特性. 一般大学物理实验教材中给出了直接测量和间接测量的不确定度的计算2, 但没有具体地介绍实验中数据处理方法结果的不确定度评定. 而在大学物理实验的数据处理中, 经常需要根据实际测量情况针对实验数据使用不同的处理方法, 例如常用的有作图法, 逐差法和一元线性最小二乘法. 针对这些处理数据方法的不确定度评定, 一般教材很少提及. 本文用三种常用方

6、法分别处理了伏安法测电阻的实验数据, 着重讨论了这三种方法的不确定的评定, 以期给大学物理实验的教学以及学生在处理实验数据时提供一定的参考.收稿日期:2009-09-26基金项目:安徽省教育厅教学研究项目(2008jyx m 451 ; 校级精品课程“大学物理实验”资助. , .1作图法物理实验中所得到的一系列测量数据, 往往可以用图线直观的表示出来. 作图法就是在坐标纸上描绘出一系列数据间对应关系的图线. 作图法处理实验数据可以研究物理量之间的变化规律, 指出对应的函数关系, 是求经验公式的常用方法之一4. 当由作图法在图线上获得数据时, 对该数据的不确定度评定也是必要的. 合理选轴, 正确

7、分度是作图法进行不确定度评定的关键. 作图法的各个测量量的不确定度的评定取决于坐标轴的最小分度. 通常, 坐标轴的分度原则是:坐标轴的比例及分度不改变测量数据的精度. 评定的一般方法是将两坐标轴看成两把直尺, 取其最小分度值为该直尺的误差极限. 以伏安法测电阻实验所测量得到的实验数据为例, 图1是根据表1中伏安法测电阻的数据表格作出的I -U 关系图.表1伏安法测电阻的实验数据U /v 1. 002. 003. 004. 005. 006. 007. 008. 00I /mA2. 004. 016. 057. 859. 7011. 8313. 7516. 02图1I -U 关系图1. 1计算被

8、测量的最佳估计值根据图1, 为了计算直线的斜率, 在直线上选取A, B 两点(一般不取实验点 , 坐标为A (1. 60, 3. 0 , B (7. 50, 15. 0 , 则可以得到k =B AU B -U A =7. 5-1. 6=2. 0(m -1(1于是有R =k =2. 0×10-3=5. 0×102( (21. 2作图法不确定度评定电压U 和电流I 测量的误差来源较多, 包括仪器的误差, 读数的误差等等. 在作图法处理数据时, 这些误差均由坐标的最小分度反映出来. 由图1中两轴最小分度值可知, 相应的电流, 电压测量的仪器误差限分别为 I =0. 5mA , U

9、 =0. 1V .U 和I 的合成不确定度分别为I A = I B =3=3=0. 29(mA U A = U B =3=3=0. 06(V (3根据R -=B A I B -I A得到=(A 2 2U A +(A 2 2U B 2 2U B +(A 2 2I A +(B2 2I B=0. 2×102( (4测量结果可表述为R =(R ± =(5. 0±0. 2 ×102( , r =R×100%=4. 0%(52逐差法或相等间隔项相减得到结果的一种方法5. 逐差法的使用条件是:自变量x 是等间距变化的; 被测的物理量之间的函数形式可以写成x

10、的多项式, 即y =m =0am x m. 逐差法计算简便, 并可充分利用测量数据, 随测随检, 及时发现数据中差错, 或找到相50阜阳师范学院学报( 第26卷据处理方法. 用逐差法计算时常常是将测量数据分成两组, 然后将前后两组的对应项进行相减, 从而进一步得到平均值, 对于测量所带来的不确定度的计算则可由分组的数据求出.为便于比较, 仍然采用实验所测数据表1作为研究对象来说明逐差法不确定度的评定. 2. 1计算被测量的最佳估计值将测量的值分成前后两组, 前后两组的对应项之差为I 1=I 5-I 1=7. 70(mA , I 2=I 6-I 2=7. 82(mA , I 3=I 7-I 3=

