本科毕业论文三元域上矩阵空间的保幂映射

1、福建师范大学本科生毕业论文三元域上矩阵空间的保幂映射【摘要】本文首先介绍了矩阵空间上的保持问题的背景及保幂问题的研究现状.并在此基础上刻画了三元域上矩阵空间的保幂映射的相关性质及定理，并对两个定理给出了自己的证明.【关键词】保持问题；保幂等；映射；三元域1 引言1.1课题背景与发展状况矩阵空间的保幂映射是矩阵空间保持问题的分支之一，因此了解保持问题的背景及其发展状况等对于本课题的研究是不可或缺的，下面我将分方面介绍保持问题的一些相关知识，以便更好的理解本文的研究背景.设V1,V2为两个矩阵空间，刻画从V1到V2的保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的映射的结构问题称为保持问题.保持问题在微分

2、方程，系统控制，量子力学等领域有着广泛的实际应用背景.如在解答微分方程时，为了简化问题，通常人们在解决一个问题之前可能会对其做一变换，一般要求变换应该是简单的且具有较好的性质的；再如，在量子系统的矩阵模型中，我们想找在系统变形时不影响熵的算子，这些都与保持问题有关.不仅如此，保持问题的结果在李代数等很多其他数学分支中都有应用.因此这一问题已成为国际上矩阵论领域中的热门研究课题之一.有关于保持问题的研究最早始于1897年Frobenius给出的保行列式的线性变换的刻画.而一直到了二十世纪六十年代美国矩阵论专家Marcus研究了秩1保持这一核心问题之后，这一方面的成果才大批出现.特别是近四十年，保

3、持问题发展迅速，分发出了许许多多的分支.如果从保持不变量的角度出发，保持问题可分为:保持行列式问题，保秩问题，保秩1问题，保相似问题，保广义逆问题，保幂等问题，保粘切问题，保伴随问题，保秩可加问题,保对合问题，保交换、保幂零、保谱、保迹问题等等；如果从矩阵代数的角度出发，保持问题可分为:全矩阵代数的保持问题，三角矩阵代数的保持问题，对称矩阵代数的保持问题等等；如果从算子的角度出发，保持问题可分为:线性保持问题，可加保持问题持问题，一般保持问题等等.1.2保幂映射问题的研究现状保幂映射问题的研究起始于数学物理中的某些问题(参见文献1-4).Ovchin-Nikov5得到了幂用这个结果改进了Wig

4、ner定理.另外，幂等集上的一些保持结果可用于刻画矩阵半群上的一般保持问题、矩阵几何，还可用于刻画李代数上的保持问题(参见文献7和8).李代数作为代数学中的一个重要的分支学科，其价值是不言而喻的，因此研究保持幂等方面性质的保持问题也是极其重要的.下面我们一起来对保幂问题做一个系统的认识.设AV（V为矩阵空间），且有正整数k>2，使得A=A，则称A为k幂等矩阵，也称k幂等元，特别的，当k=2时，A为幂等矩阵（幂等元），当k=3时，A为立方幂等矩阵（立方幂等元）映射:VV称为是保幂等的，如果对任意的幂等元A都有(A)是幂等元，即由A=A可以推出2k第1页 共16页福建师范大学本科生毕业论文如

5、果对任意的A,BV,F都有A-B是(A)2=(A).映射:VV称为是保持幂等关系的，幂等元当且仅当(A)-(B)是幂等元.设IV是一个偏序集， 如果对任意的P,QIV，如果有PQ=QP=P，则称PQ.如果映射:IVIV满足对任意的P,QIV都有PQ(P)(Q) (PQ(P)(Q)，则称是(双向)保序的.对任意的P,QIV，如果PQ=QP=0，则称P,Q正交，记作PQ.映射:IVIV如果满足对任意的P,QIV都有PQ(P)(Q) (PQ(P)(Q)，则称是(双向)保正交的.在1993年ovchinnikov首先得到了幂等矩阵偏序集上的双向保序的双射的形式之后，P.semrl、G.Dolina:、

