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1、§ 4-3 矩阵乘积的行列式与秩我们讨论矩阵乘积的行列式与秩和它乘积因子的行列式与秩的关系：定理1：数域P上两个方阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积。 |AB|=|A|B|D= （P81-例3）推论：|A1A2An|=|A1|A2|An|定义：数域P上的方阵A称为非退化的，如果|A|0，否则称为退化的。推论：二个方阵A、B的乘积为退化的充分必要条件是A，B中至少有一个是退化的。定理2：设A是数域P上的n×m矩阵，B是P上的m×s矩阵，于是 秩（AB）min秩（A），秩（B）。（即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩）证明：设A=，B=令B1，B2，Bm表示B的行向量，

2、C1，C2，Cn表示C=AB的行向量。由于Ci的第j个分量和的第j个分量都等于，因而 即矩阵AB的行向量组C1，C2，Cn可经B的行向量组线性表出。所以AB的秩不超过B的秩，即秩（AB）秩（B）同样，令A1，A2，Am表示A的列向量，D1，D2，Ds表示C=AB的列向量，则有AB的列向量组可经矩阵A的列向量组线性表出，所以秩(AB)秩(A)，也就是秩（AB）min秩（A），秩（B）。推论：如果A= A1A2Am, 那么，例1：设A，B为n×n矩阵，证明：如果AB=0，那么 秩（A）+秩（B）n证明:由于AB=0,秩(A)=r<n ;B的每一列向量是Ax=0的解向量,秩(B)n-r ,所以 秩（A）+秩（B）n例2：秩（A+

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