11、7. 70(mA , I 4=I 8-I 4=8. 17(mA . 取平均值得: I -=44i =0(I 4+i -I i =7. 85(mA (6 同理得到电压的平均值为 U -=44i =0(U 4+i -U i =4. 00(V(7于是得到电阻的平均值为R =- I=5. 10×102( (82. 2逐差法不确定度的评定电压U 的随机误差为0, 但仪器误差仍然存在(B 类分量 . 即电压的误差不能忽略不计. 该电压表的极限误差为0. 1伏, 所以U = 3=0. 06(V .电流I 的A 类不确定度A ( I =4i =1( I i - I - 2n (n -1=0. 11(

12、mA (9B 类不确定度 B ( I =3=0. 06(m A (10电流I 的不确定度 I =2A( I + 2B( I =0. 13(mA (11根据电压电流求得的相应的不确定度, 可以计算出电阻R 的不确定度=( 2 2 U +( 2 2 I +0. 11×102( 测量结果可表述为R =(R ± =(5. 10±0. 11 ×102( ,r = (R R×100%=2. 2%(133最小二乘法最小二乘法是由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线(曲线 的常用方法, 它所依据的原理是:在最佳拟合直线上, 各相应点的值与测量值之差的平方和应比其

13、它的拟合直线上的都要小2. 假设所研究的量只有两个:x 和y , 且它们之间存在着线性相关关系, 即满足一元线性方程y =b +kx (14实验测得的一组数据是X:x 1, x 2, x 3, x m ,Y:y 1, y 2, y 3y m(15根据所测得数据来确定y =b +kx 式中的常数b 和k :k =xyl xx ,b =y -A 1x (16斜率k , 截距b 的不确定度分别为 (k =(r-1 /(n -2 k , (b =x (k (17其中r 是相关系数, 用来检验线性拟合的好坏,r =l x y /l xx l yy ,其中l x y =n (x y -x y , l xx

14、 =n (x 2-x 2,l yy =n (y 2-y 2(18然后进一步结合求的结果求出相应的不确定度.同样为了便于比较分析, 采用表1的实验数据作为研究对象来说明最小二乘法的不确定度的评定, 同时各物理量均采取国际单位制. 3. 1计算被测量的最佳估计值根据表1测量数据可得U -=4. 50,25. 50, -,51第4:I =99. 76×10-6,UI =50. 43×10-3由公式(16 得到k =1. 98×10-3( -1,b =I -kU-=0. 01×10-3(V , 则电阻R 为R =k=5. 05×102( (193. 2

15、最小二乘法不确定度的评定结合相关系数r 的表达式, 可以求出相应的r =9. 99×10-1, 则 (k =2. 95×10-5(-1(20 (R =k(k =7. 51( (21测量结果可表述为:R =(R ± (R =(5. 05±0. 08 ×102( , r =R×100%=1. 6%(22 4结论综合以上三种方法分析比较, 可以看出对于同一组实验数据使用最小二乘法计算时得到的不确定度最小, 作图法得到的不确定度最大.作图法具有直观、简便的优点, 但是受图纸大小的限制以及人为主观描点连线的影响, 处理实验数据时容易带来误差.

16、尤其是对于坐标分度的选择, 在图1中如取坐标的最小分度都为0. 5V 时, 算出的相对不确定度达到7. 6%, 即误差将增加一倍, 所以此种方法适合处理实验数据要求不太高的情形; 逐差法的优点可以提高实验数据的利用率, 减小随机误差的影响, 但利用逐差法处理数据时一般要求测量数据的自变量等间隔变化, 因变量和自变量之间要呈线性关系; 最小二乘法是以所测实验点为基础, 拟合出最理想的曲线, 其优点是精度高, 受人为因素影响小, 但是最小二乘法所使用的代数计算相对比较繁琐, 所以该种方法适合专业性比较强要求比较高的情形. 参考文献:1刘润如. 测量不确定度的概念和计算方法在物理实验中的应用J .长春大学学报(自然科