6、A.Foner及张显等许多学者都开始了这方面的研究，并取得了大量的成果.我们将分特征不为2的域上的全矩阵空间，对称矩阵空间，上三角矩阵空间和特征为2的域上的全矩阵空间以及三元域上矩阵空间等四部分来介绍他们的研究结果.Ovchillllikov定理1.133于1993年首先得到了幂等矩阵偏序集上的自同构的形式. 设B(H)为Hilbert空间H的所有线性紧算子构成的代数，dimH3.如果为IB(H)（IB(H)表示B(H)上的幂等元全体构成的偏序集，下同）的自同构，则存在PR使得对任意的AIB(H)有(A)=PAP-1或(A)=PA*P-1，其中(i)当H为有限维时，R为所有半线性双射P:HH的

7、集合;(ii)当H为无限维时，R为H的所有连续可逆的线性算子或共扼线性算子的集合.P.Semrl8将上述定理中的的双向保序改为单向保序，得到了有限维的结果设F是特征不为2的任意域，n3.若映射:IMn(F)IMn(F)（这里IMn(F)-1定理1.28表示Mn(F)上的幂等元全体构成的偏序集，下同）为保序的双射，则存在可逆阵TMn(F)和域F上的自同构h使得对任意的pijIMn(F)有pij=Th(pij)T或pij=Th(pij)Tt-1.易证，:Mn(C)Mn(C)是保幂等的线性映射当且仅当是一个内闭的自同构或反自同构.由于在特征不为2的域F上，对任意的P,QIMn(F),Q-PIMn(F

8、)PQ.于是很自然的猜测满足A-B为幂等阵当且仅当(A)-(B)为幂等阵的连续双射:Mn(C)Mn(C)中是不是也是这样的?但最终证明这样的映射的形式与内闭的自同构或反自同构相去甚远.为了得到更好(或更规范)的结果，需要更强的条件.于是有了下面的定理定理1.38设n3，:Mn(C)Mn(C)为连续双射，若对任意的A,BMn(C)和C有A-B是幂等元当且仅当(A)-(B)是幂等元，则存在可逆阵PMn(C)使得对任意的AMn(C)有(A)=PAP-1或(A)=PAtP-1Dolinar在文献19中改进了P.Semrl的结果，他n3在时将双射减弱为满射并去掉了连续性的假设.而且Dolinar还在n=

9、1,2的低维情形时去掉了满射条件.定理1.49 设n3，:Mn(C)Mn(C)为满射，若对任意的A,BMn(C)和C有A-B是幂等元当且仅当(A)-(B)是幂等元，则存在可逆阵PMn(C)使得对任意的AMn(C)有(A)=PAP-1或(A)=PAtP-1随后，张显定理 1.510 又把复数域推广到了特征不为2的域，并且去掉了满射的条件. 10设F为特征不是2的域，:Mn(F)Mn(F)满足对任意的A,BMn(F)和F有A-B是幂等元当且仅当(A)-(B)是幂等元，则存在可逆阵PMn(F)使得对任意的AMn(F)有(A)=PAP-1或(A)=PAtP-1对称矩阵空间上的保幂等方面的文章较少.姚红

10、梅等在文献21中刻画了特征不为2，3和5的域上的二阶对称矩阵空间保持幂等关系的映射.定理1.611 设F为特征不是2，3和5的任意域，若映射:S2(F)S2(F)满足对任意的第2页 共16页福建师范大学本科生毕业论文A,BS2(F)和F有A-B是幂等元当且仅当(A)-(B)是幂等元，则存在可逆阵PM2(F)使得对任意的AS2(F)有(A)=PAP-1，其中PtP=aI2，a为F中某个非零元素.偏序集IV上的双向保序的双射称为偏序集IV的自同构.如果TITn(F)（这里ITn(F)表示Tn(F)上的幂等元全体构成的偏序集，下同）是一个可逆矩阵，则显然映射f(P)=TPT-1是偏序集ITn(F)的

