由递推关系求通项的问题类型及其思想方法

1、由递推关系求通项的问题类型及其思想方法丹阳市教育局教研室 王先进数列大题目在高考中出现常常有两类：一类是作为简单题或中档题出现的，往往是紧扣等差数列等比数列及求和问题，用的最多的是等差，等比数列的基本公式，方程的思想（基本量）和常用的求和技巧。另一类则是压轴题，常常与函数，不等式，解析几何等综合，而且总与数列的递推关系有关。 给定首项和递推关系是给出数列的一种方法，就是说这样这个数列就是确定的了。这类问题是近年来高考中的热点问题。通过研究我们得到如下的一些认识：1递推关系的形成：直接给出，函数给出，解析几何给出，应用问题给出，方程给出。2给出递推关系求通项，有时可以用归纳，猜想，证明的思路；

2、而证明型的问题用数学归纳法往往是一种比较简单的方法； 而给出铺垫（转化后的数列）的问题常常可以用证明（变换，待定系数法等）处理，一般难度不大。3给定首项和递推关系往往可以用演绎（推导）的方法求出它的通项公式，其最主要的思想方法是生成，转化，叠代。4给定首项和递推关系，有时不一定能求出通项，却也可以研究它的其他性质。（如取值范围，比较大小，其他等价关系等，无非等与不等两类），这类问题往往有一定的难度。本文主要研究的是3中提出的问题。这类问题是高考中常见的，又是明显超出课本要求的，那么这类问题到底有几种常见的类型，需要掌握到什么程度，又有哪些重要的思想方法？下面分五点加以说明。一由等差，等比演化而

3、来的“差型”，“商型”递推关系等差数列：生成：，累加： =由此推广成差型递推关系：累加：= ，于是只要可以求和就行。等比数列：生成：，累乘：=由此推广成商型递推关系：累乘：例题1。已知数列满足：求证： 是偶数 （数学通讯2004年17期P44）证明：由已知可得：又=而=所以，而为偶数例题2。已知数列，且, 其中k=1,2,3,.（I）求（II）求 an的通项公式. (全国高考（一）22题)（） (II) 所以 ，为差型 故 = 所以an的通项公式为： 当n为奇数时， 当n为偶数时， 二由差型，商型类比出来的和型，积型：即例题3：数列中相邻两项，是方程的两根，已知求的值。 分析：由题意：+-生成

4、： +-：所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差其基本思路是，生成，相减；与“差型”的生成，相加的思路刚好相呼应。到这里本题的解决就不在话下了。特别的，若+，则即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等。若 -则 -÷：所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比。其基本思路是，生成，相除；与“商型”的生成，相乘的思路刚好相呼应。特别地，若，则即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等。三可以一次变形后转化为差型，商型的1例题4：设是常数，且，证明：（2003年新课程理科，22题）分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑

5、用推导的方法来处理的三种方法方法（1）：构造公比为2的等比数列，用待定系数法可知方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从而可以用累加的方法处理。方法（3）：直接用叠代的方法处理：说明：当时，上述三种方法都可以用；当时，若用方法1，构造的等比数列应该是 而用其他两种方法做则都比较难。用叠代法关键是找出规律，除含外的其他式子，常常是一个等比数列的求和问题。2型例题5。已知，首项为，求。（2003年江苏卷22题改编）方法1：两断取常用对数，得，令，则，转化如上面类型的。特别的，a=1，则转化为一个等比数列。方法2：直接用叠代法：四型的利用转化为型，或型即混合型的转化为纯粹型的例题6 已知数

6、列的前n项和Sn满足 ()写出数列的前3项()求数列的通项公式;分析：-由得-由得，得-由得，得-用代得 -：即- -例题7。数列的前n项和记为Sn，已知证明：数列是等比数列；（全国卷（二）理科19题）方法1 整理得 所以 故是以2为公比 的等比数列.方法2：事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系，由=当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本的式的变换，象因式分解，取倒数等还是要求掌握的。五生成与叠代是递推关系的最重要特征递推关系一般说来，是对任意自然数或大于等于2的自然数总成立的一个等式，自然数n可以取1，2，3n，n+1等等，这样就可以衍生出很多的等式。这就是所谓的生成性。对于生成出

7、来的等式，我们往往选一些有用的进行处理。比如相加，相减，相乘，相除等，但用的最多的还是由后往前一次又一次的代入，直到已知项。这种方法就叫叠代。上面的很多例题都可以体现这一点。如例题6，由可以生成，相减，又可以生成，用进行叠代可得。这种很朴素的思想，对于相关的其他数列问题也是非常有效的。例题8。已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项 1, n=1, an= ,n2.分析：由 生成两式相减得：，即为商型的，用累乘法可得例题9：如图，OBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), （）求及;（）证明 ()若记证明是等比数列.（浙江理科22题）解：()因为，所以，又由题意可知 = = 为常数列.() 由生成由得：代入上式得：（）由生成得：，代入得 又是公比为的等比数列.练习题：1定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，这个数列的前n项和的计算公式为_ 2已知数列的前n项和为求的通项公式若，求证：3已知定义在R上的函数和数列满足下列