旋转体体积公式

1、1 / 6下载文档可编辑在传统立体几何中， 各种旋转形体的侧 （表） 面 积和体积计算方法是各自独立的，不便学习记 忆。本文介绍一个适用于一切旋转形体的万能公 式，简单，易学，好用。一.基本概念1.质量 空间图形（点，线，面，体）都可以看作是空间 点的集合，一个具体的空间图形包含的点数是有 限但不可数的。 我们把一个空间图形包含的全部 点数，称为该图形的质量。 由于图形包含的点数不可数， 所以要用间接方式 来表示图形的质量。 我们可以用长度来表示线的 质量，用面积来表示面的质量， 用体积来表示体 的质量。这就像，一堆小米的粒数是有限但不可 数的。尽管这堆小米的粒数一定有一个确切的数 字，但这个

2、数字可能我们永远也不会知道，也不 必知道，我们只需知道有几斗几升，或几斤几两 就行了。关于质量概念， 存在着下面的事实： 空间图形的 质量，等于它各个部分的质量之和 （质量公理） 。2.位量和重心 构成空间图形的点， 都有各自的位 点的位置可以用它到参考直线的距离来表示 们把构成一个空间图形的所有点的位置总和， 为该图形的位量； 把构成空间图形的所有点的平 均位置，称为该图形的重心，并以它作为整个图 形的位置。显然，位量=重心*总点数。用W表 示位量，用Z表示重心，用P表示质量，上式可 以写成W=Z*P（1） 关于位量概念，也存在着下面的事实：空间图形 的位量，等于它各个部分的位量之和（位量公

3、 理）。3.旋转基图 旋转面和旋转体可统称为旋转形体。用过旋转轴 的平面截切后，得到一个轴对称形的截面图， 我 们取旋转轴一侧的半图作为旋转基图。旋转面的 基图是线，旋转体的基图是由闭合的线围成的 面。二.平面图形的位量和重心 要使用万能公式，需先位置。在平面内，。我 称2 / 6下载文档可编辑计算旋转基图的位量，笔 者提供以下判断和计算平面图形的位量和重心 的方法：1.形状规则图形的重心是它的几何中心。 如圆， 正多边形，中心对称图形等。2.轴对称图形的重心在它的对称轴上3.形状不规则的图形可以先分解成几个规则或 简单的部分，分别求出各部分的位量后，再求总 和。常见旋转形体的基图，总可以分解

4、成以下四 种图形： （抱歉，因发帖数量不够，无法上传 示意图）（1）直线段 直线段的重心是它的中点（2）圆弧线如图1，位于位置参考线一侧且圆心在参考线上的圆弧线， 其位量等于它在参考线上的投影长度与弧半径的乘积，即W=h*R。 （3）三角形面 三角形面的重心是三个顶点的平均位置， 即重心 到参考线的距离等于三个顶点分别到参考线距 离的平均值。（4）弓形面 如图2，圆心在位置参考线上，弓弦与参考线平 行的弓形面的位量，是弦长立方的十二分之一， 即W=a*a*a/12。如图3， 弓弦与参考线不平行的弓形面， 可以看 作是上述弓形面绕圆心旋转一定角度所得， 它的 位量还与旋转的角度有关。即W=cos

5、0*a*a*a/124.如果一个图形的位量是 W0 质量是 P,则当它的重心改变了 Z后, 其位量变为 W=W0+Z*P三. 旋转形体质量计算的万能公式 在旋转基图中，以旋转轴作为位置参考线，则基图的位量，重心和质量可以分别表示为 Wj，Zj ，Pj。已知，圆周长等于半径的 2n倍，据此可以推导出旋转形体质量计算 的统一方法。定理：旋转形体的质量，等于它的基图位量的2n倍。证明：如图 4，旋转基图由有限但不可数的许多空间点构成，它们到 旋转轴的距离分别为 r1,r2,r3,.,rn 。每个点经旋转一周后，都形成一条圆周线，旋转形体由所有圆周线构成。根据质量公理，旋 转形体的质量，就是所有圆周线

6、质量的总和。即3 / 6下载文档可编辑P 旋=2nr1+2nr2+2nr3+.2nrn=2n*（r1+r2+r3+.rn）=2n*Wj=2n*Zj*Pj（ 证毕 ）四 . 应用举例（抱歉，因发帖数量不够，无法上传例题示意图） 例 1.如何理解圆周长公式？答：圆周线是最简单的旋转形体，基图是一个点，其质量是 1，它到 旋转轴的距离是半径 R,所以C=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*1*R=2nR例 2. 求半径为 r 的圆的面积。 解：圆可以看作是最简单的旋转形体之一,基图是半径,质量为 r, 重心为 r/2 ,所以S=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*r*r/2=n*r*r例

7、 3.求半径为 r，高为 h 的圆柱的侧面积和体积。解：圆柱侧面的基图是一条线段，长度为h,重心距旋转轴为 r，所以S=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*h*r圆柱体的基图是一个矩形面，面积为h*r，重心距旋转轴为 r/2，所以V=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*h*r*r /2=n*h*r*r例 4.求底半径为 r，高为 h,母线长为 I 的圆锥的侧面积和体积。 解：圆锥侧面的基图是一条线段，长度为I，重心距旋转轴为 r/2 ,所以S=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*I*r/2=n*l*r 圆锥体的基图是一个三角形面,质量为 S=r*h/2 ,重心距旋转轴为 r/