11、一个自同构.设h为域F上的自同构，则(pij)=h(pij)也是偏序集ITn(F)的一个自同构.对于矩阵p110 0映射p12p22 0p1np2nIT(F)npnnp1n p1,n-1 p11pnn0(P)= 0tpn-1,npn-1,n-1还是偏序集ITn(F)的一个自同构.此时(P)=JPJ,J=1212ni=1Ei,n+1-i.证明了偏序集上的保正交的自同构就是由以上三种映射生成的.她得到了如下的定理 设F是任意域，n3.若映射为偏序集ITn(F)上的保正交的自同构，则存在可-1逆阵TTn(F)和域F上的自同构h使得对任意的pijITn(F)有pij=Th(pij)T或pij=Th(p

12、ij)tT-1.定理1.813设F为至少包含三个元素的特征为2的任意域，若映射:M2(F)M2(F)满足对任意的A,BM2(F)和F有A-B是幂等元当且仅当(A)-(B)是幂等元，则存在可逆阵PM2(F)使得对任意的AM2(F)有(A)=PAP-1或(A)=PAtP-1.2三元域上矩阵空间的保幂映射生玉秋在文献17中探讨了三元域上全矩阵空间，对称矩阵空间，上三角矩阵上的保幂映射并分别得到了在这几个空间上的保幂映射所具有的性质定理，但其中有两个定理并未给出证明，本节将分三个方面列出这三个定理，并对其中为证明的定理给出自己的证明.定理2.1 设F=3，且为Mn(F)上保幂映射，则存在可逆阵PMn(

13、F)，使得对任意的AMn(F)有(A)=PAP-1或(A)=PAtP-1.本定理原文中已有证明，故不具体证明，证明过程参考文献17第3页 共16页福建师范大学本科生毕业论文本节将刻画三元域上对称矩阵空间的保幂映射，证明下面的定理.定理2.2 设F=3，n4，且为Sn(F)上保幂映射，则存在可逆阵PMn(F)，使得对任意的ASn(F)有(A)=PAP-1或(A)=PAtP-1，其中PtP=aIn,a为F中某个非零元素.为证明定理2.2我们需要下面的引理和命题，其中引理2.1，引理2.2，引理2.3的证明可参考文献4和15中引理1-5和7-9的证明.引理 2.1 设F=3，如果n(F)其中n(F)

14、为所有从Sn(F)到Mn(F)的满足如下条件的映射中的集合:A-BISn(F)(A)-(B)IMn(F),A,BSn(F),F（ 这里ISn(F)表示Sn(F)上的幂等元全体构成的偏序集，下同）则(i)(ISn(F)IMn(F);(ii)是单射；(iii)是是齐次的，即(A)=(A),ASn(F),F.引理2.2 设F=3，1sn-1，且n(F).如果对任意的ASn(F)有(AOn-s)=A'On-s,其中A'=A,当s3时a12a13a11a11a12a13a当A=a时 A'=ah(a)aa222322231212a33a13g(a23)a13a23a33aijF,1

15、ij3，h和g均为从F到F的齐次映射，且h(x)g(x)=x2,xF，则存在可逆阵QMn-s(F)使得对任意的ASs(F),zF，和1tn-s都有(AzItO)=A'Q(zItO)Q-1.引理2.3 设F=3，1sn-1，1rs，且n(F)如果AA'1 OOn-s-1 n-s-1=t ta2aASs(F),aF,=(x1, ,xr-1,0, ,0)Fs其中t()=h(x), ,h(x),0, ,0Fs111r-1r-1 ts2=(g1(x1), ,gr-1(xr-1),0, ,0)FA'与引理2.2中的一样，hi和gi均为从F到F的齐次映射，且hi(x)gi(x)=x2

16、,xF，1ir-1，则AA'1 OOn-s-1 n-s-1=t ta2aASs(F),aF,=(x1, ,xr-1,0, ,0)Fs其中ts1=(h1(x1), ,hr-1(xr-1),0, ,0)F ts2=(g1(x1), ,gr-1(xr-1),0, ,0)Fhr和gr均为从F到F的齐次映射，且hr(x)gr(x)=x2,xF，基于前面的准备，我们可以先证明下面的一个定理.由此定理我们立即可以得到所需要证明的定理2.2n4，定理2.3 设F=3，且n(F)，则存在可逆阵PMn(F)，使得对任意的ASn(F)第4页 共16页福建师范大学本科生毕业论文有(A)=PAP-1.要证明定理

