矩阵论-第二章-矩阵分解

1、 é 0 1 1 -1ù ê 1 0 -1 1 ú ú 的谱分解。 例 2 求正规阵 A = ê ê 1 -1 0 1 ú ê ú ë -1 1 1 0 û 解答 因为 A 是实对称阵，故是正规矩阵，可作谱分解，分为以下三个步骤 进行 第一步，求 A 的特征值和特征向量 l E - A = (l - 13 (l + 3 故 A 的特征值为 l1 = l2 = l3 = 1, l4 = -3 。 é1 ù é1 ù é -1&#

2、249; ê1 ú ê0 ú ê0ú ê ú ê ú 对于 l1 = l2 = l3 = 1 ，求得特征向量为 x1 = ,x = ,x = ê ú 。 ê 0 ú 2 ê1 ú 3 ê 0 ú ê ú ê ú ê ú ë0 û ë0 û ë1û é1ù ê -1

3、50; 对于 l4 = -3 ，求得特征向量为 x 4 = ê ú 。 ê -1ú ê ú ë1û 第二步，施密特正交化 é é 1 ù ê- é 1 ù ê 6 ú ê ê 2ú ê ú ê ê ú ê 1 ú ê - 1 ê ú 把 x1 , x 2 , x 3 正交化、单位化得 P1 = ê

4、ú , P2 = ê 6 ú , P3 = ê ê ú 2 ê ê ú ê 2 ú ê ê 0 ú ê 6 ú ê ê 0 ú ê ú ê ë û ê 0 û ú ë ê ë 1 ù 12 ú ú 1 ú 12 ú ú ，把 x 4 单位

5、1 ú 12 ú ú 3 ú 12 ú û é 1 ù ê 2 ú ê ú ê- 1 ú ê ú 化得 P4 = ê 2 ú 。 ê- 1 ú ê 2ú ê 1 ú ê ú ë 2 û 第三步，构造 H1 , H 2 36 é P1H ù ê Hú P 记 U1 = P1 , P

6、2 , P3 , U 2 = P4 ，则 U = U1 , U 2 = P1 , P2 , P3 , P4 , U H = ê 2 H ú ，构造 ê P3 ú ê Hú ê P4 û ú ë H1 , H 2 为 H1 = U1U1H é 3 ê 4 ê é P1H ù ê 1 ê ú ê = P1 , P2 , P3 ê P2H ú = ê 4 1 ê P3H &

7、#250; ê ë û ê 4 ê 1 ê- ë 4 é 1 ê 4 ê ê- 1 ê = P4 P4H = ê 4 ê- 1 ê 4 ê 1 ê ë 4 1 4 1 4 1 4 1 - 4 - 1 4 3 4 1 - 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 - 4 - 1 4 1 - 4 3 4 1 4 1 ù 4 ú ú 1ú - 4ú 1ú - 

8、50; 4ú 1 ú ú 4 û 1ù - ú 4 ú 1 ú 4 ú 1 ú ú 4 ú 3 ú ú 4 û H 2 = U 2U 2 H 则正规矩阵的谱分解为 A = l1 H1 + l2 H 2 = H1 - 3H 2 推 论 2 设 A Î C n´n 为 单 纯 矩 阵 ， A = å li H i 是 A 的 谱 分 解 ， 多 项 式 i =1 s f (l = å ak l k ，则 f (

9、 A = å f (li H i . k =0 i =1 m s 证明 设 mi 是 li 的代数重复度， i = 1, 2, , s ，则 A = Pdiagl1 , m1 m , l1 , l2 , m2 , l2 , m , ls , ms , ls P -1 = PP -1 m f ( A = å ak Ak = å ak Pk P -1 = å ak (å lik H i k =0 k =0 k =0 i =1 s = å (å ak lik H i = å f (li H i i =1 k =0 i =

10、1 s m s 37 习题 1.验证下列矩阵的顺序主子式都不等于零，并求矩阵的 Crout 分解和 LDU 分解： é 2 1 -5 1 ù ê1 -3 0 -6 ú ú （1） A = ê ê 0 2 -1 2 ú ê ú ë1 4 -7 6 û é2 ê1 （2） A = ê ê0 ê ë1 1 5 2ù 2 2 2ú ú 1 5 5ú ú 0 2 1û

11、 2.求下列正定的埃尔米特矩阵的 Cholesky 分解： é 1 2 1 -3ù ê 2 5 0 -5ú ú （1） A = ê ê 1 0 14 1 ú ê ú ë -3 -5 1 15 û 3.求下列矩阵的满秩分解： é 2 -1 ê -1 1 （2） A = ê ê0 0 ê ë 1 -1 1ù 0 -1ú ú 2 1ú ú 1 3û 0 é

12、;1 2 3 0 ù （1） A = ê0 2 1 -1ú ê ú ê ú 1 0 2 1 ë û 4.求下列矩阵的 UR 分解： é1 ê2 （2） A = ê ê -1 ê ë3 0 2ù 1 5ú ú 4 2ú ú 0 6û é1 ê1 （1） A = ê ê1 ê ë1 1 0ù 0 1ú ú

13、; 2 1ú ú 1 0û é1 2 1 0ù （2） A = ê -1 2 1 -1ú ê ú ê ú 2 2 0 - 1 ë û é0 3 1 ù （3） A = ê 0 4 -2 ú ê ú ê ú 2 1 2 ë û é 2 -1 2 ù ê ú 2.设 A = 5 -3 3 ，试求 l E - A 的 smith 标准

14、型。 ê ú ê ú - 1 0 - 2 ë û é 1- l 6.设 A(l = ê ê l 2 ê ë1 + l l ù A （l） 的 Smith 标准型。 l2 -l ú ú ,试求 3 2 l + l - 1 -l ú û 2l - 1 7.求下列矩阵的 Jordan 标准型： é 4 6 0ù （1） A = ê -3 -5 0ú ê ú ê ú

15、 - 3 - 6 1 ë û é1 0 1 ù （2） A = ê3 2 1 ú ê ú ê ú 1 1 0 ë û 38 é 2 -1 2 ù （3） A = ê 5 -3 3 ú ê ú ê -1 0 -2 û ú ë 8.试求相似变换矩阵 T ，使得 T -1 AT = J ： é -1 0 1 ù （1） A = ê 1 2 0 ú

16、; ê ú ê ë -4 0 3ú û é3 1 0 ê -4 -1 0 （4） A = ê ê3 1 2 ê ë -3 -1 -1 0ù 0ú ú 1ú ú 0û é2 1 2ù （2） A = ê 0 3 1 ú ê ú ê ë0 1 3ú û 9.若 A 为幂零矩阵，证明 A 的若当标准形 J 的若当块为幂零若当

17、块，且 J 的主对 角线上的元素为 0。 10.求下列矩阵的奇异值分解： é1 0 0 -1ù （1） A = ê0 1 0 1 ú ê ú ê ú 0 0 0 0 ë û 11.求下列单纯矩阵的谱分解： é1 0 ê0 0 （2） A = ê ê 0 -1 ê ë0 1 0ù 1ú ú 0ú ú 0û é -29 6 18 ù （1） A = ê -20 5 12 ú ê ú ê ú - 40 8 25 ë û 12.求下列正规矩阵的谱分解： é -1 2 -2 ù