8、3 ,所以V=2n*Wj=2n*Zj*Pj =2n*r*h/2 *r/3=1/3 *n*r*r*h例 5.求上底半径为 r1，下底半径为 r2，高为 h,母线长为 I 的圆台 的侧面积和体积。解：圆台侧面的基图是一条线段，长度为 I ,重心距旋转轴为(r1+r2 )/2 ，所以S=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*l*(r1+r2) 12= n*l*(r1+r2)圆台体的基图是一个梯形面，它可以分解成两个三角形面，所以V=2 兀 Wj=2n(W1+W2)=2nr1*h/2 *(r1+0+0)/3 +r2*h/2 *(r1+r2+0)/3=2n*h/6 *(r1*r1+r1*r2+r2*

9、r2)=n/3*h*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)4 / 6下载文档可编辑例 6. 求半径为 r 的圆球体的表面积和体积。解：圆球面的基图是一条半圆弧线，圆球体的基图是一个半圆形面，所以 S=2 兀 Wj=2n*2r*r=4n*r*rV=2 兀 Wj=2n*(2r*2r*2r/12)=4/3 *n*r*r*r例 7.求球半径 R,底半径为 r，高为 h 的球缺的侧面积和体积。 解：球缺的侧面是球冠，基图是一条圆弧线；球缺体的基图可以分解 成一个弓形面和一个三角形面,弓形面的位量为W=cos9 *a*a*a/12=(r*叶 h*h)*h/12,所以S=2 兀 Wj=2n*h*RV=2 兀

10、 Wj=2n*(W 三角形 +W 弓形)=2n*r*h/2*r/3+(r*叶 h*h)*h/12=2n*h/12*(2r*叶 r*叶 h*h)=n/6*h*(3r*叶 h*h)由于 R*R-r*r=(R-h)*(R-h)r*r=2Rh-h*h, 所以V=n/6*h*(3r*叶 h*h)=n/3*h*h*(3R -h)例 8.求球半径 R,上，下底半径分别为 r1 , r2，高为 h 的球台的侧 面积和体积。解：球台的侧面是球带,基图是一条圆弧线；球台体的基图可以分解 成一个弓形面和一个梯形面,所以S= 2nWj=2n*h*RW(弓形面)=1/12*(r2-r1)*(r2-r1)+h*h*hW

11、(梯形面)=h/6*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)V= 2nWj=2nW (弓形面)+W(梯形面)=n*h/6*(3r1*r1+3r2*r2+h*h)例 9.在一个球体上过圆心车了一个长度为a 圆柱形孔洞，求剩余部分的体积。解：本题用传统方法非常棘手,因为只有孔洞长度这一个条件。但用万能公式却是再简单不过。球体剩余部分的 基图是一个弦长为 a 的弓形面，所以V= 2nWj=2n*a*a*a/12=n*a*a*a/6例 10.求圆 xf2+（y- a）f2 二 bf2绕 X 轴旋转所成几何体的表面积和 体积 解：旋转所成的几何体是个环。在传统立体几何教材中，环体作为复 杂图形不介绍其表面

12、积和体积计算， 但在万能公式法中， 环体却是最 简单5 / 6下载文档可编辑的形体之一。环体表面的基图是闭合的圆周线，质量是其周长，重心是其圆心；环 体的基图是个圆面，质量是其面积，重心也是其圆心；所以S=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*2nb*a=4n*n*a*bV=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*n*b*b*a=2n*n*a *b*b例 11.求边长为 a 的正六边形绕一边旋转所成几何体的表面积和体 积。解：传统方法是通过割补成圆柱，圆锥，圆台来计算，非常麻烦，尤 其当多边形的边数很多时。 用万能公式法则非常简单。 图形中心即是 其重心，边心距 k=3 开平方/2*a，

13、所以S=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*6a*k=12n*a*kV=2 兀 *Wj=2n*Zj*Pj =2n*（6a*k/2）*k=6n*a * k*k 严格说，旋转所成几何体表面的基图只有 5 条边，且不闭合，需补一 条边才能成为正六边形线框， 但因补上的这条边恰在旋转轴上， 位量 为 0，不影响整个基图的位量，所以可以用正六边形线框作为基图。 在计算圆柱表面积时，也可以采用同一思路。例 12.半径为 R 的圆周被长度为 a 的弦分成两段弧，求这两段弧分别 绕弦旋转所成形体的表面积 解：如果两段弧长度不等，则所成形体分别为柠檬形和苹果形。劣弧 可看作是圆心原在旋转轴上的弧朝旋转轴方向平移后所得，移动距离 为弦心距 k= （2R*2R-a*a）开平方后再 /2 ， 弧长 l=2R*arcsin（a/2R）, 所以W （劣弧）=2n*R*a-l*kS1=2 兀*W （劣弧）又因为整个圆周的位量为 W=2t *R*k，且两段弧分居参考线两侧，位 量正负相反，所以W（优弧）二 W-W （劣弧）=2n*R*k+W（劣弧）S2=2 兀 *