17、2.3等价于证明下面的四个命题.命题2.1 设F=3.如果n(F)，则存在可逆阵T1Mn(F)使得证明 类似于文献15中命题1的证明. 命题2.2设F=3.如果n(F)且对Z使得(A)=T2-1AT2，A则存在可逆阵T(F)有(Z)=Z，12(Z)=T1ZT1-1，Z1(F)（k(F)=XOn-kXTk(F)下同）. Mn(F)(F). 2证明 由引理2.2，存在可逆阵T1使得a0a0 T1 On-2T1=On-2,a,bF 0b0b且T1所带来的相似变换保持(F)不动. 1-1令axX=On-2 xb由引理2.3知h(x)aT1-1(X)T1=On-2. g(x)b其中h和g均为从F到F的齐

18、次映射，且h(x)g(x)=x2,xF.*当x0时，令xh-1(x)=c，则x=ch(x).对kF有kx=ckh(x)=ch(kx)，于是10(kx)h-1(kx)=c，即c不依赖于x的选择.再令T=On-2,a,bF，命题得证. 0c命题2.3设F=3，n4，如果n(F)且对Z(F)有(Z)=Z，则存在可逆阵2T3Mn(F)使得(A)=T3-1AT3，A4(F).证明 步骤1 存在可逆阵G使得AG-1 (xe+xe)t2211x1e1+x2e2On-3GeAx1e1+h2(x2)e2=On-3,AS2(F),e,x1,x2Ft(x+g(x)ee2211其中h2和g2均为从F到F的齐次映射，且

19、h2(x)g2(x)=x2,xF.AOAO T On-3T2=OeOn-3,AS2(F),eF Oe-12且T2带来的相似变换保持上面的结果.令AX1=tx1e1由引理2.3知 x1e1On-3 e第5页 共16页福建师范大学本科生毕业论文AT2-1(X1)T2=tg1(x1)e1其中h1和g1均为从F到F的齐次映射，且 当h1(x1)e1On-3 e1T=0令 h1(x)g1(x)=x2,xF. x10时，类似于命题2.2的证明可知x1h-1(x1)不依赖于x1的选择.再令0On-2，由T2T带来的相似变换保持(F)和S3不动，且 2x1h-1(x1)(T2T)-1(X1)(T2T)=X1A

20、X2=t(x1e1+x2e2)由引理2.3知-1x1e1+x2e2On-3 ex1e1+h2(x2)e2On-3 eA(T2T)(X1)(T2T)=t(x1e1+g2(x2)e2)其中h2和g2均为从F到F的齐次映射，且h2(x)g2(x)=x2,xF.即(T2T)-1(BOn-3)(T2T)=B'On-3,BS3(F).步骤2 对BS3(F),e,x1,x2,x3F，存在可逆阵HMn(F)使得AH-1 (xe+xe+xe)t223311x1e1+x2e2+x3e3On-4HeB'x1e1+h32(x2)e2+h33(x3)e3=On-4te(x1e1+g32(x2)e2+g3

21、3(x3)e3)其中B'与引理2.2中的一样，h3i和g3i均为从F到F的齐次映射，且h3i(x)g3i(x)=x2,xF,i=2,3.令BOX3=On-4OeBx1e1X4=tOn-4xee11BX5=t(xe+xe+xe)223311由引理2.2知存在可逆阵T3使得 x1e1+x2e2+x3e3On-4eBOB'OT3-1(O)T=On-2,AS2(F),eF n-23OeOeB'(X4)=tg31(x1)e1其中h31和g31均为从F到F的齐次映射，且 h31(x1)e1On-4 eh31(x)g31(x)=x2,xF,.第6页 共16页福建师范大学本科生毕业论文

22、当x10时，令T4=且 I20On-2，由T4T3带来的相似变换保持不动， -1x1h31(x1)-10B'(T4T3)(X4)(T4T3)=tx1e1对X4连续两次应用引理2.3可得 x1e1On-4 eB'x1e1+h32(x2)e2+h33(x3)e3(T4T3)-1(X5)(T4T3)=On-4 te(x1e1+g32(x2)e2+g33(x3)e3)其中h2和g2均为从F到F的齐次映射，且h2(x)g2(x)=x2,xF.即(T2T)-1(BOn-3)(T2T)=B'On-3,BS3(F).其中h3i和g3i均为从F到F的齐次映射，且h3i(x)g3i(x)=

23、x2,xF,i=2,3.步骤3 (A)=A,A由步骤2知 (F),1i4 i4-14-14-14-1 -1-1-1-1444-1 4H -1On-4H-1-1-14444 -1-1-1-1 4444 -1-1-1-14444-1-1-1-144h(4)h(4)232=-1On-4-1-1-14g2(4)4h33(4)-1-1-1-14g(4)g(4)43233其中h2，g2，h3i，g3i均为从F到F的齐次映射，且h2(x)g2(x)=h3i(x)g3i(x)=x2,xF,i=2,3由的保幂性可得h2(4-1)=g(4-1)=h3i(4-1)=g3i(4-1)=4-1,i=2,3.再由h2，g

24、2，h3i，g3i（i=2,3)的齐次性，命题得证. 命题2.4 设F=3，n4，如果n(F)且对Z(F)有(Z)=Z，则存在可逆阵sTsMn(F)使得(A)=Ts-1ATs，As+1(F).1证明 只需证明对任意的1rs存在可逆阵Ts+1使得Ts-+1(Z)Ts+1=Z,Z(F)且对任意s的ASn(F),aF,y=(x1, ,xr,0, ,0)Fs,xr0有 tAT yt-1s+1yAOn-s-1Ts+1=tayyOn-s-1 (1) a我们对r应用数学归纳法.当r=0时，由引理2.2知存在可逆阵T使得AOAOT-1 OT=n-s-1OaOn-s-1,ASn(F),aF Oa且由T带来的相似

25、变换保持上面的结果.第7页 共16页福建师范大学本科生毕业论文当r=1时，类似于命题2.3中步骤1的证明可知存在可逆阵Ts+1使得AT -1t2e1-1s+1A2-1e1OT=-1tn-s-1s+1a2e1ASn(F),aF2-1e1On-s-1, a且由Ts+1带来的相似变换保持上面的结果.由的齐次性，不失一般性我们可设A xet1Axe1On-s-1=xeta1xe1On-s-1, aASn(F),aF当r=2,3时，类似于命题2.3中步骤2的证明可知A 3t xeiii=13i=1iixeOn-3a3Ax1e1+i=2hi(xi)eiOn-3=3ta(x1e1+i=2gi(xi)ei)A

26、Sn(F),x1,x2,x3,aF其中hi和gi均为从F到F的齐次映射，且hi(x)gi(x)=x2,i=2,3.同理，类似命题2.3中的步骤3可证得(1)式在r=2,3时也成立. 假设(1)式当r<k时均成立，则由的齐次性，只需证明A yt其中AyyOn-s-1=ytaOn-s-1， aASn(F),aFy=x1, ,xk-1,2-1,0, ,0Fs.由归纳假设及引理2.3可推出()tA yt其中AyOn-s-1=tay2y1On-s-1. ay1=x1, ,xk-1,hk(2-1),0, ,0y2=x1, ,xk-1,hk(2-1),0, ,0()t()hk和gk均为从F到F的齐次映

27、射，且hk(x)gk(x)=x2,xF.本节将刻画三元域上对称矩阵空间的保幂映射，证明下面的定理.定理2.4 设F=3，n3，且为Tn(F)上保幂映射，则存在可逆阵PTn(F)，使得对任意的ATn(F)有(A)=PAP或(A)=PJAP，其中-1tJ-1J=i=1Ei,n+1-i.为证明定理2.4我们需要下面的引理和命题，其中几个引理的证明同样可以可参考文献4和15中引理1-5和7-9的证明.n第8页 共16页福建师范大学本科生毕业论文引理 2.4 设F=3且n3，如果n(F)(其中n(F)为所有从Tn(F)到Mn(F)的满足如下条件的映射中的集合:A-BITn(F)(A)-(B)IMn(F)

28、,A,BTn(F),F)则 (i)(ITn(F)IMn(F);(ii)是单射；(iii)是是齐次的，即(A)=(A),ATn(F),F.引理2.5 设F=3，且n3，1sn-1，且n(F).如果(Z)=Z,Zs(F)（这里s(F)=XOn-sXTs(F)下同）则存在可逆阵QMn-s(F)使得对任意的ASs(F),zF，和1tn-s都有(AzItO)=AQ(zItO)Q-1，ASs(F),zF且1tn-s.引理2.6 设F=3，n3,1sn-1，且n(F).如果(Z)=Z,Zs(F)则存在可逆阵QMn-s(F)使得Ax-1Ah(A,e,x) O=QOn-s-1n-s-1Q, Oe v(A,e,x

29、)teATs(F),eF,OxFs其中h(A,e,x)=O或v(A,e,x)=O引理2.7设F=3，n3,1sn-1，且n(F).如果(Z)=Z,Z1(F)则对,x,F有Af(,x)xOOn-2, n-2=0其中f为从FFF到F的映射，且f(,x)=0，则存在可逆阵TMn(F)使得(Z)=TZT-1,Z2(F)要证明定理2.5等价于证明下面的四个命题.命题2.5 设F=3且n3.如果n(F)，则存在可逆阵T1Mn(F)使得 -1t-1 0(Z)=T1ZT1-1，Z1(F).证明 类似于文献15中命题1的证明. 命题2.6设F=3且n3.如果n(F)且对Z1(F)有(Z)=Z，则存在可逆阵T2M

30、n(F)使得对任意A2(F)有(A)=T2AT2-1或(A)=T2AtT2-1.证明 只需证明存在可逆阵T2Mn(F)使得T2-1 0令 xOT=n-20K1=0xOn-2,F,xF xOn-2 由引理2.6知h(,x)=0或v(,x)=0*情形1.如果存在,xF使得v(,x)=0，则由的单性知h(,x)0，对c,d,yF令第9页 共16页福建师范大学本科生毕业论文yK2=On-20+cy+dK3=On-2 +c0由引理2.6知h(,+c,y)(K)=On-22v(,+c,y)+c ()+dh+d,+c,y(K)=On-23v(+d,+c,y)+c其中h(,+c,y)v(,+c,y)=0且h(

31、+d,+c,y)v(+d,+c,y)=0由c-1(K2-K1),d-1(K3-K2)ITn(F)知0h(,+c,y)-h(,x)c-1cv(,+c,y)和dh(+d,+c,y)-h(,+c,y)d-1()()0v+d,+c,y-v,+c,y均为幂等元.经计算得v(+d,+c,y)=v(,+c,y)=0.故+d 0+dyOn-2=+c0h(+d,+c,yOn-2 +c由d和c的任意性，再由引理2.7知存在可逆阵T2使得xxT2-1 OT=n-20On-2,F,xF 0情形2.如果存在,xF使得h(,x)=0，类似情形1同样可得结论成立. 命题2.7设F=3，n3，如果n(F)且对Zs(F)有(Z

32、)=Z，则存在可逆阵1t-1Ts+1Mn(F)使得对任意As+1(F)有(A)=Ts+1ATs-+1或(A)=Ts+1ATs+1.证明步骤1. 对任意的ATs(F)和xF有 SSAOAxOn-s-1=1Of(A,x)On-s-1，其1A O或Ae1On-s-1=1Of(A,e1)On-s-1 1On-s-1 1A O其中f(A,e1),g(A,e1)F.如果存在A0Ts(F)使得tsOAe1On-s-1=t1g(A,e1)A0 O其中g(A,e1)F.则sOA0e1On-s-1=t1g(A0,e1)On-s-1 1第10页 共16页福建师范大学本科生毕业论文A0 O且A0-E11e1 On-s

33、-1- 1OOOn-s-1ITn(F) 1A0 O故A0-E11+E12e1O O-On-s-1n-s-1ITn(F) 11OE11tg(A0,e1)经计算得g(A0,e1)t=O.于是OE11-E12,1g(A0,e1)tOIMs+1(F) OOOn-s-1 1A0 O这与的单性矛盾.所以A0e1On-s-1=1OAe1On-s-1=1O如果存在A0Ts(F)和非零向量yFs得A0 O则由A0 Of(A,e1)On-s-1,ATs(F) 1OA0yO=On-s-1 n-s-1t11g(A0,y)A0 O知A0-Isyy O-On-s-1n-s-1ITn(F) 11OOA0-IsyOn-s-1

34、 On-s-1=tg(A-I,y)10sA0-Is O1又由A0 O知A0-Ise1y On-s-1- On-s-1ITn(F) 1O1A0OOf(A0,e1)A0-IsIMs+1(F) -t1g(A-I)10s故f(A0,e1)=O或g(A0-Is,y)t=O.由的单性，这是不可能的.因此，对任意的ATs(F)和 xFs，有AxA On-s-1=OO1S其中f是一个从Ts(F)FS到F的映射.步骤2. 对任意的ATs(F)和xF有sf(A,x)On-s-11 AOAxOn-s-1=1Oh(A,x)xOn-s-1， 1其中h是一个从Ts(F)Fs到F的映射.显然，存在1is和可逆矩阵TTs(F

35、)使得xTei.由第11页 共16页福建师范大学本科生毕业论文A-TEiiT-1- O知 AO On-s-1+ 1OxOn-s-1ITn(F) 1TEiiT-1f(A,x)IMs+1(F) 0O经计算的得f(A,x)=h(A,x)Tei=h(A,x)x.步骤3 如果x和e1线性无关，则h(A,x)不依赖于A的选择. 由于x和e1线性无关,故存在i2和可逆矩阵TTs(F)使得x=Tei.对任意的 j1, ,i-1,i+1, ,s,kj+1, ,s,li+1, ,s和cF*，令AxW=On-s-1 O1既然c-1(W-1c(W-1c(W-1c(W则 +cTEjjT-1On-s)-WITn(F)+c

36、TEjjT-1On-s)-(W+cTEjkT-1On-s)ITn(F)+cEllOn-s)-(W+cEilOn-s)ITn(F)+cEiiOn-s)-(W+cEliOn-s)ITn(F)+cTEjjT-1On-s)-(W)IMn(F)+cTEjjT-1On-s)-(W+cTEjkT-1On-s)IMn(F)+cEllOn-s)-(W+cEilOn-s)IMn(F)+cEiiOn-s)-(W+cEliOn-s)IMn(F) c-1(W-1c(W-1c(W-1c(W经计算得h(A+cTEjjT-1,x)=h(A,x)h(A+cTEjjT-1,x)=h(A+cTEjkT-1,x) h(A+cEll,

37、x)=h(A+cEil,x)h(A+cE,x)=h(A+cE,x)iili于是，h(A,x)不依赖于A的选择.步骤4. 如果x和e1线性相关，则h(A,x)不依赖于A的选择. 既然A O则 A-E22x- On-s-1 O1e2+xOn-s-1ITn(F) 1AO即 h(A,x)xA-E22-O1h(A-E22,x+e2)(x+e2)IMs+1(F) 1-h(A-E22,x+e2)e2+h(A,x)-h(A-E22,x+e2)xIMs+1(F) 0计算得h(A,x)=h(A-E22,x+e2).既然x+e2和e1线性无关，那么由步骤3知h(A,x)不依赖于A的选择.步骤5. E22O第12页

38、共16页福建师范大学本科生毕业论文Os其中是一个从F到F的映射. AAxOn-s-1=1O(x)xsO,AT(F),s1,xFn-s-1s1由步骤3和4，显然.步骤6. 对任意的cF有(ce1)=(e1).如果c=0,则(ce1)ce1=(O)O=O=(e1)O,于是我们可设(O)=(e1).如果c0,对任意的ATs(F),由于是齐次的,故A Oc-1Ae1On-s-1=c Oc-1-1-1c-1e1On-s-11-1cAA(ce1)ce1(ce1)e1 =cOn-s-1= On-s-1 O1cO对任意的dF及d1我们有dIsdIse1(d-1e1)e1On-s-1= On-s-1 ddOOI

39、se1(e1)e1Is O=On-s-1n-s-1 O1 O1又dIs1 d-1O故Ise1 On-s-1- dOe1On-s-1ITn(F) 1dI1 sd-1 O经计算得(de1)=(e1).-1(d-1e1)e1Isd-O(e1)e11IMs+1(F) 步骤7 如果x和e1线性无关，则(x)=(e1).如果x和e1线性无关，故存在非零的aF和可逆阵TTs(F)使得e1=Te1且x=T(ae1+ei)其中i2.由TEiiT-1xOae1 O-On-s-1 n-s-1ITn(F) 1OO1知TEiiT-1(x)x-a(e1)e1IMs+1(F)0O经计算得(e1)=(x).步骤8 对任意的A

40、Ts(F),eF和xF，存在非零元使得SAxOn-s-1=OeO如果e0，由步骤6和7可知存在非零元c使得 Acx)On-s-1 1第13页 共16页福建师范大学本科生毕业论文A Oe-1AxOn-s-1=e Oe-1-1-1e-1xOn-s-11cxOn-s-1eeA=e O其中c=1(e1)如果e=0，由引理2.6知Acex)ce1= On-s-1 1OAxA On-s-1=v(A,x,0)tO0其中h(A,x,0)=O或v(A,x,0)=O.由A+Is O知h(A,x,0)On-s-1 0xOn-s-1ITn(F) 0AxOn-s-1- O1cxA-t1v(A,x,0)A+IsO经计算得

41、h(A,x,0)IMs+1(F) 0AxAcx On-s-1=O0On-s-1 O0S步骤9 对任意的ATs(F),eF和xF，存在可逆矩阵TTn(F)使得AxAx OOn-s-1 n-s-1= OeOe由矩阵T=IsOIn-s-1带来的相似变换保持s(F)不动，且 OeAx-1Ax T On-s-1T=OeOn-s-1. Oet命题2.8设F=3，n3，如果n(F)且对Zs(F)有(Z)=Z，则存在可逆阵1Ts+1Mn(F)使得对任意As+1(F)有(A)=Ts+1ATs-+1.证明 类似命题2.7的证明. 有了前面的准备，现在我们就可以来证明定理2.4证明 由定理2.5知存在可逆阵PMn(

42、F)使得对ATn(F)有(A)=PAP或-1(A)=PAtP-1.-1情形1 若对ATn(F)有(A)=PAP.记P=pij()nn.-1令Ak1=Ek,k+1,1kn-1，则PAk1PTn(F)，经计算得pn1=pn2= =pn,n-1=0；-1再令Ak2=Ek,k+2,1kn-2，则PA经计算得pn-1,1=pn-1,2= =pn-1,n-2=0； k2PTn(F)，再令Ak,k+n-2=Ek,k+n-2,1k2则PAk,k+n-2PTn(F)，经计算得p3,1=p3,2=0；最后，令A1n=E1n,则PA1nPTn(F)，经计算得p21=0.情形2 若对ATn(F)有(A)=PAP，可类

43、似情形1证明.t-1-1-1第14页 共16页福建师范大学本科生毕业论文例2.1 设F=3，定义映射:S3(F)S3(F)为:对aijF,1i,j3a11a12a13a11a12a13 a a12a22a23=a-a122223 aa13-a23a3313a23a33易证对任意的A=aijIS3(F)有A=0A'或a23=0，其中A'IS3(F).由此，显然为S3(F)上的保幂映射，但它却不是定理2.15所描述的形式.参考文献Projections. Dokl. Akad.Nauk SSSR(Russian)，1985，1;43-46ved.Mat.(Russian)，1989，8;44-52.Funct.Anal.，1993，115;184-189.ation of Uhlhorns of wingers TheoremRelated Results. Linear Algebra Apple，2003，361:161一1799 G.Dolinar. Maps on Matrix Algebras Preserving IdemPotents. Linear Alge